Eventi indipendenti
L'esercizio cita:
Si lancino 5 monete. Sia A={tutte teste}, B={almeno due teste}, C={non più di tre teste}, D={tra due e quattro teste}. Dire se tra le coppie di eventi \(\displaystyle (A,B) (A,C) (A,D) (B,D) (B,C) (C,D) \) ve n'è una i cui elementi sono indipendenti.
Io ho ragionato così per la coppia (A,B):
\(\displaystyle |\Omega|=2^5 \) pertanto \(\displaystyle P(A)=1/32 \). Per calcolare \(\displaystyle P(B) \) ho pensato di calcolare la probabilità della negazione per poi sottrarla ad uno e ottenere la probabilità di B, cioè \(\displaystyle P(B)=1-P(\overline{B}) \). Dunque \(\displaystyle \overline{B} \) è l'insieme di tutti risultati aventi al più una volta testa, cioè \(\displaystyle \overline{B} \)= {CCCCC, TCCCC, CTCCC, CCTCC, CCCTC, CCCCT} e ha cardinalità 6, dunque \(\displaystyle P(\overline{B})=6/32=3/16 \). A questo punto è facile calcolare \(\displaystyle P(B)=1-3/16=13/16 \). Ora abbiamo \(\displaystyle P(A)*P(B)=13/2^9 \).
Per dimostrare che i due eventi sono indipendenti devo provare che \(\displaystyle P(A)*P(B)=P(A\cap B) \) allora calcolo \(\displaystyle P(A\cap B)=P(TTTTT)=1/2^5\neq13/2^9 \). E dunque i due eventi A e B sono dipendenti.
Io penso sia giusto questo ragionamento...posso procedere con le altre coppie?
Si lancino 5 monete. Sia A={tutte teste}, B={almeno due teste}, C={non più di tre teste}, D={tra due e quattro teste}. Dire se tra le coppie di eventi \(\displaystyle (A,B) (A,C) (A,D) (B,D) (B,C) (C,D) \) ve n'è una i cui elementi sono indipendenti.
Io ho ragionato così per la coppia (A,B):
\(\displaystyle |\Omega|=2^5 \) pertanto \(\displaystyle P(A)=1/32 \). Per calcolare \(\displaystyle P(B) \) ho pensato di calcolare la probabilità della negazione per poi sottrarla ad uno e ottenere la probabilità di B, cioè \(\displaystyle P(B)=1-P(\overline{B}) \). Dunque \(\displaystyle \overline{B} \) è l'insieme di tutti risultati aventi al più una volta testa, cioè \(\displaystyle \overline{B} \)= {CCCCC, TCCCC, CTCCC, CCTCC, CCCTC, CCCCT} e ha cardinalità 6, dunque \(\displaystyle P(\overline{B})=6/32=3/16 \). A questo punto è facile calcolare \(\displaystyle P(B)=1-3/16=13/16 \). Ora abbiamo \(\displaystyle P(A)*P(B)=13/2^9 \).
Per dimostrare che i due eventi sono indipendenti devo provare che \(\displaystyle P(A)*P(B)=P(A\cap B) \) allora calcolo \(\displaystyle P(A\cap B)=P(TTTTT)=1/2^5\neq13/2^9 \). E dunque i due eventi A e B sono dipendenti.
Io penso sia giusto questo ragionamento...posso procedere con le altre coppie?
Risposte
Prima di tutto un aiuto sui calcoli è considerare una binomiale $X \sim \text{Bin}(5,1/2)$.
ok
Nì, va bene ridursi a calcolare l'evento complementare, ma sbagli. Devi considerare l'eventi di avere al massimo due teste.
In notazione prob. $B = P{X>2} = 1 - P{X<=2}$
ok sul metodo, anche se un po' tedioso...
io ho ragionato così per la coppia (A,B):
\(\displaystyle |\Omega|=2^5 \) pertanto \(\displaystyle P(A)=1/32 \).
ok
Per calcolare \(\displaystyle P(B) \) ho pensato di calcolare la probabilità della negazione per poi sottrarla ad uno e ottenere la probabilità di B, cioè \(\displaystyle P(B)=1-P(\overline{B}) \). Dunque \(\displaystyle \overline{B} \) è l'insieme di tutti risultati aventi al più una volta testa, cioè \(\displaystyle \overline{B} \)= {CCCCC, TCCCC, CTCCC, CCTCC, CCCTC, CCCCT} e ha cardinalità 6, dunque \(\displaystyle P(\overline{B})=6/32=3/16 \). A questo punto è facile calcolare \(\displaystyle P(B)=1-3/16=13/16 \). Ora abbiamo \(\displaystyle P(A)*P(B)=13/2^9 \).
Nì, va bene ridursi a calcolare l'evento complementare, ma sbagli. Devi considerare l'eventi di avere al massimo due teste.
In notazione prob. $B = P{X>2} = 1 - P{X<=2}$
Per dimostrare che i due eventi sono indipendenti devo provare che \(\displaystyle P(A)*P(B)=P(A\cap B) \) allora calcolo \(\displaystyle P(A\cap B)=P(TTTTT)=1/2^5\neq13/2^9 \). E dunque i due eventi A e B sono dipendenti.
Io penso sia giusto questo ragionamento...posso procedere con le altre coppie?
ok sul metodo, anche se un po' tedioso...
"hamming_burst":
Nì, va bene ridursi a calcolare l'evento complementare, ma sbagli. Devi considerare l'eventi di avere al massimo due teste.
In notazione prob. $B = P{X>2} = 1 - P{X<=2}$
Ma l'esercizio dice che B ha almeno DUE TESTE cioè \(\displaystyle X\geq 2 \) e non \(\displaystyle X>2 \) !!!
"hamming_burst":
ok sul metodo, anche se un po' tedioso...
tediso? suggerisci qualcosa di meno noioso?
"matleta":
[quote="hamming_burst"]
Nì, va bene ridursi a calcolare l'evento complementare, ma sbagli. Devi considerare l'eventi di avere al massimo due teste.
In notazione prob. $B = P{X>2} = 1 - P{X<=2}$
Ma l'esercizio dice che B ha almeno DUE TESTE cioè \(\displaystyle X\geq 2 \) e non \(\displaystyle X>2 \) !!![/quote]
eeh che palline hai ragione, sorry l'orario non ha aiutato.
percì: $B = P{X>=2} = 1 - P{X<2}$
[/quote]"hamming_burst":
ok sul metodo, anche se un po' tedioso...
tediso? suggerisci qualcosa di meno noioso?
no, era solo una considerazione
Per non farti tutte le combinazioni, scriviti solo quelle che l'evento calcola poi ci pensa la binomiale a fare i conti veri (tramite il coefficiente binomiale).
con "la binomiale" intendi variabile?? Non ho ancora toccato questo argomento forse è per questo che ho fatto tutte le combinazioni. :S
"matleta":
Io penso sia giusto questo ragionamento...posso procedere con le altre coppie?
Sì, mi pare che vada bene. Magari puoi risparmiare qualche calcolo osservando che alcune coppie di eventi sono evidentemente disgiunte e quindi non possono essere indipendenti (a meno che uno di loro non sia trascurabile, ma non è questo il caso).
Grazie mille di tutte le risposte!
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