Estremi di integrazione(per una variabile bivariata continua

[lion21]

1)come da titolo.....come faccio a trovarli?
Ad esempio se devo verificare la condizione di normalizzazione per una $ f(x,y)=2*e^{-(x+y)} $ con supporto $ 0 <= y <= x $ come faccio?
Io pensavo di esprimere il settore compreso fra il semiasse x positivo e la bisettrice del primo quadrante(cioè 0 <= y <= x)
come x-semplie o y-semplice ,tenendo conto che il settore "è infinito".
$y-semplice : { 0 <= x <= +oo , 0 <= y <= x } $
$x-semplice : { 0 <= y <= +oo , y <= x <= +oo } $
Gli estremi delle disequazioni li riporterei poi come estremi dell'integrale doppio ...
tuttavia entrambi i casi non sembrano essere corretti in quanto il libro mi da come soluzione
$ int_( 0)^(+oo) int_(0)^(y) f(x,y) \ dx \ dy = 1 $

Vorrei precisare che ho fatto un esercizio simile in cui è presente lo stesso settore "ma finito", cioè è "un triangolo" con vertice in (2,2) : ho provato ad esprimerlo in $y-semplice : { 0 <= x <= 2 , 0 <= y <= x } $ e mi è venuto giusto.

2)Inoltre non ho capito neppure come trovare gli estremi di integrazione per le densità marginali!Infatti in un esercizio gli estremi di integrazione dell'integrale doppio sono doversi dagli estremi di integrazione(dell'integrale singolo) delle densità marginali.io pensavo che bosognasse tenere gli stessi.

[lion21]

ciao scusate ma mi tocca refreshare.....non so dove sbattere al testa

[frapippo1]

Per il primo punto non vedo dove sta il problema. Considera come supporto ${(x,y):0<=x<=infty,0<=y<=x}$; anzitutto $f(x,y)=2e^{-(x+y)}>0,AA(x,y)$. Ora devi verificare che $\int_{0}^{+infty}\int_{0}^{x}2e^{-(x+y)}dydx=1$. Svolgi l'integrale doppio:
$\int_{0}^{+infty}\int_{0}^{x}2e^{-(x+y)}dydx=\int_{0}^{+infty}2e^{-x}[\int_{0}^{x}e^{-y)dy]dx=\int_{0}^{+infty}2e^{-x}(-e^{-x}+1)dx$. Svolgi questo integrale e ottieni $1$.

Per il secondo punto: se vuoi ottenere la densità marginale di $X$ devi marginalizzare rispetto a $y$, cioè devi calcolare:
$\int_{0}^{+infty}2e^{-(x+y)}dy=2e^{-x}int_{0}^{+infty}e^{-y}=2e^{-x}$. Questa è ancora una funzione strettamente positiva, il cui supporto deve essere tale che l'integrale (su questo supporto) di $2e^{-x}$ deve essere $1$.
Ora penso che tu debba fare delle assunzioni: ipotizza per esempio che il supporto sia ${x:k<=x<=+infty}$; allora deve risultare che $\int_{k}^{+infty}2e^{-x}=1$; questo è verificato per $k=ln2$.
Stessa cosa per $Y$: marginalizza rispetto a $x$ e procedi come sopra..

[DajeForte]

Il secondo punto non è corretto, infatti quando marginalizzi rispetto a $y$ l'integrale varia tra $[0,x]$,praticamente è come hai risolto l'integrale al punto precedente.

la densità di $X$ sarà positiva per $x>0$.

[frapippo1]

Hai ragione DajeForte..La soluzione corretta dovrebbe essere questa:

densità marginale di $X$: $\int_{0}^{x}2e^{-(x+y)}dy=2e^{-x}(-e^{-x}+1)$, con supporto $(0,+infty)$;

densità marginale di $Y$: $\int_{0}^{+infty}2e^{-(x+y)}dx=2e^{-y}$, con supporto $(0,ln2)$

[DajeForte]

No correggi il secondo...sono sbagliati gli estremi.

[frapippo1]

A questo punto proporrei $(ln2,+infty)$, non capendo però il perchè..

[DajeForte]

il dominio della doppia è $0 La y potrà assumere qualsiasi valore positivo e l'integrale in x sarà su $(y,+infty)$

[frapippo1]

Scusami ma non capisco. Allora il dominio di $f_{X,Y}(x,y)$ è ${(x,y):0<=x<=+infty,0<=y<=x}$.

Quindi la densità marginale di $X$ è data da $f_X(x)=\int_{0}^{x}f_{X,Y}(x,y)dy$; il supporto di $f_X(x)$ è $(0,+infty)$. Fino a qui dovremmo essere d'accordo.

Ora, la densità marginale di $Y$ è data da $f_Y(y)=\int_{"suppX"}f_{X,Y}(x,y)dx$, dove $"suppX"$ sta per "supporto di $X$", che è $(0,+infty)$. Sicuramente sbaglio, ma non riesco a comprendere perché dovrei invece integrare su $(y,+infty)$

[DajeForte]

$f_Y(y)=int_{RR} f(x,y) dx=int_{-infty}^y f(x,y)dx+int_y^{+infty} f(x,y) dx$;

ora se x

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[frapippo1]

Ok mi torna..grazie

[lion21]

scusate ma non ho ancora capito la regola generale per individuare questi benedetti estremi di integrazione sia per la densità "normale", che per quelle marginali!
P.S. grazie davvero per le risposte ma se aveste letto bene la richiesta non volevo la soluzione delle densità marginali per quell'esercizio, ed inoltre nonostante mi sia stato detto che il primo integrale sia giusto non ho ancora capito perchè il libro mi dia allora quell'altra risposta

[DajeForte]

Magari il libro sbaglia...
Se il dominio è $0 qunado integri hai $int_0^{infty}int_0^x f(x,y)dydx$

[lion21]

bene.... quindi mi confermi che gli estremi di integrazione sono effettivamente i valori che si ottengono quando esprimo un insieme in x-semplice o y-semplice(puoi rispondere per favore con un si o con un no semplicemente grazie)?