[EX] Probabilità torneo tennis
Ho provato a risolvere questo problema ma non sono riuscita a portarlo a termine! Sarei grata se qualcuno potesse aiutarmi, grazie in anticipo!
Ad un torneo di tennis ad eliminazione diretta partecipano 16 giocatori. Il tabellone viene sorteggiato. Si suppone che fra i giocatori esista una graduatoria di bravura nota a priori, che viene sempre rispettata, nel senso che in ogni incontro del torneo il giocatore migliore batte sempre quello peggiore ( e non esistono giocatori della stessa bravura).
a)determinare la probabilità che tutti i 4 migliori giocatori accedano alle semifinali.
b)determinare la probabilità che il giocatore sesto per bravura acceda alle semifinali.
Nota: il tabellone viene formato nel seguente modo: i nomi dei 16 giocatori vengono tirati a sorte, senza tener conto della bravura e scritti in fila. A questo punto il primo sorteggiato sfida il secondo sorteggiato, il terzo sfida il quarto e così via. I giocatori che hanno vinto questi primi 8 incontri si sfidano a loro volta nei quarti di finale, nel senso che il giocatore che ha vinto il primo incontro sfida il vincente del secondo incontro, e così via. I 4 giocatori che vincono i quarti di finale si incontrano nelle semifinali,sempre con lo stesso metodo. Infine i giocatori delle semifinali disputano la finale.
a)Il mio ragionamento consiste nel determinare la probabilità inversa nei vari casi. Incominciando dal punto a, i casi totali sono costituiti dal numero di coppie possibili con 16 squadre, quindi $((16),(2))=120$. Quindi per calcolare $P^-1$, i casi favorevoli sono le coppie in cui sono presenti due dei 4 primi in classifica per bravura, cioè $((4),(2))=6$. La probabilità $P$,che i primi 4 superino tutti la prima fase di incontri è dunque $1-P^-1=1-6/120=19/20$. Per quanto riguarda i quarti di finale i giocatori in gara sono 8 quindi i casi possibili sono $((8),(2))=28$. Utilizzo lo stesso ragionamento di prima e calcolo i casi favorevoli come le possibili coppie dei 4 giocatori migliori cioè $((4),(2))=6$. E di nuovo calcolo $P$ come $1-P^-1=1-6/28=11/14$. A questo punto, visto che le due probabilità sono condizionate le moltiplico: $19/20*11/14=209/280$.
b)Come scritto in precedenza i casi possibili sono sempre $((16),(2))=120$, i casi in cui il sesto giocatore non accederebbe ai quarti di finale sono le coppie formate dal sesto giocatore e da uno dei primi 5 in classifica, quindi in totale $5$ casi. La probabilità $P$ che passi ai quarti di finale è uguale a $1-P^-1=1-5/120=23/24$
Arrivata a questo punto mi sono bloccata
e credo anche che il ragionamento fatto fino ad ora possa non essere giusto!
Ad un torneo di tennis ad eliminazione diretta partecipano 16 giocatori. Il tabellone viene sorteggiato. Si suppone che fra i giocatori esista una graduatoria di bravura nota a priori, che viene sempre rispettata, nel senso che in ogni incontro del torneo il giocatore migliore batte sempre quello peggiore ( e non esistono giocatori della stessa bravura).
a)determinare la probabilità che tutti i 4 migliori giocatori accedano alle semifinali.
b)determinare la probabilità che il giocatore sesto per bravura acceda alle semifinali.
Nota: il tabellone viene formato nel seguente modo: i nomi dei 16 giocatori vengono tirati a sorte, senza tener conto della bravura e scritti in fila. A questo punto il primo sorteggiato sfida il secondo sorteggiato, il terzo sfida il quarto e così via. I giocatori che hanno vinto questi primi 8 incontri si sfidano a loro volta nei quarti di finale, nel senso che il giocatore che ha vinto il primo incontro sfida il vincente del secondo incontro, e così via. I 4 giocatori che vincono i quarti di finale si incontrano nelle semifinali,sempre con lo stesso metodo. Infine i giocatori delle semifinali disputano la finale.
a)Il mio ragionamento consiste nel determinare la probabilità inversa nei vari casi. Incominciando dal punto a, i casi totali sono costituiti dal numero di coppie possibili con 16 squadre, quindi $((16),(2))=120$. Quindi per calcolare $P^-1$, i casi favorevoli sono le coppie in cui sono presenti due dei 4 primi in classifica per bravura, cioè $((4),(2))=6$. La probabilità $P$,che i primi 4 superino tutti la prima fase di incontri è dunque $1-P^-1=1-6/120=19/20$. Per quanto riguarda i quarti di finale i giocatori in gara sono 8 quindi i casi possibili sono $((8),(2))=28$. Utilizzo lo stesso ragionamento di prima e calcolo i casi favorevoli come le possibili coppie dei 4 giocatori migliori cioè $((4),(2))=6$. E di nuovo calcolo $P$ come $1-P^-1=1-6/28=11/14$. A questo punto, visto che le due probabilità sono condizionate le moltiplico: $19/20*11/14=209/280$.
b)Come scritto in precedenza i casi possibili sono sempre $((16),(2))=120$, i casi in cui il sesto giocatore non accederebbe ai quarti di finale sono le coppie formate dal sesto giocatore e da uno dei primi 5 in classifica, quindi in totale $5$ casi. La probabilità $P$ che passi ai quarti di finale è uguale a $1-P^-1=1-5/120=23/24$
Arrivata a questo punto mi sono bloccata
e credo anche che il ragionamento fatto fino ad ora possa non essere giusto!
Risposte
CIao Benvenuta,
proposti i tuoi dubbi e lo svolgilemento anche parziale, senza problemi; ti si aiuterà si conseguenza.
proposti i tuoi dubbi e lo svolgilemento anche parziale, senza problemi; ti si aiuterà si conseguenza.
"annaira96@tiscali.it":
a)Il mio ragionamento consiste nel determinare la probabilità inversa nei vari casi.
Ho dato una occhiata al primo punto. Ho ragionato esattamente al contrario di te, e sono arrivato ad una soluzione diversa (intorno al 14%). Attendiamo anche gli interventi di altri utenti. Tu conosci il risultato ?
Al primo a me è venuto:
$(12!*4!*4^4)/(16!)=64/455=14,066%$
Che coincide col risultato di Umby:
$(12!*4!*4^4)/(16!)=64/455=14,066%$
Che coincide col risultato di Umby:
Per quanto riguarda il secondo punto, le $120$ coppie non c'entrano nulla.
Il giocatore n. 6 si qualifica ai quarti solo se incontra uno dei 10 giocatori che lo seguono in classifica.
Pertanto la sua probabilità di classificarsi ai quarti è $10/15=2/3$
Ma non ritengo sia questo il modo corretto di procedere.
Facendo in altra maniera, mi viene che la probabilità che il giocatore n. 6 raggiunga le semifinali è $24/91=26,37%$
Fammi sapere se hai i risultati.
Il giocatore n. 6 si qualifica ai quarti solo se incontra uno dei 10 giocatori che lo seguono in classifica.
Pertanto la sua probabilità di classificarsi ai quarti è $10/15=2/3$
Ma non ritengo sia questo il modo corretto di procedere.
Facendo in altra maniera, mi viene che la probabilità che il giocatore n. 6 raggiunga le semifinali è $24/91=26,37%$
Fammi sapere se hai i risultati.
Purtroppo non conosco i risultati! Immaginavo che il secondo punto fosse totalmente errato...potete spiegarmi come siete arrivati all'altro risultato?
Ciao.
All'altro risultato di cosa?
1° o 2° punto?
All'altro risultato di cosa?
1° o 2° punto?
Di entrambi se è possibile :/ sto iniziando ora a studiare un po' di probabilità e non ho ancora ingranato bene!
Partiamo col primo.
Dividiamo il tabellone in 4 quadranti di 4 giocatori ciascuno. Da ciascuno di essi uscirà un semifinalista.
Affinchè in semifinale ci siano i primi 4 del ranking (li chiamerò top per abbreviare), vuol dire che ce ne deve essere uno per quadrante.
Allora la probabilità che nel primo quadrante ci sia un top e gli altri 3 no è $4/16*12/15*11/14*10/13*4$. Ho moltiplicato per 4 perchè il top non dev'essere necessariamente il primo, ma può essere in una qualsiasi delle 4 posizioni.
Analogamente per il secondo quadrante $3/12*9/11*8/10*7/9*4$
Continuo con il terzo quadrante $2/8*6/7*5/6*4/5*4$
Finisco col quarto quadrante $1/4*3/3*2/2*1/1*4$ Quest'ultimo passaggio è ininfluente al fine del calcolo (infatti il suo parziale è $1$), però mi serve per rendere chiaro il tutto.
Se adesso moltiplichi fra loro le varie probabilità parziali ottieni quello che ti ho scritto prima:
$(12!*4!*4^4)/(16!)$
Dividiamo il tabellone in 4 quadranti di 4 giocatori ciascuno. Da ciascuno di essi uscirà un semifinalista.
Affinchè in semifinale ci siano i primi 4 del ranking (li chiamerò top per abbreviare), vuol dire che ce ne deve essere uno per quadrante.
Allora la probabilità che nel primo quadrante ci sia un top e gli altri 3 no è $4/16*12/15*11/14*10/13*4$. Ho moltiplicato per 4 perchè il top non dev'essere necessariamente il primo, ma può essere in una qualsiasi delle 4 posizioni.
Analogamente per il secondo quadrante $3/12*9/11*8/10*7/9*4$
Continuo con il terzo quadrante $2/8*6/7*5/6*4/5*4$
Finisco col quarto quadrante $1/4*3/3*2/2*1/1*4$ Quest'ultimo passaggio è ininfluente al fine del calcolo (infatti il suo parziale è $1$), però mi serve per rendere chiaro il tutto.
Se adesso moltiplichi fra loro le varie probabilità parziali ottieni quello che ti ho scritto prima:
$(12!*4!*4^4)/(16!)$
Sei stato chiarissimo grazie!!
Per quanto riguarda il secondo quesito, la soluzione è più semplice di come pensavo.
Infatti, affinchè il giocatore n. 6 arrivi in semifinale, è necessario che incontri uno dei 10 che lo segue in classifica. E' necessario anche che il suo avversario successivo derivi da una coppia formata da giocatori di ranking inferiore.
$10/15*9/14*8/13=720/2.730=24/91$
Infatti, affinchè il giocatore n. 6 arrivi in semifinale, è necessario che incontri uno dei 10 che lo segue in classifica. E' necessario anche che il suo avversario successivo derivi da una coppia formata da giocatori di ranking inferiore.
$10/15*9/14*8/13=720/2.730=24/91$
"superpippone":
Per quanto riguarda il secondo quesito, la soluzione è più semplice di come pensavo.
Infatti, affinchè il giocatore n. 6 arrivi in semifinale, è necessario che incontri uno dei 10 che lo segue in classifica. E' necessario anche che il suo avversario successivo derivi da una coppia formata da giocatori di ranking inferiore.
Perfetto.
In altre parole deve essere il più forte del suo quadrante.
Per il punto 1) ho diviso i 16 giocatori nei 4 quadranti (uno per ogni semifinalista).
I primi 4 top leader li ho smistati uno per ogni quadrante (in rosso).
I 4 top, possiamo distribuirli nei 4 quadranti in $4!$
Inoltre ognuno dei 4, puo' occupare una delle 4 posizioni $4^4$
Gli altri 12 "non top" possiamo distribuirli in $12!$
I casi totali sono $16!$
Il risultato finale è lo stesso di pippone.
I primi 4 top leader li ho smistati uno per ogni quadrante (in rosso).
I 4 top, possiamo distribuirli nei 4 quadranti in $4!$
Inoltre ognuno dei 4, puo' occupare una delle 4 posizioni $4^4$
Gli altri 12 "non top" possiamo distribuirli in $12!$
I casi totali sono $16!$
Il risultato finale è lo stesso di pippone.
[hide="."]Interessantissimo esercizio... poi sul mio sport preferito!! Grazie mille, davvero... Il tennis e' uno sport straordinario e quello che vorrei fare e' trovare qualcuno che mi possa aiutare nel servizio.. infatti ho molta difficolta' a mettere le prime di servizio in campo... in realta' ho letto diverse guide come questa http://www.faretennis.com/lezioni-tenni ... o-195.html ma alla fine non e' che sia riuscito a trovare qualcosa di veramente buono e che mi possa aiutare nel servizio.
Qualcuno di voi saprebbe darmi delle dritte?[/hide]
Qualcuno di voi saprebbe darmi delle dritte?[/hide]
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