Estrazioni carte senza reintroduzione
Salve,
partiamo subito con il problema.
Cercherò di essere chiaro e conciso.
Condizioni iniziali:
- Mazzo di 75 carte
- 7 carte di tipo "A"
- 15 carte di tipo "B"
- 5 carte di tipo "C"
- 4 carte di tipo "D"
- 4 carte di tipo "E"
- Pesco 7 carte senza reintroduzione
Calcolare:
1. La probabilità di pescare ALMENO 1 carta di tipo "A"
2. La probabilità di pescare ALMENO 2 carte di tipo "A"
3. La probabilità di pescare ESATTAMENTE 1 carta di tipo "A"
4. La probabilità di pescare ESATTAMENTE 2 carte di tipo "A"
5. La probabilità di pescare ALMENO 1 carta di tipo "D" E ALMENO 1 carta di tipo "E"
6. La probabilità di pescare ESATTAMENTE 1 carta di tipo "D" ESATTAMENTE 1 carta di tipo "E"
7. La probabilità di pescare ALMENO 1 carta di tipo "A" E ALMENO 1 carta di tipo "D" o "E" E ALMENO 1 carta di tipo "A" o "B" o "C"
Alcune valutazioni:
1. Potrebbe essere risolto con la probabilità contraria? Ovvero:
$1-P(q)$
$P(q)=n/m$ con $n=C(68,7)$ e $m=C(75,7)$
5. Il seguente metodo è sufficiente?
$P(D)*P(E)$
Per il resto sto facendo delle prove, ma sono davvero un po' arrugginito.
Non nego che potrebbero mancarmi gli strumenti necessari per la risoluzione.
Vi ringrazio anticipatamente per la disponibilità.
Saluti,
Daemon
partiamo subito con il problema.
Cercherò di essere chiaro e conciso.
Condizioni iniziali:
- Mazzo di 75 carte
- 7 carte di tipo "A"
- 15 carte di tipo "B"
- 5 carte di tipo "C"
- 4 carte di tipo "D"
- 4 carte di tipo "E"
- Pesco 7 carte senza reintroduzione
Calcolare:
1. La probabilità di pescare ALMENO 1 carta di tipo "A"
2. La probabilità di pescare ALMENO 2 carte di tipo "A"
3. La probabilità di pescare ESATTAMENTE 1 carta di tipo "A"
4. La probabilità di pescare ESATTAMENTE 2 carte di tipo "A"
5. La probabilità di pescare ALMENO 1 carta di tipo "D" E ALMENO 1 carta di tipo "E"
6. La probabilità di pescare ESATTAMENTE 1 carta di tipo "D" ESATTAMENTE 1 carta di tipo "E"
7. La probabilità di pescare ALMENO 1 carta di tipo "A" E ALMENO 1 carta di tipo "D" o "E" E ALMENO 1 carta di tipo "A" o "B" o "C"
Alcune valutazioni:
1. Potrebbe essere risolto con la probabilità contraria? Ovvero:
$1-P(q)$
$P(q)=n/m$ con $n=C(68,7)$ e $m=C(75,7)$
5. Il seguente metodo è sufficiente?
$P(D)*P(E)$
Per il resto sto facendo delle prove, ma sono davvero un po' arrugginito.
Non nego che potrebbero mancarmi gli strumenti necessari per la risoluzione.
Vi ringrazio anticipatamente per la disponibilità.
Saluti,
Daemon
Risposte
Grazie Gatto89!!
Ecco cos'era. Avevo qualche reminescenza di questo strumento ma non riuscivo a focalizzare.
Rivedrò il tutto utilizzando la distribuzione ipergeometrica e posterò le varie soluzioni quanto prima.
Nel caso avessi difficoltà proverò a sottoporre gli eventuali dubbi.
Grazie ancora!
Daemon
Ecco cos'era. Avevo qualche reminescenza di questo strumento ma non riuscivo a focalizzare.
Rivedrò il tutto utilizzando la distribuzione ipergeometrica e posterò le varie soluzioni quanto prima.
Nel caso avessi difficoltà proverò a sottoporre gli eventuali dubbi.
Grazie ancora!
Daemon
You're welcome 
La risposta alla 3 e 4 dovrebbe essere la seguente:
3. Utilizzando la distribuzione ipergeometrica
$(C(7,1) * C(68,6)) / (C(75,7)) ~~ 38,60%$
4. Sempre utilizzando la distribuzione ipergeometrica
$(C(7,2) * C(68,5)) / (C(75,7)) ~~ 11,03%$
Restano i dubbi per quanto riguarda le probabilità composta e per i casi nei quali bisogna pescare ALMENO e non ESATTAMENTE.
Per la probabilità composta, non sono sicuro di come e quando valutare il fatto che siano state pescate altre carte, se realmente ne devo tenere conto e come.
Mi confermate che la risposta all'esercizio n.1 è corretta?
Qualche suggerimento per le altre?
Cordialmente,
Daemon
3. Utilizzando la distribuzione ipergeometrica
$(C(7,1) * C(68,6)) / (C(75,7)) ~~ 38,60%$
4. Sempre utilizzando la distribuzione ipergeometrica
$(C(7,2) * C(68,5)) / (C(75,7)) ~~ 11,03%$
Restano i dubbi per quanto riguarda le probabilità composta e per i casi nei quali bisogna pescare ALMENO e non ESATTAMENTE.
Per la probabilità composta, non sono sicuro di come e quando valutare il fatto che siano state pescate altre carte, se realmente ne devo tenere conto e come.
Mi confermate che la risposta all'esercizio n.1 è corretta?
Qualche suggerimento per le altre?
Cordialmente,
Daemon
"Daemon1978":
Mi confermate che la risposta all'esercizio n.1 è corretta?
Direi di si, anche se, forse, era piu semplice così:
$1 - (68/75 * 67/74 * 66/73 * 65/72 * 64/71 * 63/70 * 62/69)
Restano quindi aperti i seguenti quesiti:
2. ???
5. Si può usare $P(D)*P(E)$ ??
A cosa equivalgono P(D) e P(E) ?? Devo considerare il fatto che una carta delle 7 sia già stata pescata?
6. Idem come 5.
7. Qui brancolo ancora nel buio...
Daemon
2. ???
5. Si può usare $P(D)*P(E)$ ??
A cosa equivalgono P(D) e P(E) ?? Devo considerare il fatto che una carta delle 7 sia già stata pescata?
6. Idem come 5.
7. Qui brancolo ancora nel buio...
Daemon
Per la 7 secondo me, dovresti mettere delle parentesi, tra le varie "o" ed "e", altrimenti lo stesso quesito potrebbe essere interpretato in modo differente.
Concordo, grazie per l'osservazione:
7. La probabilità di pescare (ALMENO 1 carta di tipo "A") e (ALMENO 1 carta di tipo "D" o "E") e (ALMENO 1 carta di tipo "A" o "B" o "C")
Grazie,
Daemon
7. La probabilità di pescare (ALMENO 1 carta di tipo "A") e (ALMENO 1 carta di tipo "D" o "E") e (ALMENO 1 carta di tipo "A" o "B" o "C")
Grazie,
Daemon
Quesito numero 2.
2. La soluzione, simile alla prima è la seguente:
$P(E) = 1-P(q)$
$P(q) = (C(71,7)+C(71,6)*C(4,1))/(C(75,7))$
In quanto è la probabilità di non pescarne nessuna più la probabilità di pescarne 1 (casi non favorevoli).
Qualche idea per i casi 5 e 6?
Daemon
2. La soluzione, simile alla prima è la seguente:
$P(E) = 1-P(q)$
$P(q) = (C(71,7)+C(71,6)*C(4,1))/(C(75,7))$
In quanto è la probabilità di non pescarne nessuna più la probabilità di pescarne 1 (casi non favorevoli).
Qualche idea per i casi 5 e 6?
Daemon
"Daemon1978":
Concordo, grazie per l'osservazione:
7. La probabilità di pescare (ALMENO 1 carta di tipo "A") e (ALMENO 1 carta di tipo "D" o "E") e (ALMENO 1 carta di tipo "A" o "B" o "C")
Grazie,
Daemon
questa terza, mi sembra che serva a poco..
Eh no, purtroppo serve.
Mi serve pescare una carta A, una carta D o E, e una carta che può essere una seconda A oppure una B o una C.
Mi serve pescare una carta A, una carta D o E, e una carta che può essere una seconda A oppure una B o una C.
Ciao, innanzi tutto devi considerare il campionamento senza reinserimento come campionamento in blocco (cosa che è già stata fatta) dopodichè sai che pescando 7 carte da un mazzo di 75 hai $((75),(7))$ combinazioni, che sarà il tuo denominatore in tutti e 7 i quesiti proposti.
1) Qui puoi ragionare per complementare (quello che tu hai chiamato probabilità contraria), ossia la probabilità che esca ALMENO una "A" è 1 MENO la probabilità dell'evento contrario, ossia che non esca nemmeno una "A", tale probabilità vale $((68),(7))$ ossia tutti i gruppi di 7 carte prese tra le 68 diverse da "A", pertanto:
$p=1 - (((68),(7)))/(((75),(7))) ~~ 51,16%$
Puoi risolverlo anche sommando la probabilità che esca una A, quella che escano 2 A, quella che escano 3 A, etc etc (è evidentemente sconveniente, però torna):
$p=( ((7),(1))*((68),(6)) + ((7),(2))*((68),(5)) + ((7),(3))*((68),(4)) + ((7),(4))*((68),(3)) + ((7),(5))*((68),(2)) + ((7),(6))*((68),(1)) + ((7),(7))*((68),(0)) ) / (((75),(7))) = (1015385946)/(1984829850) ~~ 51,16%$
2) Come nel caso precedente, solo che l'evento contrario è "escono meno di 2 A" quindi sarà la somma tra la probabilità che esca ESATTAMENTE una "A" e la probabilità che non esca NESSUNA "A" (quest'ultima vista prima).
$p=1-( ((68),(7)) + ((7),(1))*((68),(6)) ) / (((75),(7))) ~~ 12,56%$
3) Come sopra (in realtà basta fare la differenza tra (1) e (2)):
$p= (((7),(1))*((68),(6))) / (((75),(7))) ~~ 38,60%$
4) La probabilità che escano ESATTAMENTE 2 "A": pesco 2 carte dalle 7 "A", e le rimanenti 5 dalle 68 "NON-A"
$p= (((7),(2))*((68),(5))) / (((75),(7))) ~~ 11,03%$
5) Anche qua conviene ragionare per complementari, ossia 1 MENO la probabilità che non esca nè una "D" nè una "E", il che richiede semplicemente di pescare 7 carte da un mazzo senza "D" nè "E", quindi composto da 67 carte:
$p=1 - (((67),(7)))/(((75),(7))) ~~ 56,18%$
6) Prendo una carta tra le 4 "D" disponibili, una tra le 4 "E" disponibili, le rimanenti 5 dalle 67 "nè-D-nè-E":
$p=(((4),(1))*((4),(1))*((67),(5)))/(((75),(7))) ~~ 7,79$
Il 7 non l'ho proprio capito, la condizione "ALMENO una A" e "ALMENO una tra A, B e C" mi sembrano una un superset dell'altra, sicuro che il testo dica proprio così?
EDIT:
7) Ragioniamo per complementare, bisogna calcolare la probabilità di NON estrarre A o NON estrarre NÈ D NÈ E, o NON estrarre NÈ A NÈ B NÈ C.
La prima probabilità è $(((68),(7)))/(((75),(7)))$
La seconda è $(((67),(7)))/(((75),(7)))$
La terza $(((48),(7)))/(((75),(7)))$
La probabilità totale dovrebbe essere 1 meno la somma delle 3, quindi:
$p=1 -( ((68),(7)) + ((67),(7)) + ((48),(7)) ) / ( ((75),(7)) ) ~~ 3,63%$
1) Qui puoi ragionare per complementare (quello che tu hai chiamato probabilità contraria), ossia la probabilità che esca ALMENO una "A" è 1 MENO la probabilità dell'evento contrario, ossia che non esca nemmeno una "A", tale probabilità vale $((68),(7))$ ossia tutti i gruppi di 7 carte prese tra le 68 diverse da "A", pertanto:
$p=1 - (((68),(7)))/(((75),(7))) ~~ 51,16%$
Puoi risolverlo anche sommando la probabilità che esca una A, quella che escano 2 A, quella che escano 3 A, etc etc (è evidentemente sconveniente, però torna):
$p=( ((7),(1))*((68),(6)) + ((7),(2))*((68),(5)) + ((7),(3))*((68),(4)) + ((7),(4))*((68),(3)) + ((7),(5))*((68),(2)) + ((7),(6))*((68),(1)) + ((7),(7))*((68),(0)) ) / (((75),(7))) = (1015385946)/(1984829850) ~~ 51,16%$
2) Come nel caso precedente, solo che l'evento contrario è "escono meno di 2 A" quindi sarà la somma tra la probabilità che esca ESATTAMENTE una "A" e la probabilità che non esca NESSUNA "A" (quest'ultima vista prima).
$p=1-( ((68),(7)) + ((7),(1))*((68),(6)) ) / (((75),(7))) ~~ 12,56%$
3) Come sopra (in realtà basta fare la differenza tra (1) e (2)):
$p= (((7),(1))*((68),(6))) / (((75),(7))) ~~ 38,60%$
4) La probabilità che escano ESATTAMENTE 2 "A": pesco 2 carte dalle 7 "A", e le rimanenti 5 dalle 68 "NON-A"
$p= (((7),(2))*((68),(5))) / (((75),(7))) ~~ 11,03%$
5) Anche qua conviene ragionare per complementari, ossia 1 MENO la probabilità che non esca nè una "D" nè una "E", il che richiede semplicemente di pescare 7 carte da un mazzo senza "D" nè "E", quindi composto da 67 carte:
$p=1 - (((67),(7)))/(((75),(7))) ~~ 56,18%$
6) Prendo una carta tra le 4 "D" disponibili, una tra le 4 "E" disponibili, le rimanenti 5 dalle 67 "nè-D-nè-E":
$p=(((4),(1))*((4),(1))*((67),(5)))/(((75),(7))) ~~ 7,79$
Il 7 non l'ho proprio capito, la condizione "ALMENO una A" e "ALMENO una tra A, B e C" mi sembrano una un superset dell'altra, sicuro che il testo dica proprio così?
EDIT:
7) Ragioniamo per complementare, bisogna calcolare la probabilità di NON estrarre A o NON estrarre NÈ D NÈ E, o NON estrarre NÈ A NÈ B NÈ C.
La prima probabilità è $(((68),(7)))/(((75),(7)))$
La seconda è $(((67),(7)))/(((75),(7)))$
La terza $(((48),(7)))/(((75),(7)))$
La probabilità totale dovrebbe essere 1 meno la somma delle 3, quindi:
$p=1 -( ((68),(7)) + ((67),(7)) + ((48),(7)) ) / ( ((75),(7)) ) ~~ 3,63%$
"wonnunk":
4) La probabilità che escano ESATTAMENTE 2 "A": pesco 2 carte dalle 7 "A", e le rimanenti 5 dalle 65 "NON-A"
$p= (((7),(2))*((65),(5))) / (((75),(7))) ~~ 8,74%$
Ok, concordo. C'è solo un errore: le carte "NON A" sono 68.
Per il resto il procedimento mi sembra giusto
Il 7 non l'ho proprio capito, la condizione "ALMENO una A" e "ALMENO una tra A, B e C" mi sembrano una un superset dell'altra, sicuro che il testo dica proprio così?
Secondo queste 2 condizioni mi serve almeno 1 A e una seconda carta che può essere o una seconda A, oppure una B oppure una C.
Quindi le combinazioni possono essere (sempre secondo solo queste condizioni):
AA
AB
AC
Troppi numeri, uno si incasina ora fixo e provo a mettere pure il 7.
ora fixo e provo a mettere pure il 7.
Nessun problema. Sei stato gentilissimo 
Grazie mille!
Grazie mille!
Ok, ora dovrebbe esserci tutto, spero di averci azzeccato.
P.S. Niente di che
P.S. Niente di che
"wonnunk":
La probabilità totale dovrebbe essere 1 meno la somma delle 3, quindi:
$p=1 -( ((68),(7)) + ((67),(7)) + ((48),(7)) ) / ( ((75),(7)) ) ~~ 3,63%$
Ho qualche dubbio su questa.
Mi riferisco in particolare al primo e terzo evento. (..vedi mio topic precedente..)
"wonnunk":
5) Anche qua conviene ragionare per complementari, ossia 1 MENO la probabilità che non esca nè una "D" nè una "E", il che richiede semplicemente di pescare 7 carte da un mazzo senza "D" nè "E", quindi composto da 67 carte:
$p=1 - (((67),(7)))/(((75),(7))) ~~ 56,18%$
7) Ragioniamo per complementare, bisogna calcolare la probabilità di NON estrarre A o NON estrarre NÈ D NÈ E, o NON estrarre NÈ A NÈ B NÈ C.
La prima probabilità è $(((68),(7)))/(((75),(7)))$
La seconda è $(((67),(7)))/(((75),(7)))$
La terza $(((48),(7)))/(((75),(7)))$
La probabilità totale dovrebbe essere 1 meno la somma delle 3, quindi:
$p=1 -( ((68),(7)) + ((67),(7)) + ((48),(7)) ) / ( ((75),(7)) ) ~~ 3,63%$
Ciao,
credo che l'approccio dell'esercizio 5 sia sbagliato perchè così facendo prendi per buona la possibilità di prendere 2 carte su 8, e non 1 su 4 e un'altra su altre 4.
Ovvero, dai per buona la possibilità di prendere, sulle 8 carte totali, 2 dello stesso tipo, mentre invece è necessario prenderne almeno 1 di un tipo e 1 di un altro.
Per l'esercizio 7 non riesco a fare una valutazione.
Effettivamente la prima e l'ultima condizione sono difficili sia da interpretare che da spiegare.
Condizione 1
Almeno una carta A
Condizione 2
Almeno una carta D o E
Condizione 3
Almeno una carta (ulteriore) A o B o C
Le soluzioni vincenti sono quindi:
ADA * * * *
ADB * * * *
ADC * * * *
AEA * * * *
AEB * * * *
AEC * * * *
Gli asterischi sono carte che non mi interessano.
Ovviamente l'ordine non conta.
Grazie ancora.
Saluti,
Daemon
"Daemon1978":
Condizione 1
Almeno una carta A
Condizione 2
Almeno una carta D o E
Condizione 3
Almeno una carta (ulteriore) A o B o C
mbè, (ulteriore) .... mica si capiva dal testo ?
Non capisco se è ironia...
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