Estrazione senza rimessa
Ciao ragazzi, sto cercando di risolvere questo problema e ho una mezza soluzione fatta dal professore, ma non mi ci ritrovo...
Il problema è il seguente:
L'urna A contiene 5 palline bianche e 3 palline nere si estraggono 3 palline da essa senza rimessa e le si depositano dentro l'urna B, dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa.
Supponiamo di aver estratto 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Qual è la probabilità che dall'urna B si estraggano 2 palline bianche?
La soluzione data dal professore è questa:
\(\displaystyle P(B|A)=\frac{P(B∩A)}{P(A)}=\frac{(\frac23)^2}{\frac{\binom{5}{3}\binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}} \)
Comunque io ho identificato:
P(B) come la probabilità di estrarre 2 palline bianche dall'urna B.
P(A) come la probabilità di estrarre 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Pertanto P(B|A) sarebbe la probabilità condizionata di B dato A.
Come fa a venire (2/3)² ? Come si calcola? Non mi è chiaro...
La combinazione semplice di P(A) mi è chiara invece.
Grazie in anticipo
Il problema è il seguente:
L'urna A contiene 5 palline bianche e 3 palline nere si estraggono 3 palline da essa senza rimessa e le si depositano dentro l'urna B, dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa.
Supponiamo di aver estratto 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Qual è la probabilità che dall'urna B si estraggano 2 palline bianche?
La soluzione data dal professore è questa:
\(\displaystyle P(B|A)=\frac{P(B∩A)}{P(A)}=\frac{(\frac23)^2}{\frac{\binom{5}{3}\binom{3}{1}}{\binom{8}{3}}} \)
Comunque io ho identificato:
P(B) come la probabilità di estrarre 2 palline bianche dall'urna B.
P(A) come la probabilità di estrarre 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Pertanto P(B|A) sarebbe la probabilità condizionata di B dato A.
Come fa a venire (2/3)² ? Come si calcola? Non mi è chiaro...
La combinazione semplice di P(A) mi è chiara invece.
Grazie in anticipo
Risposte
"Orion7":
Supponiamo di aver estratto 2 bianche e 1 nera dall'urna A.
Qual è la probabilità che dall'urna B si estraggano 2 palline bianche?
$(2/3)^2$ immediatamente senza fare altri calcoli.
Non mi interessa il numero, anche perché la soluzione ce l'ha data il professore e non sembra essere quella...
Qual è stato il tuo ragionamento?
Qual è stato il tuo ragionamento?
"Orion7":
Non mi interessa il numero, anche perché la soluzione ce l'ha data il professore e non sembra essere quella...
Qual è stato il tuo ragionamento?
"ragionamento" è un po' grandiloquente, ma...
"L'urna A contiene 5 palline bianche e 3 palline nere si estraggono 3 palline da essa senza rimessa e le si depositano dentro l'urna B, dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa."
OK
"Supponiamo di aver estratto 2 bianche e 1 nera dall'urna A."
Supponiamolo!
"Qual è la probabilità che dall'urna B si estraggano 2 palline bianche?"
Non ci importa più cosa c'era nell'urna A. Nell'urna B ci sono 2 bianche e una nera.
Qual è la probabilità di estrarre due bianche con rimessa? $(2/3)^2$. Fatto.
Vuoi più dettagli? La probabilità che la prima palla sia bianca è $2/3$. La rimettiamo in B. La probabilità che la seconda sia bianca è $2/3$. Immaginiamo che siano eventi indipendenti. Quindi la probabilità di due bianche è $2/3*2/3=(2/3)^2$.
Perdonami ma se non c'è rimessa come fanno ad essere eventi indipendenti?
"Orion7":
Perdonami ma se non c'è rimessa come fanno ad essere eventi indipendenti?
Ma tu hai detto "dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa."
Hai ragione, avevo perso il filo ahah
Però resta il fatto che il risultato dato dal professore è diverso e non riesco a capirlo...
Cioè è proprio la formula P(B|A) = P(B∩A)/P(A) che non riesco ad applicare, non la capisco
Però resta il fatto che il risultato dato dal professore è diverso e non riesco a capirlo...
Cioè è proprio la formula P(B|A) = P(B∩A)/P(A) che non riesco ad applicare, non la capisco
"Orion7":
Hai ragione, avevo perso il filo ahah
Però resta il fatto che il risultato dato dal professore è diverso e non riesco a capirlo...
Cioè è proprio la formula P(B|A) = P(B∩A)/P(A) che non riesco ad applicare, non la capisco
E come proponi di calcolare $P(B\cap A)$? Quella formula non ti serve qui. È vera, ma non è un modo pratico per calcolare $P(B|A)$ in questo caso in quanto è banale farlo direttamente.
Quindi secondo te il problema si riduce a:
Un'urna con 2 palline bianche e 1 nera, calcola la probabilità di estrarre con rimessa 2 bianche.
L'ho pensato anch'io all'inizio, ma era troppo banale per essere esercizio d'esame, infatti poi leggendo la soluzione del professore non ci ho capito niente.
Qualcuno ha altre idee?
Un'urna con 2 palline bianche e 1 nera, calcola la probabilità di estrarre con rimessa 2 bianche.
L'ho pensato anch'io all'inizio, ma era troppo banale per essere esercizio d'esame, infatti poi leggendo la soluzione del professore non ci ho capito niente.
Qualcuno ha altre idee?
"Orion7":
Quindi secondo te il problema si riduce a:
Un'urna con 2 palline bianche e 1 nera, calcola la probabilità di estrarre con rimessa 2 bianche.
Sì.
Puoi riportare tutta la domanda e tutta la soluzione? Da quello che dici la soluzione non sembra avere senso.
Mi pare ci sia un'incomprensione, penso che il docente volesse sapere la probabilità di tutta la catena di eventi ovvero l'estrazione di due bianche e una nera da A ($5/28$) e l'estrazione di due bianche da B ($4/9$) per cui $5/63$.
IMHO
Cordialmente, Alex
IMHO
Cordialmente, Alex
La soluzione data dal professore è quella che ho scritto inizialmente, il resto è solo un insieme di calcoli che arriva a 112/135.
Io credo che la traccia sia scritta in modo un po' ambiguo...cioè "Supponiamo che succeda A" per me significa che A è successo. Tutto ciò che stava prima non mi interessa più.
Da quanto ho capito per te è lo stesso, però modifichiamo la traccia con questa:
[highlight]L'urna A contiene 5 palline bianche e 3 palline nere si estraggono 3 palline da essa senza rimessa e le si depositano dentro l'urna B, dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa.
Qual è la probabilità che si estraggano 2 bianche e 1 nera dall'urna A (senza rimessa) e successivamente 2 palline bianche dall'urna B (con rimessa)?[/highlight]
Cioè dobbiamo trovare la probabilità che accada A e subito dopo B, con un'unica probabilità, che dovrebbe essere condizionata.
Come potremmo risolvere questo?
Io credo che la traccia sia scritta in modo un po' ambiguo...cioè "Supponiamo che succeda A" per me significa che A è successo. Tutto ciò che stava prima non mi interessa più.
Da quanto ho capito per te è lo stesso, però modifichiamo la traccia con questa:
[highlight]L'urna A contiene 5 palline bianche e 3 palline nere si estraggono 3 palline da essa senza rimessa e le si depositano dentro l'urna B, dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa.
Qual è la probabilità che si estraggano 2 bianche e 1 nera dall'urna A (senza rimessa) e successivamente 2 palline bianche dall'urna B (con rimessa)?[/highlight]
Cioè dobbiamo trovare la probabilità che accada A e subito dopo B, con un'unica probabilità, che dovrebbe essere condizionata.
Come potremmo risolvere questo?
"Orion7":
La soluzione data dal professore è quella che ho scritto inizialmente, ...
Che è incomprensibile...
"Orion7":
Da quanto ho capito per te è lo stesso ...
Non esattamente, comunque ...
"Orion7":
[highlight]L'urna A contiene 5 palline bianche e 3 palline nere si estraggono 3 palline da essa senza rimessa e le si depositano dentro l'urna B, dall'urna B infine si estraggono 2 palline con rimessa.
Qual è la probabilità che si estraggano 2 bianche e 1 nera dall'urna A (senza rimessa) e successivamente 2 palline bianche dall'urna B (con rimessa)?[/highlight]
Come potremmo risolvere questo?
Come ho scritto.
Cordialmente, Alex
Perdonami Alex mi ero perso la tua risposta nella pagina 2.
Comunque si, è la stessa identica soluzione che avevo trovato io!
Considerarli eventi indipendenti e quindi moltiplicarli per trovare la probabilità degli eventi consecutivi.
La soluzione del professore non si spiega...smetterò di dannarmi l'anima e la considererò sbagliata.
Grazie infinite
Comunque si, è la stessa identica soluzione che avevo trovato io!
Considerarli eventi indipendenti e quindi moltiplicarli per trovare la probabilità degli eventi consecutivi.
La soluzione del professore non si spiega...smetterò di dannarmi l'anima e la considererò sbagliata.
Grazie infinite
"Orion7":
Perdonami Alex mi ero perso la tua risposta nella pagina 2.
Comunque si, è la stessa identica soluzione che avevo trovato io!
Considerarli eventi indipendenti e quindi moltiplicarli per trovare la probabilità degli eventi consecutivi.
La soluzione del professore non si spiega...smetterò di dannarmi l'anima e la considererò sbagliata.
Grazie infinite
Magari il professore vuole $P(A|B)$.
"Orion7":
La soluzione data dal professore è quella che ho scritto inizialmente, il resto è solo un insieme di calcoli che arriva a 112/135.
Un valore molto alto. Maggiore di $4/9$, per esempio.
Perdonami ma riflettevo...
Per la prima estrazione, quella dall'urna A che contiene 5B e 3N, farlo con le combinazioni come fa il professore e farlo con \(\displaystyle \frac{casifavorevoli}{casi possibili} \) non dovrebbe venire uguale?
1) \(\displaystyle P(A)=\frac{C_{5,2}*C_{3,1}}{C_{8,5}}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28} \)
invece
2) \(\displaystyle P(A)= \frac58*\frac47*\frac12=\frac{5}{28} \)
EDIT: ho capito dopo che con la 2 calcolo la probabilità di una sola delle 3 opzioni BBN, BNB, NBB, quindi se le sommo tutte e 3 ottengo comunque 15/28.
Per la prima estrazione, quella dall'urna A che contiene 5B e 3N, farlo con le combinazioni come fa il professore e farlo con \(\displaystyle \frac{casifavorevoli}{casi possibili} \) non dovrebbe venire uguale?
1) \(\displaystyle P(A)=\frac{C_{5,2}*C_{3,1}}{C_{8,5}}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28} \)
invece
2) \(\displaystyle P(A)= \frac58*\frac47*\frac12=\frac{5}{28} \)
EDIT: ho capito dopo che con la 2 calcolo la probabilità di una sola delle 3 opzioni BBN, BNB, NBB, quindi se le sommo tutte e 3 ottengo comunque 15/28.
Non può venire maggiore di $4/9$ quindi il professore si è sbagliato o cercava qualcosa di diverso ...
"Orion7":
La soluzione data dal professore è quella che ho scritto inizialmente, il resto è solo un insieme di calcoli che arriva a 112/135.
Ma quali calcoli? Perché non ce lo vuoi dire?
"ghira":
[quote="Orion7"]La soluzione data dal professore è quella che ho scritto inizialmente, il resto è solo un insieme di calcoli che arriva a 112/135.
Ma quali calcoli? Perché non ce lo vuoi dire?[/quote]
Ho già scritto tutti i numeri all'inizio nel post, basta sviluppare i calcoli dei fattoriali e arrivi a 112/135.
"axpgn":
l'estrazione di due bianche e una nera da A ($5/28$)
$15/28$, no?
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