Estrazione urna con reimmissione
Un'urna contiene 100 palle numerate da 1 a 100.
Si estraggono 3 palle con reimmissione.
Sapendo che X è il minimo di questi numeri estratti, quanto vale P[X = 4]?
In pratica mi sta chiedendo la probabilità che il numero minimo tra i tre estratti sia 4. Il che vuol dire che devo escludere i numeri inferiori a 4, per cui rimarrebbero 96 casi favorevoli su 100 per ogni estrazione. Quindi $(96/100)^3 $
Ma perchè lo svolgimento che ho, lo risolve facendo $(97/100)^3 cdot (96/100) cdot (95/100)^3$ ?
Se è con reimmissione, io potrei avere anche tutti 4! E poi che vuol dire quell'elevato a 3?
Si estraggono 3 palle con reimmissione.
Sapendo che X è il minimo di questi numeri estratti, quanto vale P[X = 4]?
In pratica mi sta chiedendo la probabilità che il numero minimo tra i tre estratti sia 4. Il che vuol dire che devo escludere i numeri inferiori a 4, per cui rimarrebbero 96 casi favorevoli su 100 per ogni estrazione. Quindi $(96/100)^3 $
Ma perchè lo svolgimento che ho, lo risolve facendo $(97/100)^3 cdot (96/100) cdot (95/100)^3$ ?
Se è con reimmissione, io potrei avere anche tutti 4! E poi che vuol dire quell'elevato a 3?
Risposte
Con $(96/100)^3$ tu calcoli la probabilità che esca sempre un numero superiore a 4, infatti escludi i numeri da 1 a 4 e tieni buoni gli altri 96 su 100.
Quello che devi fare è calcolare la probabilità che una volta esca il 4 ($1/100$) per la probabilità che le altre volte non esca un numero inferiore a 4 ($(97/100)^2$) (escludo solo l'1, il 2 e il 3).
Così sto peró calcolando la probabilità che il quattro esca proprio al primo tentativo, allora moltiplico per 3.
Dunque $P= (1/100)*(97/100)^2*3$
Quello che devi fare è calcolare la probabilità che una volta esca il 4 ($1/100$) per la probabilità che le altre volte non esca un numero inferiore a 4 ($(97/100)^2$) (escludo solo l'1, il 2 e il 3).
Così sto peró calcolando la probabilità che il quattro esca proprio al primo tentativo, allora moltiplico per 3.
Dunque $P= (1/100)*(97/100)^2*3$
Ciao, grazie per aver risposto.
Però non capisco, perchè moltiplichi per tre e invece non elevi tutto quel discorso alla terza?
Cioè, tu vuoi che ciò che hai detto si verifichi esattamente in tutte e tre le estrazioni, però, se moltiplichi per tre, stai dicendo che tu vuoi che si verifichi o alla prima estrazione, o alla seconda, o alla terza!
Però non capisco, perchè moltiplichi per tre e invece non elevi tutto quel discorso alla terza?
Cioè, tu vuoi che ciò che hai detto si verifichi esattamente in tutte e tre le estrazioni, però, se moltiplichi per tre, stai dicendo che tu vuoi che si verifichi o alla prima estrazione, o alla seconda, o alla terza!
Del fatto che vada moltiplicato per tre non ne sono sicuro, anzi. Peró ti faccio qualche esempio per chiarirti quando va elevato al cubo. Ricorda che la probabilità che avvengano più eventi indipendenti è data dal loro prodotto.
1) lancio un dado tre volte. Qual è la probabilità che esca sempre il "sei"? $P=1/6*1/6*1/6$ cioè $P= (1/6)^3$.
2) lancio un dado 5 volte, qual è la probabilità che esca almeno una volta il "sei"?
Chiamando $P_a$ la probabilità che esca almeno una volta il sei e $P_b$ la probabilità che non esca mai, ho ovviamente $P_a+P_b=1$, quindi calcolato $P_b= (5/6)^5$, posso trovare $P_a$.
Ora tornando al nostro problema, tu mi chiedi la probabilità che esca una di queste combinazioni (con 4
x 4 x
x x 4
E io con $(1/00)*(97/100)^2$ calcolo solo la probabilità della combinazione 4 x x. Sapendo che hanno tutte la stessa probabilità, trovo la probabilità totale moltiplicando per 3.
1) lancio un dado tre volte. Qual è la probabilità che esca sempre il "sei"? $P=1/6*1/6*1/6$ cioè $P= (1/6)^3$.
2) lancio un dado 5 volte, qual è la probabilità che esca almeno una volta il "sei"?
Chiamando $P_a$ la probabilità che esca almeno una volta il sei e $P_b$ la probabilità che non esca mai, ho ovviamente $P_a+P_b=1$, quindi calcolato $P_b= (5/6)^5$, posso trovare $P_a$.
Ora tornando al nostro problema, tu mi chiedi la probabilità che esca una di queste combinazioni (con 4
x 4 x
x x 4
E io con $(1/00)*(97/100)^2$ calcolo solo la probabilità della combinazione 4 x x. Sapendo che hanno tutte la stessa probabilità, trovo la probabilità totale moltiplicando per 3.
Puoi vedere questo esercizio anche da questo punto di vista, forse ti torna più semplice: considero i casi possibili sui casi favorevoli.
Casi favorevoli: sapendo che esce il 4 e che non possono uscire numeri <4 restano $3*1*97*97$
Nota che in questo caso:
- 3 sono le posizioni che può assumere il 4
- 97*97 è perchè possono uscire tutti i numeri >=4 (compreso quindi il 4)
Casi possibili: tutte le possibili combinazioni di 3 palline prese da 100 -> $100*100*100=100^3$
Allora $(3*1*97*97)/100^3=0.028227$
Casi favorevoli: sapendo che esce il 4 e che non possono uscire numeri <4 restano $3*1*97*97$
Nota che in questo caso:
- 3 sono le posizioni che può assumere il 4
- 97*97 è perchè possono uscire tutti i numeri >=4 (compreso quindi il 4)
Casi possibili: tutte le possibili combinazioni di 3 palline prese da 100 -> $100*100*100=100^3$
Allora $(3*1*97*97)/100^3=0.028227$
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