Estrazione palline numerate, differenza numeri

[MrMojoRisin891]

Buongiorno, vorrei un parere sullo svolgimento di questo esercizio:
"Due palline vengono estratte da un'urna che ne contiene $n$ numerate da $1$ a $n$.
Qual è la probabilità che i due numeri differiscano di $k$ ($n>=k+1$)?"

Mi sono costruito l'insieme delle coppie che è possibile estrarre:
$((n),(2))=(n(n-1))/2$

E, con un ragionamento un po' "empirico" ho notato che, fissato $k$, ed estraendo una coppia di palline dall'insieme di tutte le coppie, la probabilità che esca proprio il mio $k$ è $((n-k)2)/(n(n-1))$, perché più le palline sono "lontane", meno probabilità ho di far uscire il mio $k$.

Provo a spiegarmi meglio:
se $n=10$ e
se voglio che $k$ sia 9, ho solo una probabilità (estrarre 1 e 10);
se $k=8$ ne ho due (estrarre 2 e 10 o 1 e 9);
ecc...

Si vede quindi che i casi favorevoli sono $n-k$

Non so se la soluzione è corretta, nel qual caso, c'è una via più "rigorosa" per raggiungerla?
Grazie

[Lo_zio_Tom]

soluzione ineccepibile. Devi solo specificare che l'estrazione è fatta senza reimmissione.

Quando farai le funzioni di variabili casuali vedrai procedure alternative di calcolo...ma questa rimane sicuramente la più snella

[MrMojoRisin891]

grazie tommik!