Estremi di integrazione nella somma di variabili casuali
Salve a tutti, vi spiego in breve la mia situazione: dopo una triennale in economia e commercio ho iniziato quest'anno la magistrale in finanza quantitativa (accessibile anche agli studenti triennali di matematica applicata) e mi sono subito imbattuto nell'esame di modelli stocastici (a detta di tutti il più duro della magistrale). In suddetto esame risiedono concetti matematici che purtroppo alla triennale non sono stati trattati minimamente (es analisi II) e dunque mi trovo un po' in difficoltà su alcuni esercizi.
Nello specifico il problema riguarda la ricerca degli estremi per gli integrali nella somma di variabili casuali; quando mi trovo di fronte un solo intervallo di integrazione non trovo difficoltà, mentre se gli intervalli sono ad esempio due per il secondo non riesco mai a capire come ragionare e spero possiate darmi una mano! L'esercizio tipo è il seguente:
Sia $ (X,Y) $ una variabile casuale doppia continua con $ f(x,y)=1 $ per $ 0<=x<=1 $ , $ 0<=y<=1 $ e $ f(x,y)=0 $ altrimenti.
Si trovi $ F(Z) $ con $ Z=X+Y $.
Innanzittutto sono andato a calcolarmi il valore massimo e il valore minimo che la Z può assumere, quindi $ { ( Zmax=1+1=2 ),( Zmin=0+0=0 ):} $ ; e dunque $ F(Z)=0 $ per z<0 e $ F(Z)=1 $ per z>2.
In questo caso il nostro dominio in tre dimensioni è un cubo tagliato da un piano che avrà equazione $ Y=z-X $ e quindi la "sezione" che ci interessa in due dimensioni è formata dal quadrato di lato unitario tagliato dal fascio di rette in funzione della z (correggetemi se sbaglio). Quindi la z potrà essere o sotto la diagonale del quadrato o sopra; per la parte "sotto" scriviamo il seguente integrale doppio:
per $0<=z<=1 $
$ int_(0)^(z) int_(0)^(z-x)f(x,y) dx dy $
Perciò il ragionamento (credo giusto) che faccio è quello di far variare la x da 0 fino a un generico valore z compreso tra 0 e 1, mentre la y da 0 fino alla diagonale, cioè $ Y=z-X $.
Ora tocca all'intervallo $ 1<=z<=2 $ e qui non so proprio che pesci pigliare...il professore ci ha detto che dobbiamo capire dal disegno come assegnare gli estremi ma ho come la sensazione che ci sia molto di più sotto! Spero che qualcuno possa aiutarmi, magari spiegandomi un metodo "standard" per affrontare questi esercizi. Vi assicuro che ho cercato ovunque e ci ho sbattuto la testa mille volte dato che è un esercizio classico nei temi d'esame. (il prof nelle soluzioni di questi quesiti scrive solo l'integrale senza nessuna precisazione)
PS: cercando online ho trovato alcuni metodi per risolvere esercizi di questo tipo (convoluzione, variabile ausiliaria e metodo jacobiano)...tutte cose che non abbiamo visto e che quindi immagino non siano necessarie per risolvere questi esercizi
Vi ringrazio per l'attenzione.
Nello specifico il problema riguarda la ricerca degli estremi per gli integrali nella somma di variabili casuali; quando mi trovo di fronte un solo intervallo di integrazione non trovo difficoltà, mentre se gli intervalli sono ad esempio due per il secondo non riesco mai a capire come ragionare e spero possiate darmi una mano! L'esercizio tipo è il seguente:
Sia $ (X,Y) $ una variabile casuale doppia continua con $ f(x,y)=1 $ per $ 0<=x<=1 $ , $ 0<=y<=1 $ e $ f(x,y)=0 $ altrimenti.
Si trovi $ F(Z) $ con $ Z=X+Y $.
Innanzittutto sono andato a calcolarmi il valore massimo e il valore minimo che la Z può assumere, quindi $ { ( Zmax=1+1=2 ),( Zmin=0+0=0 ):} $ ; e dunque $ F(Z)=0 $ per z<0 e $ F(Z)=1 $ per z>2.
In questo caso il nostro dominio in tre dimensioni è un cubo tagliato da un piano che avrà equazione $ Y=z-X $ e quindi la "sezione" che ci interessa in due dimensioni è formata dal quadrato di lato unitario tagliato dal fascio di rette in funzione della z (correggetemi se sbaglio). Quindi la z potrà essere o sotto la diagonale del quadrato o sopra; per la parte "sotto" scriviamo il seguente integrale doppio:
per $0<=z<=1 $
$ int_(0)^(z) int_(0)^(z-x)f(x,y) dx dy $
Perciò il ragionamento (credo giusto) che faccio è quello di far variare la x da 0 fino a un generico valore z compreso tra 0 e 1, mentre la y da 0 fino alla diagonale, cioè $ Y=z-X $.
Ora tocca all'intervallo $ 1<=z<=2 $ e qui non so proprio che pesci pigliare...il professore ci ha detto che dobbiamo capire dal disegno come assegnare gli estremi ma ho come la sensazione che ci sia molto di più sotto! Spero che qualcuno possa aiutarmi, magari spiegandomi un metodo "standard" per affrontare questi esercizi. Vi assicuro che ho cercato ovunque e ci ho sbattuto la testa mille volte dato che è un esercizio classico nei temi d'esame. (il prof nelle soluzioni di questi quesiti scrive solo l'integrale senza nessuna precisazione)
PS: cercando online ho trovato alcuni metodi per risolvere esercizi di questo tipo (convoluzione, variabile ausiliaria e metodo jacobiano)...tutte cose che non abbiamo visto e che quindi immagino non siano necessarie per risolvere questi esercizi
Vi ringrazio per l'attenzione.
Risposte
"Sergio":
Ti consiglio di dare un'occhiata a http://www.riccardogalletti.com/appunti_gratis/doc/corso_teoria_dei_fenomeni_aleatori_giacinto_gelli.pdf, cap. 6.
Intanto ti ringrazio; ho dato uno sguardo veloce e a livello generale mi sembra chiara la situazione (avevo già letto qualcosa di simile), poi però andando nel mio caso specifico riscontro le stesse difficoltà. Nel concreto non riesco a compredere come integrare la porzione di piano superiore.
Nessuno riesce a darmi una mano? 
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