Estrazione senza rimessa
Ciao ragazzi, sto cercando di risolvere questo problema e ho una mezza soluzione fatta dal professore, ma non mi ci ritrovo...
Il problema è il seguente:
L'urna A contiene 5 palline bianche e 3 palline nere si estraggono 3 palline da essa senza rimessa e le si depositano dentro l'urna B, dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa.
Supponiamo di aver estratto 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Qual è la probabilità che dall'urna B si estraggano 2 palline bianche?
La soluzione data dal professore è questa:
\(\displaystyle P(B|A)=\frac{P(B∩A)}{P(A)}=\frac{(\frac23)^2}{\frac{\binom{5}{3}\binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}} \)
Comunque io ho identificato:
P(B) come la probabilità di estrarre 2 palline bianche dall'urna B.
P(A) come la probabilità di estrarre 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Pertanto P(B|A) sarebbe la probabilità condizionata di B dato A.
Come fa a venire (2/3)² ? Come si calcola? Non mi è chiaro...
La combinazione semplice di P(A) mi è chiara invece.
Grazie in anticipo
Il problema è il seguente:
L'urna A contiene 5 palline bianche e 3 palline nere si estraggono 3 palline da essa senza rimessa e le si depositano dentro l'urna B, dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa.
Supponiamo di aver estratto 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Qual è la probabilità che dall'urna B si estraggano 2 palline bianche?
La soluzione data dal professore è questa:
\(\displaystyle P(B|A)=\frac{P(B∩A)}{P(A)}=\frac{(\frac23)^2}{\frac{\binom{5}{3}\binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}} \)
Comunque io ho identificato:
P(B) come la probabilità di estrarre 2 palline bianche dall'urna B.
P(A) come la probabilità di estrarre 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Pertanto P(B|A) sarebbe la probabilità condizionata di B dato A.
Come fa a venire (2/3)² ? Come si calcola? Non mi è chiaro...
La combinazione semplice di P(A) mi è chiara invece.
Grazie in anticipo
Risposte
$P(A|B)$ mi viene $8/15$ quindi no.
@Orion7
Forse te lo abbiamo già detto ma lo ripeto per sicurezza: non si capisce niente di quella scrittura ...
@ghira
Non è $5/8*4/7*3/6=5/28$? O $5/6*3/7*4/6=5/28$ ? Oppure $3/8*5/7*4/6=5/28$?
Forse te lo abbiamo già detto ma lo ripeto per sicurezza: non si capisce niente di quella scrittura ...
@ghira
Non è $5/8*4/7*3/6=5/28$? O $5/6*3/7*4/6=5/28$ ? Oppure $3/8*5/7*4/6=5/28$?
"axpgn":
Non è $5/8*4/7*3/6=5/28$? O $5/6*3/7*4/6=5/28$ ? Oppure $3/8*5/7*4/6=5/28$?
BBB $10/56$, BBN (in qualsiasi ordine) $30/56$, BNN (in qualsiasi ordine) $15/56$, NNN $1/56$. Totale $56/56$, e meno male.
BBN in particolare $\frac{C_{5,2}C_{3,1}}{C_{8,3}}=30/56$.
In effetti, è la somma dei tre casi possibili che ho scritto 
"axpgn":
In effetti, è la somma dei tre casi possibili che ho scritto
In effetti mi veniva voglia di dire solo quello. Ma...
"axpgn":
@Orion7
Forse te lo abbiamo già detto ma lo ripeto per sicurezza: non si capisce niente di quella scrittura ...
Hai ragione non avevo capito come scriverla, ora la modifico.
"Orion7":
[quote="axpgn"]@Orion7
Forse te lo abbiamo già detto ma lo ripeto per sicurezza: non si capisce niente di quella scrittura ...
Hai ragione non avevo capito come scriverla, ora la modifico.[/quote]
$P(A\cap B)$ non è $(2/3)^2$. Questo è palese.
"ghira":
$P(A\cap B)$ non è $(2/3)^2$. Questo è palese.
Ottimo, anch'io credevo che il professore avesse sbagliato, ma data la mia inesperienza non potevo esserne sicuro.
Comunque, per chiarezza
$P(A\cap B)$ si calcola facendo
$P(A)*P(B)$ nel caso di eventi indipendenti
e
$P(A) *P(B|A)$ nel caso di eventi dipendenti
E in questo caso gli eventi sono dipendenti.
Corretto?
"Orion7":
Comunque, per chiarezza
$P(A\cap B)$ si calcola facendo
$P(A)*P(B)$ nel caso di eventi indipendenti
e
$P(A) *P(B|A)$ nel caso di eventi dipendenti
E in questo caso gli eventi sono dipendenti.
Corretto?
Sì, ma $P(A\cap B)=P(A) *P(B|A) = P(B) * P(A|B)$ è sempre vero. Se $A$ e $B$ sono indipendenti, $P(B|A)=P(B)$ e $P(A|B)=P(A)$, tutto qui.
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