Estrazione senza reimbussolamento
Un sacco contiene 7 gettoni: 4 rossi numerati da 1 a 4, 3 azzurri numerati da 5 a 7. Si estraggono a caso due gettoni.
Qual è la probabilità che la somma dei due gettoni sia dispari?
La somma dei due gettoni è dispari nei casi:
a) 1,2 - 1,4 - 2,1 - 2,3 - 3,2 - 3,4 - 4,1 - 4,3 con probabilità singola coppia pari a 2/7
b) 1,6 - 2,5 - 2,7 - 3,6 - 4,5 - 4,7 - 5,2 - 5,4 - 6,1 - 6,3 con probabilità singola coppia pari a 2/7
c) 5,6 - 6,5 - 6,7 - 7,6 con probabilità singola coppia pari a 1/7
gli eventi favorevoli totali sono 22 ma con probabilità diverse
gli eventi possibili dovrebbero essere 42, cioè la disposizione di 7 oggetti presi a 2 a 2
supponendo quanto scritto sia esatto, non so come continuare
Qual è la probabilità che la somma dei due gettoni sia dispari?
La somma dei due gettoni è dispari nei casi:
a) 1,2 - 1,4 - 2,1 - 2,3 - 3,2 - 3,4 - 4,1 - 4,3 con probabilità singola coppia pari a 2/7
b) 1,6 - 2,5 - 2,7 - 3,6 - 4,5 - 4,7 - 5,2 - 5,4 - 6,1 - 6,3 con probabilità singola coppia pari a 2/7
c) 5,6 - 6,5 - 6,7 - 7,6 con probabilità singola coppia pari a 1/7
gli eventi favorevoli totali sono 22 ma con probabilità diverse
gli eventi possibili dovrebbero essere 42, cioè la disposizione di 7 oggetti presi a 2 a 2
supponendo quanto scritto sia esatto, non so come continuare
Risposte
Ciao.
Io calcolerei la probabilità dell'evento complementare.
La somma è pari nei casi: (1,3), (1,5), (1,7), (2,4), (2,6), (3,5), (3,7), (4,6), in tutto 8 casi equiprobabili. Il numero di casi possibili è appunto $(7!)/(5!)=42$, quindi la probabilità che sia pari è $8/42$; la probabilità che sia dispari è allora $34/42=17/21$. Salvo ovviamente errori miei.
Ma non ho capito cosa c'entra il non reimbussolamento ed il diverso colore dei gettoni.
Io calcolerei la probabilità dell'evento complementare.
La somma è pari nei casi: (1,3), (1,5), (1,7), (2,4), (2,6), (3,5), (3,7), (4,6), in tutto 8 casi equiprobabili. Il numero di casi possibili è appunto $(7!)/(5!)=42$, quindi la probabilità che sia pari è $8/42$; la probabilità che sia dispari è allora $34/42=17/21$. Salvo ovviamente errori miei.
Ma non ho capito cosa c'entra il non reimbussolamento ed il diverso colore dei gettoni.
Ciao.
Avete dimenticato delle combinazioni.
Chess 71 non ha considerato le coppie 7-2 e 7-4. Per cui le possibilita' non sono 22 ma 24.
Palliit non ha considerato la coppia 5-7. Per cui le combinazioni sono 9 e non 8. Che raddoppiate fanno 18.
24 + 18 = 42
Saluti.
Luciano.
Avete dimenticato delle combinazioni.
Chess 71 non ha considerato le coppie 7-2 e 7-4. Per cui le possibilita' non sono 22 ma 24.
Palliit non ha considerato la coppia 5-7. Per cui le combinazioni sono 9 e non 8. Che raddoppiate fanno 18.
24 + 18 = 42
Saluti.
Luciano.
bene, grazie
consideriamo allora le coppie pari :
(1,3), (1,5), (1,7), (2,4), (2,6), (3,5), (3,7), (4,6), (5-7) piu' le stesse invertite, per un totale di 18 coppie
quello che non capisco è che alcuni eventi non sono equiprobabili, es la coppia 5-7 rispetto quella 1-3
come calcolare allora la probabilità?
consideriamo allora le coppie pari :
(1,3), (1,5), (1,7), (2,4), (2,6), (3,5), (3,7), (4,6), (5-7) piu' le stesse invertite, per un totale di 18 coppie
quello che non capisco è che alcuni eventi non sono equiprobabili, es la coppia 5-7 rispetto quella 1-3
come calcolare allora la probabilità?
Ciao.
Perchè dici che alcuni eventi non sono equiprobabili?
Le possibiltà sono 42, tutte con la stessa probabilità.
Perchè dici che alcuni eventi non sono equiprobabili?
Le possibiltà sono 42, tutte con la stessa probabilità.
si, stavo appunto correggendomi
scusate
scusate
@superpippone: hai assolutamente ragione, grazie. Ciao
"Pallit":
Ma non ho capito cosa c'entra il non reimbussolamento ed il diverso colore dei gettoni.
In questo caso, il non reimbussalamento vuol dire estrattare le palline sequenzialemente invece che contemporaneamente.
Il colore non ha significato nel calcolo della probabilità di questo evento.
Propongo un'alternativa, si può anche formalizzare secondo uno schema di unione digunta di eventi e prob condizionate.
Il modello è l'estrazione senza reinserimento, la prob da trovare è la combinazione dispari-dispari, dispari-pari, pari-dispari. Il numero di numeri pari lo si trova tramite la funzione floor, ugale per i dispari aumentato di uno.
$P_1={$il primo gettone estratto è pari$}$
$D_1={$il primo gettone estratto è dispari$}$
$P_2={$il secondo gettone estratto è pari$}$
$D_2={$il secondo gettone estratto è disapari$}$
$DD={$somma dispari$}$
$\mathbb{P}(P_1) = {\lfloor 7/2 \rfloor} / 7$
$\mathbb{P}(D_1) = {\lfloor 7/2 \rfloor + 1} / 7$
si riduce a calcolare le probabilità condizionate:
$\mathbb{P}(D_2|P_1) = {\lfloor 7/2 \rfloor + 1} / (7-1)$
$\mathbb{P}(D_2|D_1) = {\lfloor 7/2 \rfloor + 1 - 1} / (7-1) = {\lfloor 7/2 \rfloor}/ (7-1) = \mathbb{P}(P_2|D_1)$
Perciò:
$\mathbb{P}(DD)=\mathbb{P}(P_1)*\mathbb{P}(D_2|P_1) + \mathbb{P}(D_1)*\mathbb{P}(D_2|D_1) + \mathbb{P}(D_1)*\mathbb{P}(P_2|D_1) = 6/7 \approx 0.857$
Oppure un'altra alternativa è utilizzare il complementare come è già stato suggerito:
$DD^C={$somma pari$}$
$\mathbb{P}(P_2|P_1) = {\lfloor 7/2 \rfloor - 1}/ (7-1)$
$\mathbb{P}(DD) = 1 - \mathbb{P}(DD^C) = 1 - (\mathbb{P}(P_1)*\mathbb{P}(P_2|P_1))$
che conferma i vostri calcoli utilizzando però un altro modello.
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