Eventi a probabilità zero
Buona sera a tutti,
vorrei chiedervi di aiutarmi a risolvere un dubbio che mi è sorto nell'ambito della teoria delle probabilità. Ipotizziamo di avere una variabile aleatoria $ x $ che può assumere valori in un certo intervallo $ (a,b) $. Per esemplificare, diciamo che $ x $ è il valore di temperatura riportato da un termometro e che l'intervallo sia $ (0,50) $ $ °C $. La probabilità che $ x $ sia uguale a $ 25 $ $ °C $, dovrebbe essere pari a zero, poiché l'integrale della densità di probabilità di $ x $ avrebbe estremi di integrazione coincidenti. Il fatto che la probabilità sia zero, porterebbe a dire che $ x = 25 $ $ °C $ è un fenomeno impossibile. D'altra parte però $ 25 $ $ °C $ fa parte dell'intervallo di valori che può assumere $ x $, quindi lo trovo contraddittorio dire che $ x = 25 $ $ °C $ sia un fenomeno impossibile. Inoltre, immaginiamo di leggere sul termometro il valore $ 24.99 $ $ °C $. Anche per questo valore la valutazione dell'integrale indicherebbe probabilità 0, quindi fenomeno impossibile, eppure lo stiamo leggendo sul display del termometro. Dov'è il baco nel mio ragionamento? Grazie a tutti.
vorrei chiedervi di aiutarmi a risolvere un dubbio che mi è sorto nell'ambito della teoria delle probabilità. Ipotizziamo di avere una variabile aleatoria $ x $ che può assumere valori in un certo intervallo $ (a,b) $. Per esemplificare, diciamo che $ x $ è il valore di temperatura riportato da un termometro e che l'intervallo sia $ (0,50) $ $ °C $. La probabilità che $ x $ sia uguale a $ 25 $ $ °C $, dovrebbe essere pari a zero, poiché l'integrale della densità di probabilità di $ x $ avrebbe estremi di integrazione coincidenti. Il fatto che la probabilità sia zero, porterebbe a dire che $ x = 25 $ $ °C $ è un fenomeno impossibile. D'altra parte però $ 25 $ $ °C $ fa parte dell'intervallo di valori che può assumere $ x $, quindi lo trovo contraddittorio dire che $ x = 25 $ $ °C $ sia un fenomeno impossibile. Inoltre, immaginiamo di leggere sul termometro il valore $ 24.99 $ $ °C $. Anche per questo valore la valutazione dell'integrale indicherebbe probabilità 0, quindi fenomeno impossibile, eppure lo stiamo leggendo sul display del termometro. Dov'è il baco nel mio ragionamento? Grazie a tutti.
Risposte
Il baco è che "impossibile" e "probabilità zero" non sono la stessa cosa.
Tutti gli eventi impossibili hanno probabilità zero ma non tutti gli eventi con probabilità zero sono impossibili.
Nello stesso modo, un evento con probabilità 1 non è necessariamente certo.
Probabilmente non ti diranno mai che oltre alle distribuzioni discrete e continue ci sono anche le distribuzioni singolari. Povere distribuzioni singolari. Non haanno mai fatto del male a nessuno.
Tutti gli eventi impossibili hanno probabilità zero ma non tutti gli eventi con probabilità zero sono impossibili.
Nello stesso modo, un evento con probabilità 1 non è necessariamente certo.
Probabilmente non ti diranno mai che oltre alle distribuzioni discrete e continue ci sono anche le distribuzioni singolari. Povere distribuzioni singolari. Non haanno mai fatto del male a nessuno.
Grazie per la risposta. In effetti non avevo mai sentito parlare di distribuzioni singolari. In seguito alla tua risposta, ho fatto una ricerca un po' più approfondita su internet di quella che avevo fatto prima di postare la domanda. Se non ho capito male, quando un evento ha probabilità 0 è appropriato dire che si tratta di un evento "quasi impossibile", mentre se l'evento ha probabilità 1 si usa dire che l'evento è "quasi certo". Mi sono immaginato quest'esempio per l'ultimo caso: abbiamo una densità di probabilità che vale 1 per $ x in [0,1] $ e 1 per $ x=2 $ (un punto isoltato). Integrando la densità di probabilità su $ [0,1] $ otterrei probabilità 1, ma questo non vuol dire che non si possa verificare $ x=2 $. Per tal motivo è opportuno parlare di evento "quasi certo" per $ x in [0,1] $ e non di evento certo. Corretto?
Sì. O potresti notare che la probabilità che un un numero scelto uniformemente da $[0,1]$ sia irrazionale è 1, e anche la probabilità che sia trascendente è 1. E con probabilità 1 non è $0,5$, ovviamente.
Grazie mille!
C'è una possibilità anche peggiore. Un insieme che non ha alcuna probabilità.
https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Vitali
https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Vitali
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