Ex distribuzione poisson
si ha una scatola contenente $N+1$ pallinee contrassegnate dai numeri interi da $0$ a $N$, dove $N$ è una v.a con distribuzione di poisson di parametro $mu$. da questa scatola estraggo a caso una pallina. calcolare la probabilità che la pallina estratta si quella contrassegnata dal numero $0$.
non riesco a capire come si fa...per farvi capire il mio dubbio se io ho 8 palline, quindi $N=7$, la probabilità che cerco dovra essere data da 1-la pallina contrassegnata con il 7 che è distribuita con poisson meno le rimanenti che sono distribuite normalmente...come faccio a scrivere ciò?
non riesco a capire come si fa...per farvi capire il mio dubbio se io ho 8 palline, quindi $N=7$, la probabilità che cerco dovra essere data da 1-la pallina contrassegnata con il 7 che è distribuita con poisson meno le rimanenti che sono distribuite normalmente...come faccio a scrivere ciò?
Risposte
"blabla":
distribuite normalmente...
non ha senso tale frase. Non c'è modo di ipotizzare la normalità dell'estrazione.
"blabla":
si ha una scatola contenente $N+1$ pallinee contrassegnate dai numeri interi da $0$ a $N$, dove $N$ è una v.a con distribuzione di poisson di parametro $mu$. da questa scatola estraggo a caso una pallina. calcolare la probabilità che la pallina estratta si quella contrassegnata dal numero $0$.
sono un po' di fretta ma dovrebbe essere tipo probabilità condizionata (oppure la formalizazione con una v.a. congiunta)
Sia \(N \sim \mathcal{P}(\mu)\) e \(Y \sim \mathcal{B}(\frac{1}{n+1})\) oppure formalizza con ipergeometrica ma è qualcosa in più.
la probabilità da trovare: $P(Y=1|N=0)$ dove si intende che il numero $N$ essendo legato alla probabilità di prima estrazione (che è uguale per ogni numero, classico estr. senza ripetizione) deve essere conosciuto a priori (calcolato con poisson) per estrarre la pallina.
"Sergio":
Sbaglierò (mi capita spesso con esercizi come questo e... anche di altri tipi), ma mi sembra molto semplice.
Se ho \(n+1\) palline, la probabilità di estrarne una in particolare - in questo caso quella col numero 0 - è \(1/(n+1)\).
Dato che \(n\) è un possibile valore della variabile aleatoria \(N\sim\text{Pois}(\mu)\), mi interessa il verificarsi di due eventi: \(B\) = "estraggo la pallina num. 0" e \(N = n\).
Chiaramente i due eventi non sono indipendenti, quindi calcolo:
\(\displaystyle P(B,N=n)=P(N=n)P(B|N=n)=e^{-\mu}\frac{\mu^n}{n!}\frac{1}{n+1}=e^{-\mu}\frac{\mu^n}{(n+1)!}\)
concordo con la formalizzazione generale, inteso che è il risultato che pensavo.
Mi pareva una prob. condizionata la richiesta, ma in effetti una congiunzione dovrebbe essere più esatta.
L'utilizzo della bernoulli forse è una complicanza inutile ai fini dell'esercizio, anche se mi pare formalmente corretta.
Cmq gli eventi richiesti non dovrebbero essere $B$ e $N=0$. Cioè lo $0$ coincide con il tempo $0$ secondo Poisson. Quindi $P(N=0)P(B|N=0) = e^{-\mu}\frac{\mu^0}{(0+1)!} = e^{-\mu}$. Sbaglio?
il risultato che mi viene dato dalle dispense è diverso, viene
$(1-e^-mu)/mu$
$(1-e^-mu)/mu$
grazie della spiegazione Sergio.
Sul risultato, purtroppo l'interpretazione di un testo è sempre una variabile.
Devo dire che ho dovuto convincermi del tuo procedimento e del risultato per caprie se il testo possa essere valido e non il contrario.
Sul risultato, purtroppo l'interpretazione di un testo è sempre una variabile.
Devo dire che ho dovuto convincermi del tuo procedimento e del risultato per caprie se il testo possa essere valido e non il contrario.
"Sergio":
@hamming_burst. Sei impagabile.
"Sergio":
Comunque la faccenda è piuttosto semplice: si tratta di un problema "tipico", e me ne sono ricordato solo dopo aver cercato su Google. Ho ritrovato l'esercizio tra quelli proposti da Marco Perone Pacifico, un prof. di Statistica della Sapienza con cui ho anche dato un esame, e i cui esercizi vengono proposti anche dal prof. San Martini, con cui ho dato l'esame di probabilità.
se è voluta quella scrittura "ambigua" si impegna e sono di un livello un attimo superiore agli esercizi classici di un qualunque corso di statistica base.
"Sergio":
Avrei dovuto riconoscerlo subito, ma da qualche tempo ho la testa piena di altre cose (dati longitudinali/panel, modelli a effetti misti, inferenza bayesiana ecc.) che mi servono per la tesi.
tesi!!!
posso chiedere che argomento fai, se non è troppo specialistico...
"Sergio":
Per darti un'idea, ecco un analogo esercizio di San Martini: All’edicola del sig. Bianchi arrivano \(n\) CD, ciascuno difettoso con probabilità \(p\). Il sig. Bianchi li vende tutti ad altrettanti \(n\) clienti. Ogni cliente, se il suo CD è difettoso, lo restituisce oppure no, a seconda che ottiene testa o croce lanciando una moneta regolare. Trovare la d.d.p. della v.a.
\(R=\) "numero di CD restituiti".
Se vuoi provare... (la soluzione si trova comunque qui a pag. 76).
simpatico esercizio, se ho un po' di tempo ci provo. Grazie
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