Estrazioni da un'urna di composizione incognita, indipendenza
Salve ragazzi, ho trovato molte difficoltà nel risolvere il seguente esercizio:
ESERCIZIO:
Si consideri un'urna di composizione incognita contenete 10 palline numerate da 1 a 10, che vengono estratte una dopo l'altra fino ad esaurimento.
Si dice che vi è una coincidenza se alla $k$-esima estrazione si estrae la pallina con il numero $k$; sia $E_k$ tale evento.
Sia $X$ il numero aleatorio "numero di coincidenze nelle 10 prove".
Studiare l'indipendenza degli eventi $E_k$, calcolare il valore atteso $m_X$ e la varianza $sigma_X^2$ di $X$ ed, infine, la probabilità $p$ che non ci sia nessuna coincidenza.
RAGIONAMENTO:
Ho, innanzitutto, provato a ragionare sugli eventi $E_k$ che sono, in totale 10.
$E_1$ se ho estratto 1 alla prima estrazione, $E_2$ se ho estratto 2 alla seconda estrazione, ..., $E_10$ se ho estratto 10 alla decima estrazione.
Ho problemi, tuttavia, nel stabilire la probabilità di ciascun evento, soprattutto perchè l'urna è di composizione incognita e di urne con 10 palline numerate posso crearne un bel po' (per calcolarle ho utilizzato le combinazioni con ripetizione e me ne escono $( (19), (10) )$).
Ho, quindi, cambiato strategia e ragionato più in generale confrontando invece gli eventi $E_k$.
Ho confrontato, ad esempio, $E_1$ ed $E_2$ e mi sono chiesto se fosse più probabile estrarre 1 alla prima estrazione oppure estrarre 2 alla seconda estrazione.
Poichè dietro il problema sembra esserci la ipergeometrica, ho supposto che gli eventi $E_1$ ed $E_2$ fossero in realtà equiprobabili e che, quindi, tutti gli eventi $E_k$ fossero equiprobabili.
Quindi sono arrivato alla conclusione che gli $P(E_k) = 1/10$
A questo punto ho cercato di studiare l'indipendenza stocastica e sono arrivato alla conclusione che non lo sono (teoria che viene avvalorata dal fatto che dietro ci dovrebbe essere l'ipergeometrica)
Mi sono sempre basato gli eventi $E_1$ ed $E_2$.
Se due eventi sono stocasticamente indipendenti allora lo sono anche utilizzando i loro contrari e viceversa.
Da un punto di vista logico, tuttavia, posso affermare che $P(E_2|E_1) != P(E_2 | E_1^c)$, in quanto se l'evento $E_1$ non si verifica allora significa che nella prima estrazione ho ottenuto una pallina con valore diverso 1 (che potrebbe anche essere la pallina 2).
Se, invece, l'evento $E_1$ si verifica allora so che tutte le palline con valore 2 (ammesso che esse siano contenute nell'urna) sono ancora disponibili.
Ammesso di aver ragionato bene fino ad ora non so comunque come continuare il ragionamento.
So che $C_X = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$, ma non so come calcolarmi le probabilità $P({X=i})$ e di conseguenza i punti che l'esercizio mi richiede.
ESERCIZIO:
Si consideri un'urna di composizione incognita contenete 10 palline numerate da 1 a 10, che vengono estratte una dopo l'altra fino ad esaurimento.
Si dice che vi è una coincidenza se alla $k$-esima estrazione si estrae la pallina con il numero $k$; sia $E_k$ tale evento.
Sia $X$ il numero aleatorio "numero di coincidenze nelle 10 prove".
Studiare l'indipendenza degli eventi $E_k$, calcolare il valore atteso $m_X$ e la varianza $sigma_X^2$ di $X$ ed, infine, la probabilità $p$ che non ci sia nessuna coincidenza.
RAGIONAMENTO:
Ho, innanzitutto, provato a ragionare sugli eventi $E_k$ che sono, in totale 10.
$E_1$ se ho estratto 1 alla prima estrazione, $E_2$ se ho estratto 2 alla seconda estrazione, ..., $E_10$ se ho estratto 10 alla decima estrazione.
Ho problemi, tuttavia, nel stabilire la probabilità di ciascun evento, soprattutto perchè l'urna è di composizione incognita e di urne con 10 palline numerate posso crearne un bel po' (per calcolarle ho utilizzato le combinazioni con ripetizione e me ne escono $( (19), (10) )$).
Ho, quindi, cambiato strategia e ragionato più in generale confrontando invece gli eventi $E_k$.
Ho confrontato, ad esempio, $E_1$ ed $E_2$ e mi sono chiesto se fosse più probabile estrarre 1 alla prima estrazione oppure estrarre 2 alla seconda estrazione.
Poichè dietro il problema sembra esserci la ipergeometrica, ho supposto che gli eventi $E_1$ ed $E_2$ fossero in realtà equiprobabili e che, quindi, tutti gli eventi $E_k$ fossero equiprobabili.
Quindi sono arrivato alla conclusione che gli $P(E_k) = 1/10$
A questo punto ho cercato di studiare l'indipendenza stocastica e sono arrivato alla conclusione che non lo sono (teoria che viene avvalorata dal fatto che dietro ci dovrebbe essere l'ipergeometrica)
Mi sono sempre basato gli eventi $E_1$ ed $E_2$.
Se due eventi sono stocasticamente indipendenti allora lo sono anche utilizzando i loro contrari e viceversa.
Da un punto di vista logico, tuttavia, posso affermare che $P(E_2|E_1) != P(E_2 | E_1^c)$, in quanto se l'evento $E_1$ non si verifica allora significa che nella prima estrazione ho ottenuto una pallina con valore diverso 1 (che potrebbe anche essere la pallina 2).
Se, invece, l'evento $E_1$ si verifica allora so che tutte le palline con valore 2 (ammesso che esse siano contenute nell'urna) sono ancora disponibili.
Ammesso di aver ragionato bene fino ad ora non so comunque come continuare il ragionamento.
So che $C_X = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$, ma non so come calcolarmi le probabilità $P({X=i})$ e di conseguenza i punti che l'esercizio mi richiede.
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