Estrazioni senza reinserimento
Salve a tutti,
mi sono appena iscritto a questo forum e ringrazio in anticipo chi avrà la cortesia di rispondermi.
Vorrei chiedervi aiuto su come impostare un calcolo di probabilità:
Ho un'urna contenente W palline, al cui interno ci sono X palline rosse e Y palline nere (oltre ad un numero imprecisato di palline di altri colori).
Estraendo (senza reinserirle) Z palline, qual'è la probabilità di:
Problema 1
a) Estrarre almeno J palline rosse?
b) Estrarre esattamente J palline rosse?
Problema 2
c) Estrarre almeno J palline rosse e almeno K palline nere?
d) Estrarre esattamente J palline rosse e almeno K palline nere?
e) Estrarre esattamente J palline rosse ed esattamente K palline nere?
Problema 3
Nel caso in cui si abbia la possibilità di reinserire le Z palline estratte nell'urna e di ricominciare da capo l'estrazione per E volte, come vengono modificate le risposte ai precedenti quesiti, nel caso in cui sia sufficiente che le condizioni da essi posti si verifichino in una sola delle E estrazioni?
Vi pregherei in anticipo di utilizzare nelle risposte un linguaggio semplice: al liceo avevo studiato questi argomenti ma i miei ricordi sono ormai abbastanza appannati...
mi sono appena iscritto a questo forum e ringrazio in anticipo chi avrà la cortesia di rispondermi.
Vorrei chiedervi aiuto su come impostare un calcolo di probabilità:
Ho un'urna contenente W palline, al cui interno ci sono X palline rosse e Y palline nere (oltre ad un numero imprecisato di palline di altri colori).
Estraendo (senza reinserirle) Z palline, qual'è la probabilità di:
Problema 1
a) Estrarre almeno J palline rosse?
b) Estrarre esattamente J palline rosse?
Problema 2
c) Estrarre almeno J palline rosse e almeno K palline nere?
d) Estrarre esattamente J palline rosse e almeno K palline nere?
e) Estrarre esattamente J palline rosse ed esattamente K palline nere?
Problema 3
Nel caso in cui si abbia la possibilità di reinserire le Z palline estratte nell'urna e di ricominciare da capo l'estrazione per E volte, come vengono modificate le risposte ai precedenti quesiti, nel caso in cui sia sufficiente che le condizioni da essi posti si verifichino in una sola delle E estrazioni?
Vi pregherei in anticipo di utilizzare nelle risposte un linguaggio semplice: al liceo avevo studiato questi argomenti ma i miei ricordi sono ormai abbastanza appannati...
Risposte
Ho letto il regolamento ed ho compreso che è richiesto agli utenti di dimostrare di essersi almeno sforzati di risolvere i quesiti posti; visto che sono almeno 2 settimane che rimugino su questa questione espongo i ragionamenti che ho fatto fino ad ora:
1) W=10, X=1, J=1; problema 1
In questo caso la domanda a si sovrappone alla domanda b e la risposta ad entrambe è 1/10 ovvero X/W
2) W=10, X=2, J=1; problema 1
Anche in questo caso a e b sono sovrapponibili e la risposta è semplicemente 1/5 ovvero X/W
3) W=10, X=1, J=2; problema 1
Qui le cose si complicano: capisco intuitivamente che la probabilità di estrarre una pallina rossa aumenta ma ho difficoltà a quantificare questo aumento in termini numerici; mi sapreste segnalare la formula da applicare per favore? Capisco inoltre a livello intuitivo che la probabilità a è superiore alla probabilità b ma non riesco poi a quantificare la differenza...
4) problema 2
Per introdurre la variabile delle palline nere intuisco di dover utilizzare l'operatore logico AND e andare a considerare solo le ipotesi in cui si verifichino sia le condizioni inerenti le palline rosse, sia le condizioni inerenti le palline nere ma, al pari di prima, non so che formula andare ad applicare.
5) problema 3
Qui, al contrario del caso precedente, andrà utilizzato l'operatore logico OR, andando a considerare tutte le ipotesi in cui anche un solo delle N estrazioni ha dato esito positivo; anche qui, come nel caso precedente, non so quale formula utilizzare...
1) W=10, X=1, J=1; problema 1
In questo caso la domanda a si sovrappone alla domanda b e la risposta ad entrambe è 1/10 ovvero X/W
2) W=10, X=2, J=1; problema 1
Anche in questo caso a e b sono sovrapponibili e la risposta è semplicemente 1/5 ovvero X/W
3) W=10, X=1, J=2; problema 1
Qui le cose si complicano: capisco intuitivamente che la probabilità di estrarre una pallina rossa aumenta ma ho difficoltà a quantificare questo aumento in termini numerici; mi sapreste segnalare la formula da applicare per favore? Capisco inoltre a livello intuitivo che la probabilità a è superiore alla probabilità b ma non riesco poi a quantificare la differenza...
4) problema 2
Per introdurre la variabile delle palline nere intuisco di dover utilizzare l'operatore logico AND e andare a considerare solo le ipotesi in cui si verifichino sia le condizioni inerenti le palline rosse, sia le condizioni inerenti le palline nere ma, al pari di prima, non so che formula andare ad applicare.
5) problema 3
Qui, al contrario del caso precedente, andrà utilizzato l'operatore logico OR, andando a considerare tutte le ipotesi in cui anche un solo delle N estrazioni ha dato esito positivo; anche qui, come nel caso precedente, non so quale formula utilizzare...
"Soron":
3) W=10, X=1, J=2; problema 1
Qui le cose si complicano: capisco intuitivamente che la probabilità di estrarre una pallina rossa aumenta ma ho difficoltà a quantificare questo aumento in termini numerici; mi sapreste segnalare la formula da applicare per favore?
Hai un'urna con W=10 palline, di cui una sola è rossa (X=1).
Non dici quante palline estrai. Cioè Z=?
Ti chiedi la probabilità che escano J=2 palline rosse (almeno e esattamente).
Se Z=1, estrai una sola pallina. Non è possibile quindi avere J=2 palline rosse.
Se Z=2, estrai due palline. Non è comunque possibile avere 2 palline rosse, in quanto nell'urna c'è una sola pallina rossa (X=1).
Conclusione: in entrambi i casi la probabilità è zero.
***
Prova a pensare al caso di un'urna con W=6 palline. X=4 sono rosse. Ne estrai Z=3.
Cerca la probabilità che ce ne siano esattamente J=2 rosse.
Potresti fare il rapporto tra i casi casi favorevoli e i casi possibili.
Casi possibili: tutti i modi di estrarre 3 palline (qualsiasi) dall'urna di 6 palline.
Casi favorevoli: (modi di scegliere 2 palline tra le 4 rosse) accoppiati ai (modi di scegliere la restante pallina tra le 2 non rosse)
Hai un'urna con W=10 palline, di cui una sola è rossa (X=1).
Non dici quante palline estrai. Cioè Z=?
Ti chiedi la probabilità che escano J=2 palline rosse (almeno e esattamente).
Se Z=1, estrai una sola pallina. Non è possibile quindi avere J=2 palline rosse.
Se Z=2, estrai due palline. Non è comunque possibile avere 2 palline rosse, in quanto nell'urna c'è una sola pallina rossa (X=1).
Conclusione: in entrambi i casi la probabilità è zero.
Giusto, avevo sbagliato a porre il quesito...
Prova a pensare al caso di un'urna con W=6 palline. X=4 sono rosse. Ne estrai Z=3.
Cerca la probabilità che ce ne siano esattamente J=2 rosse.
Potresti fare il rapporto tra i casi casi favorevoli e i casi possibili.
Casi possibili: tutti i modi di estrarre 3 palline (qualsiasi) dall'urna di 6 palline.
Estraendo Z=3 palline da un urna contenente X=4 palline rosse e W=6 palline totali, io voglio estrarre esattamente - almeno J=2 palline rosse.
Se denomino le W=6 palline totali A, B, C, D, E ed F e ipotizzo che A, B, C e D siano rosse e le provo ad appaiare in gruppi di Z=3 unità ottengo le seguenti possibili combinazioni:
ABC ABD ABE ABF
ACD ACE ACF
ADE ADF
AEF
BCD BCE BCF
BDE BDF
BEF
CDE CDF
CEF
DEF
21 casi totali
ABC ABD ABE ABF
ACD ACE ACF
ADE ADF
BCD BCE BCF
BDE BDF
CDE CDF
16 casi favorevoli (nel caso in cui viga il criterio ALMENO)
ABE ABF
ACE ACF
ADE ADF
BCE BCF
BDE BDF
CDE CDF
12 casi favorevoli (nel caso in cui viga il criterio ESATTAMENTE)
La probabilità di estrarre almeno J=2 palline rosse da un urna contenente X=4 palline rosse e W=6 palline totali è di 16/21=0,76. Quella di estrarne esattamente J=2 è invece di 12/21=0,57
I risultati mi sembrano verosimili.
Ora devo capire come generalizzare questo caso particolare e quale formula mi consente di giungere più velocemente al medesimo risultato.
Casi favorevoli: (modi di scegliere 2 palline tra le 4 rosse) accoppiati ai (modi di scegliere la restante pallina tra le 2 non rosse)
Quali sono i possibili gruppi di J=2 di palline rosse che posso estrarre?
Se denomino le X=4 palline rosse A, B, C e D e le provo ad appaiare in gruppi di J=2 unità ottengo le seguenti possibili accoppiate:
AB AC AD BC BD CD
Ovvero un totale di 6 possibili casi
Quali sono i possibili gruppi di Z-J=3-2=1 di palline non rosse che posso estrarre?
Se denomino le W-X=6-4=2 palline non rosse E ed F e le provo ad appaiare in gruppi di Z-J=3-2=1 unità ottengo le seguenti possibili combinazioni:
E F
Ovvero un totale di 2 possibili casi
Combinando ora i 6 casi in cui si possono estrarre J=2 palline rosse con i 2 casi in cui si estraggono Z-J=1 palline non rosse ottengo 6*2=12 casi favorevoli
Il risultato coincide con quello precedentemente ottenuto.
"Soron":
ABC ABD ABE ABF
ACD ACE ACF
ADE ADF
AEF
BCD BCE BCF
BDE BDF
BEF
CDE CDF
CEF
DEF
21 casi totali
Io ne conto 20
Sono le combinazioni di 6 oggetti presi 3 alla volta: $((6),(3))=(6*5*4)/(3*2*1)=20$
Analogamente per i casi favorevoli si ha: $((4),(2))*((2),(1))=6*2=12$
La formula generale che ti dà la probabilità di avere esattamente J palline rosse è quindi: $p(J)=(((X),(J))*((W-X),(Z-J)))/(((W),(Z)))$
La distribuzione di probabilità risultante prende il nome di ipergeometrica.
Nel caso di almeno J palline, dovresti sommare $p(J)+p(J+1)+...$
Ciao
"Soron":
Ho un'urna contenente W palline, al cui interno ci sono X palline rosse e Y palline nere (oltre ad un numero imprecisato di palline di altri colori).
Non ti dimenticare di questo particolare.
"Umby":
[quote="Soron"]Ho un'urna contenente W palline, al cui interno ci sono X palline rosse e Y palline nere (oltre ad un numero imprecisato di palline di altri colori).
Non ti dimenticare di questo particolare.[/quote]
Con questa notazione intendevo dire che nell'urna ci sono, X palline rosse, Y palline nere ed N palline non rosse non nere per un totale di W palline
X + Y + N = W
"cenzo":
Io ne conto 20
Assolutamente si
"cenzo":
Sono le combinazioni di 6 oggetti presi 3 alla volta: $((6),(3))=(6*5*4)/(3*2*1)=20$
Analogamente per i casi favorevoli si ha: $((4),(2))*((2),(1))=6*2=12$
La formula generale che ti dà la probabilità di avere esattamente J palline rosse è quindi: $p(J)=(((X),(J))*((W-X),(Z-J)))/(((W),(Z)))$
La distribuzione di probabilità risultante prende il nome di ipergeometrica.
Nel caso di almeno J palline, dovresti sommare $p(J)+p(J+1)+...$
Innanzitutto grazie 1000!
Con l'aiuto del link di wiki che mi hai postato provo ad esprimere in modo più lungo ma più utilizzabile la formula che mi hai passato
$((X),(J))$ = X! / ( J! * (X - J)! )
$((W-X),(Z-J))$ = (W-X)! / ( (Z-J)! * ((W-X)! - (Z-J))! )
$((W),(Z))$ = W! / ( Z! * (W - Z)! )
$p(J)=(((X),(J))*((W-X),(Z-J)))/(((W),(Z)))$ = ((X! / ( J! * (X - J)! )) * ((W-X)! / ( (Z-J)! * ((W-X) - (Z-J))! ))) / (W! / ( Z! * (W - Z)! ))
Questa scrittura estesa la posso tradurre in una formula Excel e produrre un file che, dati W, X, Z e J, mi calcoli automaticamente p(J)
=((FATTORIALE(X)/(FATTORIALE(J)*FATTORIALE(X-J)))*(FATTORIALE(W-X)/(FATTORIALE(Z-J)*(FATTORIALE(W-X)-FATTORIALE(Z-J)))))/(FATTORIALE(W)/(FATTORIALE(Z)*FATTORIALE(W-Z)))
L'ho appena provata e sembra che la formula funzioni
Puoi usare anche la formula "Combinazione"
"Soron":
Con questa notazione intendevo dire che nell'urna ci sono, X palline rosse, Y palline nere ed N palline non rosse non nere per un totale di W palline
X + Y + N = W
Infatti.... solo che le N palline di colore diverso non sono state calcolate.
"Umby":
Puoi usare anche la formula "Combinazione"
Grazie 1000, non la conoscevo! Così è MOLTO più semplice!
"Umby":
Infatti.... solo che le N palline di colore diverso non sono state calcolate.
Non ti seguo... In che modo il valore di N andrebbe a modificare i calcoli fin qui fatti?
"Soron":
Ho un'urna contenente W palline, al cui interno ci sono X palline rosse e Y palline nere (oltre ad un numero imprecisato di palline di altri colori).
Estraendo (senza reinserirle) Z palline, qual'è la probabilità di:
Problema 1
a) Estrarre almeno J palline rosse?
b) Estrarre esattamente J palline rosse?
Problema 2
c) Estrarre almeno J palline rosse e almeno K palline nere?
d) Estrarre esattamente J palline rosse e almeno K palline nere?
e) Estrarre esattamente J palline rosse ed esattamente K palline nere?
Problema 3
Nel caso in cui si abbia la possibilità di reinserire le Z palline estratte nell'urna e di ricominciare da capo l'estrazione per E volte, come vengono modificate le risposte ai precedenti quesiti, nel caso in cui sia sufficiente che le condizioni da essi posti si verifichino in una sola delle E estrazioni?
Il Problema 1 (A e B) può dirsi risolto
Passo ora al Problema 2, punto E
p(J) = Probabilità di estrarre esattamente J palline rosse
p(K) = Probabilità di estrarre esattamente K palline nere
p(J et K) = Probabilità di estrarre esattamente J palline rosse ed esattamente K palline nere
$p(J et K)=p(J)*p(K)=(((X),(J))*((W-X),(Z-J)))/(((W),(Z)))*(((Y),(K))*((W-Y),(Z-K)))/(((W),(Z)))$
L'approccio è corretto?
Ciò che mi lascia un po' perplesso è pensare al fatto che il numero di palline rosse estratte influisce sulla probabilità di estrarre un determinato numero di palline nere e quindi forse la precedente formula non descrive adeguatamente la situazione...
"Soron":
Passo ora al Problema 2, punto E
L'approccio è corretto?
Ciò che mi lascia un po' perplesso è pensare al fatto che il numero di palline rosse estratte influisce sulla probabilità di estrarre un determinato numero di palline nere e quindi forse la precedente formula non descrive adeguatamente la situazione...
Non è corretto, come hai intuito.
I casi totali sono sempre gli stessi (un solo denominatore): i modi di estrarre Z palline dal totale di W palline dell'urna.
Casi favorevoli: [scelgo J rosse da X]*[scelgo K nere da Y]*[scelgo Z-J-K altri colori da W-X-Y ]
$p("J rosse e K nere")=(((X),(J))*((Y),(K))*((W-X-Y),(Z-J-K)))/(((W),(Z)))$
Direi che la formula funziona a dovere.
$p("J rosse e K nere")=(((X),(J))*((Y),(K))*((W-X-Y),(Z-J-K)))/(((W),(Z)))$
B1=X - B2=Y - B3=J - B4=K - B5=W - B6=Z
=(COMBINAZIONE(B1;B3)*COMBINAZIONE(B2;B4)*COMBINAZIONE((B5-B1-B2);(B6-B3-B4)))/COMBINAZIONE(B5;B6)
X 4 Numero di palline Rose
Y 2 Numero di palline Nere
J 2 Numero di palline Rosse desiderate
K 1 Numero di palline Nere desiderate
W 6 Numero delle palline totali
Z 3 Numero delle palline estratte
0,6 p(J) ESATTAMENTE
0,8 p(J) ALMENO
0,6 p(K) ESATTAMENTE
0,8 p(K) ALMENO
0,6 p(J e K) ESATTAMENTE
------------------------------------------------------------------------------------------------
Mi rimane una perplessità.
Questo credo di aver capito come risolverlo:
p(J) ALMENO =
p(J)+p(J+1)+p(J+2)+p(J+3)+ ... +p(J+n)
Ma questo sembra davvero complesso:
p(J et K) ALMENO =
p(J et K)+p(J+1 et K)+p(J+2 et K)+p(J+3 et K)+ ... +p(J+n et K)+
+p(J et K+1)+p(J+1 et K+1)+p(J+2 et K+1)+p(J+3 et K+1)+ ... +p(J+n et K+1)+
+p(J et K+2)+p(J+1 et K+2)+p(J+2 et K+2)+p(J+3 et K+2)+ ... +p(J+n et K+2)+
+p(J et K+3)+p(J+1 et K+3)+p(J+2 et K+3)+p(J+3 et K+3)+ ... +p(J+n et K+3)+
...
+p(J et K+n)+p(J+1 et K+n)+p(J+2 et K+n)+p(J+3 et K+n)+ ...+p(J+n et K+n)
L'obbiettivo è sempre quello di trovare una modalità con cui sia possibile trasferire in excel il modello e da lì risolvere automaticamente il calcolo al variare dei valori numerici.
$p("J rosse e K nere")=(((X),(J))*((Y),(K))*((W-X-Y),(Z-J-K)))/(((W),(Z)))$
B1=X - B2=Y - B3=J - B4=K - B5=W - B6=Z
=(COMBINAZIONE(B1;B3)*COMBINAZIONE(B2;B4)*COMBINAZIONE((B5-B1-B2);(B6-B3-B4)))/COMBINAZIONE(B5;B6)
X 4 Numero di palline Rose
Y 2 Numero di palline Nere
J 2 Numero di palline Rosse desiderate
K 1 Numero di palline Nere desiderate
W 6 Numero delle palline totali
Z 3 Numero delle palline estratte
0,6 p(J) ESATTAMENTE
0,8 p(J) ALMENO
0,6 p(K) ESATTAMENTE
0,8 p(K) ALMENO
0,6 p(J e K) ESATTAMENTE
------------------------------------------------------------------------------------------------
Mi rimane una perplessità.
Questo credo di aver capito come risolverlo:
p(J) ALMENO =
p(J)+p(J+1)+p(J+2)+p(J+3)+ ... +p(J+n)
Ma questo sembra davvero complesso:
p(J et K) ALMENO =
p(J et K)+p(J+1 et K)+p(J+2 et K)+p(J+3 et K)+ ... +p(J+n et K)+
+p(J et K+1)+p(J+1 et K+1)+p(J+2 et K+1)+p(J+3 et K+1)+ ... +p(J+n et K+1)+
+p(J et K+2)+p(J+1 et K+2)+p(J+2 et K+2)+p(J+3 et K+2)+ ... +p(J+n et K+2)+
+p(J et K+3)+p(J+1 et K+3)+p(J+2 et K+3)+p(J+3 et K+3)+ ... +p(J+n et K+3)+
...
+p(J et K+n)+p(J+1 et K+n)+p(J+2 et K+n)+p(J+3 et K+n)+ ...+p(J+n et K+n)
L'obbiettivo è sempre quello di trovare una modalità con cui sia possibile trasferire in excel il modello e da lì risolvere automaticamente il calcolo al variare dei valori numerici.
"Soron":
L'obbiettivo è sempre quello di trovare una modalità con cui sia possibile trasferire in excel il modello e da lì risolvere automaticamente il calcolo al variare dei valori numerici.
Potresti crearti una griglia
Esempio:
20 Palline ( 5 Rosse, 5 Nere, 10 Bianche)
Ne estrai 6, e ti interessa che ce ne siano almeno 2 Rosse, ed almeno 2 Nere
La griglia, ti evidenzia tutti i possibili casi (in verde ho messo quelli che a te interessano)
P.s. Se scrivi bene la formula utilizzando in modo appropriato il "dollaro" per le "celle fisse" puoi ricopiarla tranquillamente su l'intera tabella.
Le celle con #NUM evidenziano i casi impossibili!
"Soron":
Ma questo sembra davvero complesso:
p(J et K) ALMENO =
p(J et K)+p(J+1 et K)+p(J+2 et K)+p(J+3 et K)+ ... +p(J+n et K)+
+p(J et K+1)+p(J+1 et K+1)+p(J+2 et K+1)+p(J+3 et K+1)+ ... +p(J+n et K+1)+
+p(J et K+2)+p(J+1 et K+2)+p(J+2 et K+2)+p(J+3 et K+2)+ ... +p(J+n et K+2)+
+p(J et K+3)+p(J+1 et K+3)+p(J+2 et K+3)+p(J+3 et K+3)+ ... +p(J+n et K+3)+
...
+p(J et K+n)+p(J+1 et K+n)+p(J+2 et K+n)+p(J+3 et K+n)+ ...+p(J+n et K+n)
L'obbiettivo è sempre quello di trovare una modalità con cui sia possibile trasferire in excel il modello e da lì risolvere automaticamente il calcolo al variare dei valori numerici.
Non conosco una formula semplice per calcolare quella somma in modo esatto, a meno di non ricorrere ad approssimazioni.
In alcuni casi può risultare più conveniente calcolare la probabilità dell'evento complementare, se questo si traduce nel calcolo di un numero minore di addendi:
$P("almeno J Rosse" \ \AND\ "almeno K nere")=P(R>=J \ \AND\ N>=K)=1-P(R
Restando in Excel, l'idea di Umby mi sembra un'ottima scelta
Per avere la somma dei casi favorevoli, penso ci sia qualche modo di automatizzare, ad esempio:
La formula va inserita come formula-matrice, quindi bisogna digitare CTRL-MAIUSC-INVIO (invece di solo INVIO).
Anche per avere gli zeri al posto dei #NUM! c'è un modo per automatizzare...
Ottimo!
Constato con piacere che ero giunto autonomamente ad un simile risultato (la pensata di inserire le operazioni in una sorta di tabella a doppia entrata)
Le formule da me utilizzate sono molto più lunghe e complesse ma ora, prendendo spunto dalle vostre, penso che riuscirò a semplificare il tutto.
Non conosco le formule-matrici ma appena ho un po di tempo mi metterò a studiare un po su e capire come funzionano.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Problema 1 - Risolto
Problema 2 - Risolto
Problema 3 - Viene meno (era mal formulato)
Problema 4
(Cambio i nomi di alcune variabili per renderci la vita meno inutilmente complessa)
Ho un'urna contenente W palline, al cui interno ci sono R palline Rosse, N palline nere e B palline bianche; desidero estrarne almeno X palline rosse e Y palline nere.
1. Estraggo (senza reinserirle) E palline.
2. Il risultato di questa estrazione mi soddisfa?
a) Si: vado al punto 5
b) No: vado al punto 3
3. Quante estrazioni E ho già effettuato?
c) Un numeroV: vado al punto 4
d) Un numero > di V: vado al punto 5
4. Reinserisco le E palline estratte - ritorno al punto 1
5. Estraggo (sempre senza reinserirle) altre Z palline.
6. Sul totale delle E+Z palline estratte verifico se ho almeno X palline rosse e Y palline nere
Alla fine, quando verifico se ho estratto almeno X palline rosse e Y palline nere, conta solamente l'ultima estrazione E fatta (oltre a contare ovviamente l'estrazione Z) mentre tutte le precedenti estrazioni E reinserite non hanno alcun peso.
f) Qual'è il miglior criterio per valutare se i risultati dell'estrazione E sono da reinserire (e ripetere l'estrazione) o sono da tenere al fine di aumentare p(X)?
g) Qual'è il miglior criterio per valutare se i risultati dell'estrazione E sono da reinserire (e ripetere l'estrazione) o sono da tenere al fine di aumentare p(X e Y)?
h) Applicando i criteri precedentemente individuati, come variano p(X), p(Y) e p(X et Y)?
Ora inizio a pensarci un po' su e, se mi viene in mente qualcosa, posto le mie elucubrazioni.
Constato con piacere che ero giunto autonomamente ad un simile risultato (la pensata di inserire le operazioni in una sorta di tabella a doppia entrata)
Le formule da me utilizzate sono molto più lunghe e complesse ma ora, prendendo spunto dalle vostre, penso che riuscirò a semplificare il tutto.
Non conosco le formule-matrici ma appena ho un po di tempo mi metterò a studiare un po su e capire come funzionano.
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Problema 1 - Risolto
Problema 2 - Risolto
Problema 3 - Viene meno (era mal formulato)
Problema 4
(Cambio i nomi di alcune variabili per renderci la vita meno inutilmente complessa)
Ho un'urna contenente W palline, al cui interno ci sono R palline Rosse, N palline nere e B palline bianche; desidero estrarne almeno X palline rosse e Y palline nere.
1. Estraggo (senza reinserirle) E palline.
2. Il risultato di questa estrazione mi soddisfa?
a) Si: vado al punto 5
b) No: vado al punto 3
3. Quante estrazioni E ho già effettuato?
c) Un numero
d) Un numero > di V: vado al punto 5
4. Reinserisco le E palline estratte - ritorno al punto 1
5. Estraggo (sempre senza reinserirle) altre Z palline.
6. Sul totale delle E+Z palline estratte verifico se ho almeno X palline rosse e Y palline nere
Alla fine, quando verifico se ho estratto almeno X palline rosse e Y palline nere, conta solamente l'ultima estrazione E fatta (oltre a contare ovviamente l'estrazione Z) mentre tutte le precedenti estrazioni E reinserite non hanno alcun peso.
f) Qual'è il miglior criterio per valutare se i risultati dell'estrazione E sono da reinserire (e ripetere l'estrazione) o sono da tenere al fine di aumentare p(X)?
g) Qual'è il miglior criterio per valutare se i risultati dell'estrazione E sono da reinserire (e ripetere l'estrazione) o sono da tenere al fine di aumentare p(X e Y)?
h) Applicando i criteri precedentemente individuati, come variano p(X), p(Y) e p(X et Y)?
Ora inizio a pensarci un po' su e, se mi viene in mente qualcosa, posto le mie elucubrazioni.
Una prima riflessione:
Ci sono due punti cruciali:
il punto 2) "Il risultato di questa estrazione mi soddisfa?"
ed il punto 3) "c) Un numero
Direi che adotterei questa strategia:
Immaginiamo che V sia uguale a 10. Significa che posso decidere per 10 volte se prendere o meno l'estrazione che si è verificata.
Inizialmente posso valutare con tranquillità l'estrazione (vediamo dopo in che modo valuto se l'estrazione è buona o meno), ma, man mano che mi avvicino "alla morte" devo abbassare la mia asticella di valutazione (Ovvero mi devo accontentare anche di estrazioni non molto buone, pur di non rischiare di cadere nel vuoto: Ovvero di utilizzare l'ultima estrazione)
P.s. hai fatto dei calcoli complicatissimi...anche perchè hai preferito mettere le probabilità, il che rende anche piu' complesso valutare se i numeri sono corretti o meno.
Ci sono due punti cruciali:
il punto 2) "Il risultato di questa estrazione mi soddisfa?"
ed il punto 3) "c) Un numero
Direi che adotterei questa strategia:
Immaginiamo che V sia uguale a 10. Significa che posso decidere per 10 volte se prendere o meno l'estrazione che si è verificata.
Inizialmente posso valutare con tranquillità l'estrazione (vediamo dopo in che modo valuto se l'estrazione è buona o meno), ma, man mano che mi avvicino "alla morte" devo abbassare la mia asticella di valutazione (Ovvero mi devo accontentare anche di estrazioni non molto buone, pur di non rischiare di cadere nel vuoto: Ovvero di utilizzare l'ultima estrazione)
P.s. hai fatto dei calcoli complicatissimi...anche perchè hai preferito mettere le probabilità, il che rende anche piu' complesso valutare se i numeri sono corretti o meno.
Intanto ho formalizzato meglio il problema 4
Ragionamento assolutamente condivisibile; aggiungo solo una notazione: alla fine V sarà un numero a sua volta determinato "casualmente" (o meglio soggetto a determinate probabilità, ma di questo parleremo più avanti) ma in ogni caso tenderà ad essere un numero piccolo; il più delle volte compreso tra 2 e 4.
Capita spesso che in Excel mi lascio prendere la mano e metto mi complico la vita inutilmente... Ora dovrò semplificare il tutto e vedere se gira
"Umby":
Inizialmente posso valutare con tranquillità l'estrazione (vediamo dopo in che modo valuto se l'estrazione è buona o meno), ma, man mano che mi avvicino "alla morte" devo abbassare la mia asticella di valutazione (Ovvero mi devo accontentare anche di estrazioni non molto buone, pur di non rischiare di cadere nel vuoto: Ovvero di utilizzare l'ultima estrazione)
Ragionamento assolutamente condivisibile; aggiungo solo una notazione: alla fine V sarà un numero a sua volta determinato "casualmente" (o meglio soggetto a determinate probabilità, ma di questo parleremo più avanti) ma in ogni caso tenderà ad essere un numero piccolo; il più delle volte compreso tra 2 e 4.
"Umby":
P.s. hai fatto dei calcoli complicatissimi...anche perchè hai preferito mettere le probabilità, il che rende anche piu' complesso valutare se i numeri sono corretti o meno.
Capita spesso che in Excel mi lascio prendere la mano e metto mi complico la vita inutilmente... Ora dovrò semplificare il tutto e vedere se gira
Un bel problemino.
Si e direi che il criterio di scelta e quale ha probabilità maggiore tra continuare e ritentare ed ovviamente man mano che aumentano le estrazioni la probabilità di ritentare si abbassa.
Ora la probabilità di continuare non crea moti problemi: avrai una prima estrazione e poi ti cacolerai la probabiità di una seconda estrazione che verifica l'evento
condizionatamente alla prima estrazione che hai avuto.
L'altra probabilità e più compessa ed una maniera per calcolarla potrebbe essere usando un approccio backward.
Se ti trovi alla V-1 procedura dopo la prima estrazione la probabilità di continuare è quella di prima quella di ricominciare è: vai alla V-esima procedura non puoi più scegliere e quindi la probabilità che le due ti diano successo. Chiama $p_v$.
Se ti trovi alla V-2 procedura, continuare ha la solita probabilità.
Se invece ricominci sei all'inizio della V-1 procedura. Fai la prima estrazione e decidi se continuare oppure no come al punto sopra. (la confronti con $p_v$)
Poi su queste ne devi fare una media su tutte le possibili prime estrazioni. Ottieni dunque $p_(v-1)$
Ti trovi alla V-3. Fai la prima estrazione. La probabilità di continuare è la solita.
Se invece ricominci passi alla V-2; fai la prima estrazione e poi decidi se continuare oppure no confrontando con $p_(v-1)$
E poi ne devi fare la media.
Ora non so se ho usato una notazione corretta perchè ho fatto tutto a mente guardando il tuo grafico (carino potresti anche invertire l'ordine dei rombi forse);
comunque mi pare che l'idea di fare questo schema backward possa dare una soluzione, certo è un bel lavoro ci vuole pazienza.
Fatemi sapere se vedete falle.
Ciao.
"Umby":
Inizialmente posso valutare con tranquillità l'estrazione (vediamo dopo in che modo valuto se l'estrazione è buona o meno), ma, man mano che mi avvicino "alla morte" devo abbassare la mia asticella di valutazione (Ovvero mi devo accontentare anche di estrazioni non molto buone, pur di non rischiare di cadere nel vuoto: Ovvero di utilizzare l'ultima estrazione)
Si e direi che il criterio di scelta e quale ha probabilità maggiore tra continuare e ritentare ed ovviamente man mano che aumentano le estrazioni la probabilità di ritentare si abbassa.
Ora la probabilità di continuare non crea moti problemi: avrai una prima estrazione e poi ti cacolerai la probabiità di una seconda estrazione che verifica l'evento
condizionatamente alla prima estrazione che hai avuto.
L'altra probabilità e più compessa ed una maniera per calcolarla potrebbe essere usando un approccio backward.
Se ti trovi alla V-1 procedura dopo la prima estrazione la probabilità di continuare è quella di prima quella di ricominciare è: vai alla V-esima procedura non puoi più scegliere e quindi la probabilità che le due ti diano successo. Chiama $p_v$.
Se ti trovi alla V-2 procedura, continuare ha la solita probabilità.
Se invece ricominci sei all'inizio della V-1 procedura. Fai la prima estrazione e decidi se continuare oppure no come al punto sopra. (la confronti con $p_v$)
Poi su queste ne devi fare una media su tutte le possibili prime estrazioni. Ottieni dunque $p_(v-1)$
Ti trovi alla V-3. Fai la prima estrazione. La probabilità di continuare è la solita.
Se invece ricominci passi alla V-2; fai la prima estrazione e poi decidi se continuare oppure no confrontando con $p_(v-1)$
E poi ne devi fare la media.
Ora non so se ho usato una notazione corretta perchè ho fatto tutto a mente guardando il tuo grafico (carino potresti anche invertire l'ordine dei rombi forse);
comunque mi pare che l'idea di fare questo schema backward possa dare una soluzione, certo è un bel lavoro ci vuole pazienza.
Fatemi sapere se vedete falle.
Ciao.
"Soron":
aggiungo solo una notazione: alla fine V sarà un numero a sua volta determinato "casualmente" (o meglio soggetto a determinate probabilità, ma di questo parleremo più avanti) ma in ogni caso tenderà ad essere un numero piccolo; il più delle volte compreso tra 2 e 4.
Spero che almeno questo numero V si sappia nel momento in cui devo decidere se prendere o lasciare. Conoscendolo, la decisione è più ponderata.
2 questioni:
1) nonostante i miei sforzi mi sono reso conto che neppure l'ultimo grafico da me postato rappresentava correttamente la situazione; posto qui un ulteriore grafico che dovrebbe rispondere alla domanda di Umby e rappresentare il problema nella sua interezza:
2) Nonostante il mio errore credo che l'approccio presentato da DajeForte si possa tranquillamente applicare anche nella nuova situazione con minime modifiche; mi rendo conto che serà un lavoraccio ma appena avrà un po di tempo tenterò di trasformare il concetto in numeri[/img]
1) nonostante i miei sforzi mi sono reso conto che neppure l'ultimo grafico da me postato rappresentava correttamente la situazione; posto qui un ulteriore grafico che dovrebbe rispondere alla domanda di Umby e rappresentare il problema nella sua interezza:
2) Nonostante il mio errore credo che l'approccio presentato da DajeForte si possa tranquillamente applicare anche nella nuova situazione con minime modifiche; mi rendo conto che serà un lavoraccio ma appena avrà un po di tempo tenterò di trasformare il concetto in numeri[/img]
In questo caso in numero V (variabile che qui ho omesso) è il numero di estrazioni di E che intendo fare prima che il mio E venga troppo ridotto.
E assume inizialmente il valore di 7
E assume inizialmente il valore di 7
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