[EX] Prob. palline dorate
Ciao, amici! Trovo sul testo di probabilità e statistica che sto seguendo un esercizio apparentemente facile che mi lascia qualche perplessità.
Due palline, ognuna delle quali è dipinta d'oro o di nero con uguale probabilità di $1/2$, vengono messe in un'urna. Si devono calcolare le probabilità che
a) entrambe le palline siano dorate sapendo per certo che la vernice dorata è stata usata e quindi che almeno una pallina è dorata;
b) anche la seconda pallina sia dorata se l'urna viene scossa e ne esce una pallina dorata.
Anticipo che il libro fornisce le soluzioni $1/3$ per (a) e $1/2$ per (b).
Nel caso (a) direi che, chiamando \(E=\{(d,d)\}\) (utilizzo coppie ordinate di iniziali per i due colori di una pallina e dell'altra) l'evento in cui entrambe le palline sono dorate e \(F=\{(d,d),(d,n),(n,d)\}\) quello in cui almeno una lo è, si debba procedere calcolando\[P(E|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}\]perché $P(E\cap F)=P(E)=\frac{1}{4}$ dato che lo spazio degli esiti, equiprobabili, è \(\{(d,d),(d,n),(n,d),(n,n)\}\).
Giusto?
Nel caso (b) direi che basti osservare che l'essere dorata o nera della seconda pallina è un evento, di probabilità $1/2$ come da testo dell'esercizio, indipendente dal colore della pallina precedentemente estratta o di qualunque altra pallina e tale evento è equivalente all'evento in cui esca una seconda pallina dorata se la prima uscita lo era. Sbaglio?
Anche se suppongo che questa possa essere una spiegazione dei due risultati forniti dal libro (che ho guardato dopo aver trovato erroneamente \(1/3\) in entrambi i casi), il fatto che l'evento in cui due palline siano dorate sapendo che una lo è e l'evento in cui la seconda pallina sia dorata dopo averne estratto una che lo è non si equivalgano mi lascia un po' perplesso... Qualcuno ha voglia di provare a convincermene?
Grazie di cuore a tutti!!!
Due palline, ognuna delle quali è dipinta d'oro o di nero con uguale probabilità di $1/2$, vengono messe in un'urna. Si devono calcolare le probabilità che
a) entrambe le palline siano dorate sapendo per certo che la vernice dorata è stata usata e quindi che almeno una pallina è dorata;
b) anche la seconda pallina sia dorata se l'urna viene scossa e ne esce una pallina dorata.
Anticipo che il libro fornisce le soluzioni $1/3$ per (a) e $1/2$ per (b).
Nel caso (a) direi che, chiamando \(E=\{(d,d)\}\) (utilizzo coppie ordinate di iniziali per i due colori di una pallina e dell'altra) l'evento in cui entrambe le palline sono dorate e \(F=\{(d,d),(d,n),(n,d)\}\) quello in cui almeno una lo è, si debba procedere calcolando\[P(E|F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}\]perché $P(E\cap F)=P(E)=\frac{1}{4}$ dato che lo spazio degli esiti, equiprobabili, è \(\{(d,d),(d,n),(n,d),(n,n)\}\).
Giusto?
Nel caso (b) direi che basti osservare che l'essere dorata o nera della seconda pallina è un evento, di probabilità $1/2$ come da testo dell'esercizio, indipendente dal colore della pallina precedentemente estratta o di qualunque altra pallina e tale evento è equivalente all'evento in cui esca una seconda pallina dorata se la prima uscita lo era. Sbaglio?
Anche se suppongo che questa possa essere una spiegazione dei due risultati forniti dal libro (che ho guardato dopo aver trovato erroneamente \(1/3\) in entrambi i casi), il fatto che l'evento in cui due palline siano dorate sapendo che una lo è e l'evento in cui la seconda pallina sia dorata dopo averne estratto una che lo è non si equivalgano mi lascia un po' perplesso... Qualcuno ha voglia di provare a convincermene?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Grazie, sergio, per la risposta! Non ho ben capito perché, nel caso (b), consideri lo spazio degli esiti \( \{(d,d),(d,n),(n,d)\}\)...
In questo caso il testo non mi sembra premettere che almeno una pallina sia dorata... C'è qualcosa che mi sfugge...
$+\infty$ grazie ancora!!!
In questo caso il testo non mi sembra premettere che almeno una pallina sia dorata... C'è qualcosa che mi sfugge...
$+\infty$ grazie ancora!!!
Grazie!!! Per quanto riguarda il caso (a) per cui mi dici che
Crederei che considerate lo spazio degli eventi \(\{(d,d),(d,n),(n,d)\}\) che consideri tu sia l'identica cosa di porre la condizione che valga l'ipotesi $F$ (per cui almeno una pallina è dorata), o no?
Scusami per la domanda, sicuramente stupida, ma mi piacerebbe essere di sicuro di queste cose per non trovarmi convinto di qualcosa di erroneo...
Grazie di cuore ancora!
"Sergio":ti sembra comunque sbagliato il mio ragionamento o è solo un'innecessaria complicazione?
Francamente nel primo caso ragionerei in modo più semplice: lo spazio dei risultati possibili è \(\{(d,d),(d,n),(n,d)\}\) in quanto sapere che almeno una è dorata esclude il risultato \((n,n)\). La probabilità di \((d,d)\) è chiaramente \(1/3\).
Crederei che considerate lo spazio degli eventi \(\{(d,d),(d,n),(n,d)\}\) che consideri tu sia l'identica cosa di porre la condizione che valga l'ipotesi $F$ (per cui almeno una pallina è dorata), o no?
Scusami per la domanda, sicuramente stupida, ma mi piacerebbe essere di sicuro di queste cose per non trovarmi convinto di qualcosa di erroneo...
Grazie di cuore ancora!
Credo di aver capito... Non è quindi lecito costruire un esito di tipo $F={$lo spazio degli esiti considerato per il calcolo della probabilità \(P(E|F)\) è un sottoinsieme proprio dello spazio degli esiti consideato per \(P(E)\)$}$?
Grazie di cuore ancora!!!
Grazie di cuore ancora!!!
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