[EX] convergenza di variabili aleatorie

[Lo_zio_Tom]

Sia ${Y_n}_n$ una successione di v.a. i.i.d. $Exp(theta)$. Posto $X_n=Y_n/(log n)$ studiare la convergenza $X_n rarr 0$ in probabilità, in $L^p$ e q.c.

[cooper1]

calcolo a funzione caratteristica di $X_n$ (la chiamo M per velocitzzare la scrittura )
$M_(X_n)=M_(Y_n)(t/(logn))=theta/(theta-(it)/(logn)) ->_(n->+oo) 1$ usando i limiti notevoli
1 è la funzione caratteristica di $X-=0$ e quindi $X_n \stackrel\(mathcal(L))rarr 0$
poichè 1 è una costante la convergenza è anche in probabilità, poichè poi è monotona converge anche quasi certamente (allo stesso valore di quella in distribuzione poichè altrimenti avrei un assurdo).
infine poichè $E(|X_n|^p)=1/(log^pn)E(|Y_n|^p)->0$ si ha anche la convergenza in $L^p$ (quel valore atteso è infatti sempre convergente per $p>=0$)

[cooper1]

"arnett":@cooper non capisco cosa usi per risalire dalla probabilità alla q.c. e come vedi non mi trovo con il risultato

io sapevo che se una successioni di v.a. era monotona allora convergeva quasi certamente verso una qualche v.a. poichè vale $q.c. rArr P$ deve essere che converge necessariamente a 0. non sono però sicuro al 100% di questo risultato (è stato solo usato una volta in classe)
ho però un dubbio:

"arnett":$\sum_n^\inftyexp(-\theta\epsilon\logn)=\sum_n^\infty(\theta\epsilon)/n $ che non converge.

non dovrebbe essere $e^(logn^(-epsilon theta))=n^(-epsilon theta)$, che quindi è convergente se $epsilon theta >1$?

[cooper1]

"arnett":Ma appunto dato θ riuscirei a trovare valori di ε tali da far divergere quella serie.

in effetti

"arnett":Quanto al criterio che dici tu non so, non lo avevo mai visto, ma non sono proprio certo che la successione qui sia decrescente, cioè metti che Y2 assuma un valore piccolo, se Y3 assume un valore abbastanza grande da compensare lo scarto tra log2 e log3 risulterà X3>X2.

in realtà avrei detto essere crescente perchè prodotto di funzioni crescenti (1/logn e l'esponenziale). ho però ora dubbi sull'esponenziale in effetti

[Lo_zio_Tom]

Non era così facile. Una condizione sufficiente per la convergenza qc è che

$Sigma_nP(|X_n-X|>epsilon)$ converga. Nel nostro caso la serie converge sse $epsilon>1/theta$. Se la serie non converge non possiamo dire nulla a meno che gli eventi non siano indipendenti. In questo caso si può usare il secondo lemma di Borel Cantelli e concludere che se la serie diverge allora non vi è convergenza qc

Nel nostro caso gli eventi sono indipendenti perché

${|X_n-X|>epsilon }={Y_n>epsilon logn}$

...e le va $Y_n$ sono indipendenti per ipotesi

[cooper1]

bello! non avevo mai usato il lemma di Borel-Cantelli, soluzione istruttiva!