Eventi indipendenti
Ciao
Sia $(A_k)_{k\in \mathbb{N} }$ una famiglia di eventi indipendenti in uno spazio di probabilità, si dimostri che $P(\cap_{k=n}^{\infty}A_k^c)=0$ per ogni naturale n sapendo che $sum_{k=0}^{infty}P(A_k) = +\infty$.
Ho trovato che la tesi equivale a $\Pi_{k=n}^{infty}(1-P(A_k))=0$ per l'indipendenza e avevo pensato di usare la successione geometrica per maggiorare i prodotti 'parziali', ma sono bloccato dal fatto che $(P(A_k))_k$ può anche essere infinitesima.
La tesi equivale anche a $P(\cup_{k=n}^{infty}A_k)=1$ ma non mi vengono idee.
Avete dei suggerimenti?
Sia $(A_k)_{k\in \mathbb{N} }$ una famiglia di eventi indipendenti in uno spazio di probabilità, si dimostri che $P(\cap_{k=n}^{\infty}A_k^c)=0$ per ogni naturale n sapendo che $sum_{k=0}^{infty}P(A_k) = +\infty$.
Ho trovato che la tesi equivale a $\Pi_{k=n}^{infty}(1-P(A_k))=0$ per l'indipendenza e avevo pensato di usare la successione geometrica per maggiorare i prodotti 'parziali', ma sono bloccato dal fatto che $(P(A_k))_k$ può anche essere infinitesima.
La tesi equivale anche a $P(\cup_{k=n}^{infty}A_k)=1$ ma non mi vengono idee.
Avete dei suggerimenti?
Risposte
Puoi usare che $e^x >= 1+x$.
Se vuoi ulteriori spunti e la soluzione, guarda a Borel Cantelli secondo.
Se vuoi ulteriori spunti e la soluzione, guarda a Borel Cantelli secondo.
"marco.ve":
Ciao
Sia $ (A_k)_{k\in \mathbb{N} } $ una famiglia di eventi indipendenti in uno spazio di probabilità, si dimostri che $ P(\cap_{k=n}^{\infty}A_k^c)=0 $ per ogni naturale n sapendo che $ sum_{k=0}^{infty}P(A_k) = +\infty $.
Ho trovato che la tesi equivale a $ \Pi_{k=n}^{infty}(1-P(A_k))=0 $ per l'indipendenza e avevo pensato di usare la successione geometrica per maggiorare i prodotti 'parziali', ma sono bloccato dal fatto che $ (P(A_k))_k $ può anche essere infinitesima.
La tesi equivale anche a $ P(\cup_{k=n}^{infty}A_k)=1 $ ma non mi vengono idee.
Avete dei suggerimenti?
Infatti fino alla produttoria ci sarei arrivato anche io. Non è sufficiente la condizione che $P(A_k)>0$ per ogni $k$ o almeno per un numero infinito di $k$ per rendere inevitabile la convergenza a zero?
Inoltre, a patto di riuscire a ricondursi ad una produttoria di probabilità dove tutte, o almeno un'infinità, sono strettamente minori di $1$, lo stesso risultato non vale anche a prescindere dall'indipendenza degli eventi coinvolti o da qualunque altra condizione ?
@DajeForte, allora ci sei ancora ... è una vita che non ti "vedevo"
Grazie mille DajeForte, $\Pi_{k=n}^{m}(1-P(A_k)) \le \Pi_{k=n}^{m}e^(-P(A_k)) = exp(-\sum_{k=n}^{m}P(A_k)) \to 0$ se $m \to \infty$.
markowitz, se poni $P(A_k)= 1/k^2$ allora $\Pi_{k=2}^{\infty}(1-P(A_k)) = 1/2$, quindi non credo sia sufficiente che siano $>0$.
markowitz, se poni $P(A_k)= 1/k^2$ allora $\Pi_{k=2}^{\infty}(1-P(A_k)) = 1/2$, quindi non credo sia sufficiente che siano $>0$.
"marco.ve":
markowitz, se poni $ P(A_k)= 1/k^2 $ allora $ \Pi_{k=2}^{\infty}(1-P(A_k)) = 1/2 $, quindi non credo sia sufficiente che siano $ >0 $.
Hai ragione.
Bisogna quindi evitare che i $ P(A_k)$ se ne vadano a zero "troppo velocemente". Ad esempio ponendo $ P(A_k)= 1/k$ la produttoria mi sembra si annulli.
Quindi direi che la regola non vale solo per una famiglia di eventi indipendenti ma vale anche più in generale, anche se non proprio sempre.
E poi un'altra cosa, a giudicare da questa dimostrazione
sembrerebbe che anche il caso che hai posto dovrebbe garantire la convergenza a zero della produttoria.
In effetti la dimostrazione non utilizza l'indipendenza degli eventi ma solo la rappresentabilità tramite la produttoria.
La disuguaglianza infatti vale comunque, ma non la sommatoria delle probabilità uguale ad infinito che quindi mi sembra essere una condizione importante, insieme alla rappresentabilità tramite produttoria, più che l'indipendenza.
"marco.ve":
Grazie mille DajeForte, $ \Pi_{k=n}^{m}(1-P(A_k)) \le \Pi_{k=n}^{m}e^(-P(A_k)) = exp(-\sum_{k=n}^{m}P(A_k)) \to 0 $ se $ m \to \infty $.
sembrerebbe che anche il caso che hai posto dovrebbe garantire la convergenza a zero della produttoria.
In effetti la dimostrazione non utilizza l'indipendenza degli eventi ma solo la rappresentabilità tramite la produttoria.
La disuguaglianza infatti vale comunque, ma non la sommatoria delle probabilità uguale ad infinito che quindi mi sembra essere una condizione importante, insieme alla rappresentabilità tramite produttoria, più che l'indipendenza.
L'indipendenza l'ho usata per arrivare alla produttoria
"marco.ve":
L'indipendenza l'ho usata per arrivare alla produttoria
Certo.
Ma non mi sembra che ci si possa ricondurre alla produttoria solo sotto indipendenza.
Nell'esempio che avevi suggerito ($P(A_k)=1/k^2$) la produttoria è presente ma questo non basta. Tra l'altro imponevi di partire con $k=2$ mentre se $k=1$ la produttoria va (ovviamente subito) a zero.
Se invece si pone $P(A_k)=1/k$ la produttoria va a zero anche partendo da $k=2$ o anche maggiore.
In nessuno di questi casi si è parlato d'indipendenza.
Quindi va bene che sotto indipendenza la dimostrazione è valida ma non sono ancora convinto che l'indipendenza sia condizione necessaria. Penso che l'intersezione si annulli anche più in generale, anche tenuti a parte i casi ovvi in cui qualche $P(A_k)$ sia unitario.
"markowitz":
@DajeForte, allora ci sei ancora ... è una vita che non ti "vedevo"
E già era un bel po...
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