[EX] Probabilità e Statistica
Ragazzi vi prego aiutatemi a risolvere questi problemi che tra 2 giorni ho l'esame!!!!!
Grazie in anticipo!!!
Problema 1
Consideriamo che X sia uniformemente distribuita nell'intervallo [0,1].
Si calcoli la pdf congiunta di 5 osservazioni del campione. Si calcoli la media e la varianza della variabile aleatoria "somma" e della variabile aleatoria "valor medio" del campione.
Problema 2
Si consideri un campione con 16 lampadine aventi una vita media di 3000 ore ed uno scarto tipo di 20 ore. Utilizzando una distribuzione normale con parametri (mu e sigma), si calcoli la probabilità che, prendendo un altro campione di 16 lampadine, la stima di S non ecceda il valore vero di S-sigma minore o uguale di 2.
Problema 3
10 coppie di autovetture identiche son state divise in due gruppi (I e II) e fatte circolare in due città diverse. Le percorrenze chilometriche per litro di carburante fatte registrare dalle autovetture sono le seguenti (ogni colonna corrisponde ad una coppia) :
I 7.58 9.54 8.70 8.80 9.18 8.54 9.71 7.78 8.23 6.75
II 7.94 9.43 10.81 9.88 11.09 10.67 6.99 8.93 9.77 7.25
Senza invocare l'ipotesi di distribuzioni Gaussiane, è possibile verificare, ad un livello di significatività 0.95, la tesi secondo cui il primo gruppo di autovetture ha mediamente consumato più carburante del secondo? Svolgere il problema utilizzando un test parametrico.
Problema 4
Sia u=ax+by+cz la prestazione di un sistema dipendente linearmente dai parametri di progetto x,y e z. Qual'è la varianza di u supponendo note quelle dei rispettivi parametri Vx,Vy e Vz?
Grazie in anticipo!!!
Problema 1
Consideriamo che X sia uniformemente distribuita nell'intervallo [0,1].
Si calcoli la pdf congiunta di 5 osservazioni del campione. Si calcoli la media e la varianza della variabile aleatoria "somma" e della variabile aleatoria "valor medio" del campione.
Problema 2
Si consideri un campione con 16 lampadine aventi una vita media di 3000 ore ed uno scarto tipo di 20 ore. Utilizzando una distribuzione normale con parametri (mu e sigma), si calcoli la probabilità che, prendendo un altro campione di 16 lampadine, la stima di S non ecceda il valore vero di S-sigma minore o uguale di 2.
Problema 3
10 coppie di autovetture identiche son state divise in due gruppi (I e II) e fatte circolare in due città diverse. Le percorrenze chilometriche per litro di carburante fatte registrare dalle autovetture sono le seguenti (ogni colonna corrisponde ad una coppia) :
I 7.58 9.54 8.70 8.80 9.18 8.54 9.71 7.78 8.23 6.75
II 7.94 9.43 10.81 9.88 11.09 10.67 6.99 8.93 9.77 7.25
Senza invocare l'ipotesi di distribuzioni Gaussiane, è possibile verificare, ad un livello di significatività 0.95, la tesi secondo cui il primo gruppo di autovetture ha mediamente consumato più carburante del secondo? Svolgere il problema utilizzando un test parametrico.
Problema 4
Sia u=ax+by+cz la prestazione di un sistema dipendente linearmente dai parametri di progetto x,y e z. Qual'è la varianza di u supponendo note quelle dei rispettivi parametri Vx,Vy e Vz?
Risposte
mostra una tua proposta. Se hai l'esame devi pur sapere come iniziare, se ti blocchi si aiuta ad andare avanti.
Allora per quanto riguarda i problemi n° 1 e 4 nonostante abbia studiato non riesco a trovare un modo per svolgerli.
Per il n°2 invece credo che debba utilizzare un'ancillare x2 :
Pr(S-sigma)<=2 = 1-alfa
ma non sono in grado di capire in che modo devo svolgere questa sostituzione.
Per il n°3 ho operato in questo modo :
ho pensato che si trattasse di un test sulla differenza di medie ed ho quindi trovato la differenza tra le medie dei chilometri di ciascuna coppia di automobili x=x2-x1. L'ipotesi nulla è H0=(mu1=mu2) mentre l'alternativa è H1=(mu2>mu1).
Utilizzando quindi un livello di significatività del 95 % ho adottato la statistica di student T = X/(S/radq(n)).
Ma non sono assolutamente convinto.
Per il n°2 invece credo che debba utilizzare un'ancillare x2 :
Pr(S-sigma)<=2 = 1-alfa
ma non sono in grado di capire in che modo devo svolgere questa sostituzione.
Per il n°3 ho operato in questo modo :
ho pensato che si trattasse di un test sulla differenza di medie ed ho quindi trovato la differenza tra le medie dei chilometri di ciascuna coppia di automobili x=x2-x1. L'ipotesi nulla è H0=(mu1=mu2) mentre l'alternativa è H1=(mu2>mu1).
Utilizzando quindi un livello di significatività del 95 % ho adottato la statistica di student T = X/(S/radq(n)).
Ma non sono assolutamente convinto.
Se ho violato il regolamento in qualcosa chiedo scusa. Sono da poco iscritto e non sono ben a conoscenza di tutte le regole.
Se qualcuno mi dice dove e cosa ho sbagliato provo a rimediare riformulando i miei problemi. Saluti.
Se qualcuno mi dice dove e cosa ho sbagliato provo a rimediare riformulando i miei problemi. Saluti.
e 4 nonostante abbia studiato non riesco a trovare un modo per svolgerli.
bhe la terminologia che utilizza il testo non mi è familiare.
Penso si tratti solamente di calcolare la varianza di tre v.a. dipendendenti, in pratica applichi le proprietà della varianza.
Per il n°3 ho operato in questo modo :
ho pensato che si trattasse di un test sulla differenza di medie ed ho quindi trovato la differenza tra le medie dei chilometri di ciascuna coppia di automobili x=x2-x1. L'ipotesi nulla è H0=(mu1=mu2) mentre l'alternativa è H1=(mu2>mu1).
Utilizzando quindi un livello di significatività del 95 % ho adottato la statistica di student T = X/(S/radq(n)).
Ma non sono assolutamente convinto.
non ho guardato i calcoli, ma il modello sulla differenza delle medie è corretto.
Per il n°2 invece credo che debba utilizzare un'ancillare x2 :
Pr(S-sigma)<=2 = 1-alfa
ma non sono in grado di capire in che modo devo svolgere questa sostituzione.
penso che si debba utilizzare l'approssimazione normale, e valutare un $\alpha$ che sia significativo per questo problema.
1. Per il primo esercizio credo ti sia dimenticato di rispondermi. La pdf congiunta generalmente si utilizza per 2 variabili, come faccio a calcolarla in questo caso? E come si opera per media e varianza di "somma" e "valor medio"?
2. Mi stai quindi dicendo che utilizzare la T di student è corretto?! Ho fatto quindi bene? Se non infrango il regolamento, potresti illustrami i calcoli?
3. Anche io avevo pensato di valutare un alfa significativo per questo problema, ma come si utilizza l'approssimazione normale in questo caso?
4."Calcolare la varianza di tre v.a.dipendenti". Potresti illustrarmi in che modo si fa?
Saluti e grazie della disponibilità.
2. Mi stai quindi dicendo che utilizzare la T di student è corretto?! Ho fatto quindi bene? Se non infrango il regolamento, potresti illustrami i calcoli?
3. Anche io avevo pensato di valutare un alfa significativo per questo problema, ma come si utilizza l'approssimazione normale in questo caso?
4."Calcolare la varianza di tre v.a.dipendenti". Potresti illustrarmi in che modo si fa?
Saluti e grazie della disponibilità.
per il momento vediamo questi:
una pdf congiunta può avere $n$ fattori (è un vettore di v.a.)
Ma non capisco perchè parla di mere osservazioni e congiunte, si potrebbe parlarne se parlasse di 5 campioni estatti da una popolazione (uniforme).
come detto basta utilizzare le proprietà della varianza (se di questo si parla non comprendendo la terminologia che utilizza il testo). Se son dipendenti ci sarà di mezzo la correlazione (v. wiki en)
es. $Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2ab*Cov(X,Y)$
"cherubin0":
1. Per il primo esercizio credo ti sia dimenticato di rispondermi. La pdf congiunta generalmente si utilizza per 2 variabili, come faccio a calcolarla in questo caso? E come si opera per media e varianza di "somma" e "valor medio"?
una pdf congiunta può avere $n$ fattori (è un vettore di v.a.)
Ma non capisco perchè parla di mere osservazioni e congiunte, si potrebbe parlarne se parlasse di 5 campioni estatti da una popolazione (uniforme).
4."Calcolare la varianza di tre v.a.dipendenti". Potresti illustrarmi in che modo si fa?
come detto basta utilizzare le proprietà della varianza (se di questo si parla non comprendendo la terminologia che utilizza il testo). Se son dipendenti ci sarà di mezzo la correlazione (v. wiki en)
es. $Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2ab*Cov(X,Y)$
1.E quale sarebbe la soluzione se parlasse di 5 campioni estratti da una popolazione (uniforme)?? Poi mi chiede di calcolare varianza e media della v.a. somma e della v.a. valor medio. Come si fa?
2. Potresti illustrami i calcoli così confronto con come ho fatto io?!
3.Come si utilizza l'approssimazione normale in questo caso?
2. Potresti illustrami i calcoli così confronto con come ho fatto io?!
3.Come si utilizza l'approssimazione normale in questo caso?
hamming_burst aspetto una tua risposta. Saluti.
vediamo il 3:
come detto il metodo che hai utilizzato è corretto. Se ti serve un confronto sui calcoli proviamo... ti dico che farò i calcoli con wolfram perciò posso anche copi-incollare sbagliato.
ti calcoli gli stimatori della distr. differenza delle medie, essendo osservazioni accoppiate (ipotizziamo indipendenti nelle misure) è veloce il tutto:
$\bar{X} = 1/10*(II_i - I_i) = 0.7950$
$\bar{S^2_X} = 1/9*((II_i - I_i)-\bar{X})^2 = 2.107494$
Il test d'ipotesi sarà considerare la differenza delle media valida se >0.
ipotesi unilatero: $\mu <= 0$ contro $\mu>0$
$T = \sqrt(10)*(\bar{X} - 0)/sqrt(S^2) = 1.73174$
confrontandolo con t-Student con $\alpha=0.05$
$t_{0.95}(9) = 1.83311$
si nota che il valore di T è più piccolo, perciò non possiamo respingere l'ipotesi che ci sia stato mediamente un consumo di carburante maggiore tra i due gruppi.
"cherubin0":
Problema 3
10 coppie di autovetture identiche son state divise in due gruppi (I e II) e fatte circolare in due città diverse. Le percorrenze chilometriche per litro di carburante fatte registrare dalle autovetture sono le seguenti (ogni colonna corrisponde ad una coppia) :
I 7.58 9.54 8.70 8.80 9.18 8.54 9.71 7.78 8.23 6.75
II 7.94 9.43 10.81 9.88 11.09 10.67 6.99 8.93 9.77 7.25
Senza invocare l'ipotesi di distribuzioni Gaussiane, è possibile verificare, ad un livello di significatività 0.95, la tesi secondo cui il primo gruppo di autovetture ha mediamente consumato più carburante del secondo? Svolgere il problema utilizzando un test parametrico.
come detto il metodo che hai utilizzato è corretto. Se ti serve un confronto sui calcoli proviamo... ti dico che farò i calcoli con wolfram perciò posso anche copi-incollare sbagliato.
ti calcoli gli stimatori della distr. differenza delle medie, essendo osservazioni accoppiate (ipotizziamo indipendenti nelle misure) è veloce il tutto:
$\bar{X} = 1/10*(II_i - I_i) = 0.7950$
$\bar{S^2_X} = 1/9*((II_i - I_i)-\bar{X})^2 = 2.107494$
Il test d'ipotesi sarà considerare la differenza delle media valida se >0.
ipotesi unilatero: $\mu <= 0$ contro $\mu>0$
$T = \sqrt(10)*(\bar{X} - 0)/sqrt(S^2) = 1.73174$
confrontandolo con t-Student con $\alpha=0.05$
$t_{0.95}(9) = 1.83311$
si nota che il valore di T è più piccolo, perciò non possiamo respingere l'ipotesi che ci sia stato mediamente un consumo di carburante maggiore tra i due gruppi.
3. Perfetto. Mi trovo esattamente con i tuoi calcoli.
2. α (alfa) è la mia incognita. E so di dover utilizzare una distribuzione normale. Il mio problema è che non so come impostare la mia statistica S-sigma come variabile standardizzata.
Saluti.
2. α (alfa) è la mia incognita. E so di dover utilizzare una distribuzione normale. Il mio problema è che non so come impostare la mia statistica S-sigma come variabile standardizzata.
Saluti.
La mia idea per risolvere questo problema sarebbe la seguente :
La deviazione campionaria S della deviazione standard sigma può essere approssimata con una distribuzione normale avente media sigma e deviazione standard sigma/radq(2n), ossia la statistica
Z= (S-sigma)/[sigma/(radq(2n)]
ma da qui non so come ricavarmi la mia probabilità α (alfa), e soprattutto questo procedimento varrebbe per i grandi campioni (ed io mi trovo con n=16) e non utilizzo assolutamente il dato di mu=3000 ore.
Saluti.
La deviazione campionaria S della deviazione standard sigma può essere approssimata con una distribuzione normale avente media sigma e deviazione standard sigma/radq(2n), ossia la statistica
Z= (S-sigma)/[sigma/(radq(2n)]
ma da qui non so come ricavarmi la mia probabilità α (alfa), e soprattutto questo procedimento varrebbe per i grandi campioni (ed io mi trovo con n=16) e non utilizzo assolutamente il dato di mu=3000 ore.
Saluti.
In effetti l'approssimazione normale in questo caso non ha molto senso utilizzarla, non avevo visto la numerosità del campione alla prima risposta.
Se interpreto bene il testo devi trovarti un intervallo di confidenza (regione) tale che $P{|S-\sigma|<=2}$.
Conosci la media e varianza della popolazione normale e questo indirizza al chi-quadro, per l'approssimazione degli stimatori campionari della varianza, ma ora non ho in mente un procedimento corretto da proporti.
Per $\alpha$ prenditi quella classica $0.05$ o alla fine valutane una più significativa.
Se interpreto bene il testo devi trovarti un intervallo di confidenza (regione) tale che $P{|S-\sigma|<=2}$.
Conosci la media e varianza della popolazione normale e questo indirizza al chi-quadro, per l'approssimazione degli stimatori campionari della varianza, ma ora non ho in mente un procedimento corretto da proporti.
Per $\alpha$ prenditi quella classica $0.05$ o alla fine valutane una più significativa.
Che significa prendere un α 0.05 alla fine di valutarne una più significativa? Vado per esclusione?! Non mi sembra il procedimento corretto...
1. Quale sarebbe la soluzione se parlasse di 5 campioni estratti da una popolazione (uniforme)?? Poi mi chiede di calcolare varianza e media della v.a. somma e della v.a. valor medio. Come si fa?
1. Quale sarebbe la soluzione se parlasse di 5 campioni estratti da una popolazione (uniforme)?? Poi mi chiede di calcolare varianza e media della v.a. somma e della v.a. valor medio. Come si fa?
"cherubin0":
Che significa prendere un α 0.05 alla fine di valutarne una più significativa? Vado per esclusione?! Non mi sembra il procedimento corretto...
es. se hai un'ipotesi che viene respinta con livello 0.05, cambi livello un di 0.01 e vedi cosa accade alla significatività dell'ipotesi (oppure per vedere se la ragione deve essere ampliata o diminuita) per rendere sensato un test. Che poi forse non sia una procedura corretta ad un esame, posso esser d'accordo.
Consideriamo che X sia uniformemente distribuita nell'intervallo [0,1].
Si calcoli la pdf congiunta di 5 osservazioni del campione.
credo si intenda questo: http://www.ds.unifi.it/~chiandot/STAT2_ ... ASUALI.pdf pag. 9
Si calcoli la media e la varianza della variabile aleatoria "somma"
se intende una somma di v.a. qualunque (sempre uniformi) è semplice proprietà del valore atteso (http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value#Linearity) e varianza (stesso discorso del prob. 4)
e della variabile aleatoria "valor medio" del campione.
mmm questa non so risponderti (avrei pensato ad un legame con il TLC ma non so).
però il tuo docente si mette ben d'impegno a scrivere testi criptici (o meglio son io che non li capisco).
In questo modo però (utilizzando la chi-quadro) non utilizzo il dato X=3000 ore!! :S
In pratica mi stai dicendo di operare in questo modo :
P{|S−σ|≤2} = 1-0.05
(n-1) s^2/ chi-quadro[α/2] < σ^2 < (n-1) s^2 / chi-quadro[1-α/2]
e mi trovo un intervallo di confidenza. Ma io ho bisogno di S−σ....scusami ma proprio non capisco.
In pratica mi stai dicendo di operare in questo modo :
P{|S−σ|≤2} = 1-0.05
(n-1) s^2/ chi-quadro[α/2] < σ^2 < (n-1) s^2 / chi-quadro[1-α/2]
e mi trovo un intervallo di confidenza. Ma io ho bisogno di S−σ....scusami ma proprio non capisco.
http://www.ds.unifi.it/~chiandot/STAT2_ ... ASUALI.pdf
su questo link non riesco a trovare dov'è che mi esplicita la pdf richiesta. Me la potresti indicare?!
su questo link non riesco a trovare dov'è che mi esplicita la pdf richiesta. Me la potresti indicare?!
"cherubin0":
In questo modo però (utilizzando la chi-quadro) non utilizzo il dato X=3000 ore!! :S.
infatti è uno dei motivi del perchè non ho continuato a descrivere qualcosa. Potrebbe esser il test d'ipotesi sulle varianze (Fischer). Domani se son più fresco cerco qualcosa, ora evito di farti confondere.
su questo link non riesco a trovare dov'è che mi esplicita la pdf richiesta. Me la potresti indicare?!
pag. 9
domani sarà troppo tardi poichè ho l'esame alle 9, se non chiedo troppo cerca di provarci ora.
a pagina 9 non mi esplicita qual'è la pdf!
a pagina 9 non mi esplicita qual'è la pdf!
direi che se è così, l'ora è tarda e preferisco non darti risposte che ritengo sbagliate.
Una strada percorribile te l'ho proposta (regione critica per l'ipotesi), ma dovrei vedere, trattare le varianze non è un giochetto.
Una strada percorribile te l'ho proposta (regione critica per l'ipotesi), ma dovrei vedere, trattare le varianze non è un giochetto.
ok...hai perfettamente ragione!
Potresti solo gentilmente indicarmi la formula esplicita della pdf delle 5 osservazioni? Non riesco a capire qual'è a pagina 9.
Potresti solo gentilmente indicarmi la formula esplicita della pdf delle 5 osservazioni? Non riesco a capire qual'è a pagina 9.
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