[EX] Convergenza di v.a.
rieccomi dopo essere sparito per un po'. sono due giorni che ci sbatto su la testa ma ho solo idee confuse. qualche aiutino? 
Risposte
Come sempre in questo periodo sono in giro per lavoro e quindi non ho tempo di guardare questo interessante esercizio....
Ma osservo subito che:
Quando $p=1/2$, $n(2p-1)=0$ in quanto[nota]la forma di indeterminazione si ha quando fai il calcolo al limite, non quando fai $n*0$. Qualunque numero moltiplicato per zero dà zero.[/nota] $oo*0=0$ e quindi la tua variabile converge qc a 1.
ti manca da vedere se, per $p>1/2$ non vi siano convergenze più deboli.
Vediamo quella in legge: $SigmaX$ si distribuisce come una binomiale di media $+oo$ ma con il dominio modificato in
${-n,-n+2,...,n-2,n}$ e quindi la variabile Z prende valori in $2^(SigmaX)$ con probabilità della binomiale ma con media infinita
Non convergendo in legge ....
Ma osservo subito che:
Quando $p=1/2$, $n(2p-1)=0$ in quanto[nota]la forma di indeterminazione si ha quando fai il calcolo al limite, non quando fai $n*0$. Qualunque numero moltiplicato per zero dà zero.[/nota] $oo*0=0$ e quindi la tua variabile converge qc a 1.
ti manca da vedere se, per $p>1/2$ non vi siano convergenze più deboli.
Vediamo quella in legge: $SigmaX$ si distribuisce come una binomiale di media $+oo$ ma con il dominio modificato in
${-n,-n+2,...,n-2,n}$ e quindi la variabile Z prende valori in $2^(SigmaX)$ con probabilità della binomiale ma con media infinita
Non convergendo in legge ....
$P(p=1/2)=0$
quindi, essendo un insieme a misura nulla, potevi anche disinteressarti di questo caso e concludere che la tua variabile converge qc a zero per $p in [0;1/2]$
quindi, essendo un insieme a misura nulla, potevi anche disinteressarti di questo caso e concludere che la tua variabile converge qc a zero per $p in [0;1/2]$
ops, vero.
bell'esercizio! 
non è totalmente chiaro nemmeno a me. ho provato anche con un altro metodo che però non mi porta da nessuna parte:
se $nbar(X_n) -> 0$ allora deve convergerci anche $sum_k X_k$. quindi usando la CN per la convergenza quasi certa avrei..
$sum_n P(|sum_k X_k|>epsilon) <= sum_n (E((sum_k X_k)^2))/(epsilon)$ usando la disuguaglianza di Chebicev. notando ora che per $p=1/2$ le $X_k$ sono a media nulla posso scrivere che il tutto è $=sum_n sum_k (E((X_(k)^(2))))/epsilon = sum_n n/epsilon$ e quindi non concluderei nulla nemmeno così
se $nbar(X_n) -> 0$ allora deve convergerci anche $sum_k X_k$. quindi usando la CN per la convergenza quasi certa avrei..
$sum_n P(|sum_k X_k|>epsilon) <= sum_n (E((sum_k X_k)^2))/(epsilon)$ usando la disuguaglianza di Chebicev. notando ora che per $p=1/2$ le $X_k$ sono a media nulla posso scrivere che il tutto è $=sum_n sum_k (E((X_(k)^(2))))/epsilon = sum_n n/epsilon$ e quindi non concluderei nulla nemmeno così
Vi do uno spunto per riflettere:
se $\sum_k X_k$ converge ad una variabile finita allora $X_k$ converge a 0. Ma chiaramente $X_k$ non va a 0.
se $\sum_k X_k$ converge ad una variabile finita allora $X_k$ converge a 0. Ma chiaramente $X_k$ non va a 0.
ciò vuol dire che in $p=1/2$ non possiamo dire niente? usando la contronominale alla tua proposizione infatti, io direi che la somma potrebbe divergere o non avere limite.
"arnett":
(Credo)
tenderei ad essere d'accordo. (mi sembra che ci sia un -1 di troppo all'esponente però)
ah ok 
Edit: mi era sfuggito il termine di somma nella domanda...scusate
La serie è indeterminata, ma il vostro ragionamento non funziona. State calcolando la probabilità che diverga facendo la strada più veloce possibile: ad esempio +1, +1, +1,...
La probabilità di ciò è chiaramente zero: è la probabilità di avere sempre testa (o croce) in infiniti lanci.
Secondo voi, dove va $"limsup"_n \sum_{k=1}^n X_k$?
La serie è indeterminata, ma il vostro ragionamento non funziona. State calcolando la probabilità che diverga facendo la strada più veloce possibile: ad esempio +1, +1, +1,...
La probabilità di ciò è chiaramente zero: è la probabilità di avere sempre testa (o croce) in infiniti lanci.
Secondo voi, dove va $"limsup"_n \sum_{k=1}^n X_k$?
ieri sera, fra un aereo e l'altro, un bilancio ed una riunione, ho guardato con una "certa calma" il problema.
La successione $X_k$ è una passeggiata aleatoria semplice (semplice per modo di dire.....); se è asimmetrica, la soluzione la trovate QUI, in un topic che ho risolto precedentemente.
purtroppo nel caso di $p=1/2$ la passeggiata è simmetrica, il criterio del rapporto non dà risultato (viene 1) e quindi il lemma di Borel Cantelli non è d'aiuto. La serie comunque diverge e, per dimostrarlo dovete, se ne avete voglia, iniziare a studiare ben bene i processi stocastici.
Se invece @DajeForte (che indubbiamente è uno degli utenti più preparati fra quelli che frequentano questa stanza del forum) ha voglia di mostrare la soluzione al problema, viste le numerose sciocchezze che abbiamo detto in precedenza, sarebbe sicuramente utile alla crescita della community
@arnett: quoto al 100%
La successione $X_k$ è una passeggiata aleatoria semplice (semplice per modo di dire.....); se è asimmetrica, la soluzione la trovate QUI, in un topic che ho risolto precedentemente.
purtroppo nel caso di $p=1/2$ la passeggiata è simmetrica, il criterio del rapporto non dà risultato (viene 1) e quindi il lemma di Borel Cantelli non è d'aiuto. La serie comunque diverge e, per dimostrarlo dovete, se ne avete voglia, iniziare a studiare ben bene i processi stocastici.
Se invece @DajeForte (che indubbiamente è uno degli utenti più preparati fra quelli che frequentano questa stanza del forum) ha voglia di mostrare la soluzione al problema, viste le numerose sciocchezze che abbiamo detto in precedenza, sarebbe sicuramente utile alla crescita della community
@arnett: quoto al 100%
"arnett":
[ot]Mai inventarsi esercizi che poi non si sa risolvere, parte seconda
Totalmente fuori dalla mia portata al momento! I processi stocastici fatti bene arriveranno il prossimo semestre 
Fanno sempre sudare :')
[ot]e comunque tommik non-stop working caspita!![/ot]
"tommik":
@arnett: quoto al 100%
Fanno sempre sudare :')
[ot]e comunque tommik non-stop working caspita!![/ot]
"arnett":
Perdonatemi
bhe se non altro imparo sempre qualcosa di nuovo!
Come dicevo, la serie è indeterminata in quanto $ "limsup"_n S_n= +\infty$ e $ "liminf"_n S_n= -\infty$ con probabilità 1.
Ci sono varie dimostrazioni per questo fatto. Ad esempio,
$ "limsup"_n S_n= +\infty$ è un evento coda, e dunque per la legge 0-1 di Kolmogorov, ha probabilità 0 o 1.
Dal TCL si ha che $P("limsup"_n S_n > \sqrt{n} )>0$ il che implica che $P("limsup"_n S_n= +\infty)>0$ che dunque ha probabilità 1.
Altri ragionamento possono essere fatti considerando martingale oppure sfruttando la markovianità e tempi di passaggio della passeggiata aleatoria.
Ci sono varie dimostrazioni per questo fatto. Ad esempio,
$ "limsup"_n S_n= +\infty$ è un evento coda, e dunque per la legge 0-1 di Kolmogorov, ha probabilità 0 o 1.
Dal TCL si ha che $P("limsup"_n S_n > \sqrt{n} )>0$ il che implica che $P("limsup"_n S_n= +\infty)>0$ che dunque ha probabilità 1.
Altri ragionamento possono essere fatti considerando martingale oppure sfruttando la markovianità e tempi di passaggio della passeggiata aleatoria.
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