[EX] Teorema di Bayes

[Gughigt]

Propongo un’interessante applicazione del teorema di Bayes (e per certi versi sulle probabilità oggettive e l’aggiornamento delle credenze) visto che in questi giorni ho visto parlarne qui sul forum.
Il programma televisivo americano “Let's make a deal!” funzionava in questo modo: al concorrente venivano mostrate tre porte e veniva lui detto che dietro una di esse si trova un’automobile mentre dietro alle altre nulla. Il giocatore doveva dapprima scegliere una porta. Immediatamente dopo il conduttore avrebbe aperto una delle altre due porte dietro alla quale non vi era nulla.
A questo punto il giocatore poteva mantenere la sua prima decisione oppure cambiarla e scegliere la porta non aperta dal conduttore. Ipotizzando che inizialmente il concorrente scelga la porta di sinistra (inevitabilmente ve ne sono una al centro, una a sinistra ed una a destra). Se è stata scelta la porta vincente (ovvero l'auto si cela dietro la porta $S$) il conduttore aprirà la porta centrale $C$ con probabilità $p$ e la porta di destra $D$ con probabilità $(1 − p)$.
Ora i quesiti.

[*:2o1g24a6]Il conduttore apre la porta centrale mostrando che dietro non vi è l'auto. Si determini la probabilità che l'auto sia dietro ciascuna porta dato che il conduttore ha aperto la porta $C$. [/*:m:2o1g24a6]
[*:2o1g24a6]Si chiede adesso se si vuole cambiare la scelta ed aprire la porta $D$ oppure confermare la scelta di aprire la porta $S$. Date le probabilità condizionate calcolate al punto precedente, sarà preferibile cambiare porta oppure no? La scelta dipende dal valore di $p$ (si consideri $0 < p < 1$)? Si fornisca interpretazione dei risultati.[/*:m:2o1g24a6][/list:u:2o1g24a6]

[Lo_zio_Tom]

(hai dimenticato di dire che il conduttore sa dov'è l'auto)

$mathbb{P}[S|"apre C"]=(p/3)/(p/3+0+1xx1/3)=p/(p+1)$

dato che $p/(p+1)<1/2 AA0
conviene sempre cambiare scelta

[Gughigt]

@tommik come sempre preciso e senza fronzoli.
Sono stato forse eccessivamente implicito in questo passaggio:

"Gughigt": [...] avrebbe aperto una delle altre due porte dietro alla quale non vi era nulla.

un appunto: non hai calcolato $mathbb(P)[D|c]=frac{frac{1}{3}}{frac{1}{3}p+frac{1}{3}}=frac{1}{(1+p)}$
Inoltre, visto che $mathbb(P)[S|c]>mathbb(P)[D|c]$ per qualsiasi valore di $p in (0, 1)$ la scelta ottimale è quella di aprire la porta di destra. Il conduttore sceglie di aprire la porta centrale con $p=1$ se la porta "vincente" è la destra mentre con $p<1$ se la porta vincente è la sinistra. L'informazione che otteniamo è che più probabilmente l'auto si trova dietro la porta destra.. Avevi già detto tutto in 4 parole