Estrazione doppia senza reinserimento
Salve,
Ho un problema che è il seguente:
Ho un'urna che contiene 9 palline. 4 sono bianche, 3 sono nere e 2 sono verdi. Vengono estratte due palline, senza tenere conto dell'ordine un cui sono estratte. Si vuole calcolare la probabilità degli eventi:
1. È estratta almeno una pallina bianca.
2. È estratta almeno una pallina nera.
3. È estratta almeno una pallina verde.
Ho avuto un'idea, ma non credo sia giusta. Non abbiamo ancora visto a lezione combinazioni e permutazioni.
Grazie mille per le risposte.
Ho un problema che è il seguente:
Ho un'urna che contiene 9 palline. 4 sono bianche, 3 sono nere e 2 sono verdi. Vengono estratte due palline, senza tenere conto dell'ordine un cui sono estratte. Si vuole calcolare la probabilità degli eventi:
1. È estratta almeno una pallina bianca.
2. È estratta almeno una pallina nera.
3. È estratta almeno una pallina verde.
Ho avuto un'idea, ma non credo sia giusta. Non abbiamo ancora visto a lezione combinazioni e permutazioni.
Grazie mille per le risposte.
Risposte
"fbafkis":
Ho avuto un'idea, ma non credo sia giusta..
se ci rendi partecipi della tua idea magari ne discutiamo insieme.....
Ps: per inserire le formule basta racchiuderle fra i simboli del dollaro, ad esempio
$((n),(k))$
In pratica io ho isolato come eventi elementari:
{(B,N), (B,V), (B,B), (V,V), (V,N), (N,N)}
La probabilità di ognuno di essi l'ho calcolata moltiplicando la probabilità "casi favorevoli su possibili" della singola estrazione di ogni pallina. Quindi ad esempio Pr(N,N) = 0,33*0,33=0,1. E così via. Ottenute le probabilità di tutti gli eventi elementari poi ho sommato le probabilità di quelli che componevano l'evento 1, 2 e 3.
Quindi l'evento 1 che è composto dall'unione degli eventi (B,B), (B, N) e (B,V) quindi avrà come probabilità la somma delle probabilità di questi 3 eventi, essendo incompatibili fra loro. Quindi Pr(1)= 0,34 , Pr(2)=0,31 e Pr(3)=0,13.
Non penso sia giusto però per via di due fatti: il primo è che non mi pare tenga conto del non reinserimento e il secondo è che la somma delle probabilità degli eventi elementari non dà 1 come dovrebbe.
{(B,N), (B,V), (B,B), (V,V), (V,N), (N,N)}
La probabilità di ognuno di essi l'ho calcolata moltiplicando la probabilità "casi favorevoli su possibili" della singola estrazione di ogni pallina. Quindi ad esempio Pr(N,N) = 0,33*0,33=0,1. E così via. Ottenute le probabilità di tutti gli eventi elementari poi ho sommato le probabilità di quelli che componevano l'evento 1, 2 e 3.
Quindi l'evento 1 che è composto dall'unione degli eventi (B,B), (B, N) e (B,V) quindi avrà come probabilità la somma delle probabilità di questi 3 eventi, essendo incompatibili fra loro. Quindi Pr(1)= 0,34 , Pr(2)=0,31 e Pr(3)=0,13.
Non penso sia giusto però per via di due fatti: il primo è che non mi pare tenga conto del non reinserimento e il secondo è che la somma delle probabilità degli eventi elementari non dà 1 come dovrebbe.
ora lo vediamo...però innanzitutto ti chiederei di imparare ad inserire le formule in modo corretto; è molto semplice, basta racchiuderle fra i simboli del dollaro.
Ad esempio
1/3 viene fuori $1/3$
meglio no?
Dunque, dici di voler calcolare la probabilità senza reimmissione; ne prendo atto anche se nel testo non si dice ciò.
Estraendo due palline dall'urna, lo spazio campionario è il seguente..e come vedi la probabiltà totale viene proprio uno.
Avendo fatto i conti col foglio elettronico ho messo $0.1667$ invece di $4/9*3/8$ ecc ecc
Quindi per rispondere ai quesiti proposti puoi tranquillamente calcolare la probabilità di ogni evento elementare e sommare le probabilità di tutti gli eventi elementari che compongono il tuo evento richiesto....
Ovviamente questo in linea di principio per capire il funzionamento del problema; una volta capito come fare ci sono tecniche più evolute per risparmiare tempo
Ad esempio
1/3 viene fuori $1/3$
meglio no?
Dunque, dici di voler calcolare la probabilità senza reimmissione; ne prendo atto anche se nel testo non si dice ciò.
Estraendo due palline dall'urna, lo spazio campionario è il seguente..e come vedi la probabiltà totale viene proprio uno.
Avendo fatto i conti col foglio elettronico ho messo $0.1667$ invece di $4/9*3/8$ ecc ecc
Quindi per rispondere ai quesiti proposti puoi tranquillamente calcolare la probabilità di ogni evento elementare e sommare le probabilità di tutti gli eventi elementari che compongono il tuo evento richiesto....
Ovviamente questo in linea di principio per capire il funzionamento del problema; una volta capito come fare ci sono tecniche più evolute per risparmiare tempo
Certo, scusa è che avevo letto in fretta la risposta. Nei prossimi post provvederò a farlo. Ti ringrazio in anticipo per il tempo che mi dedichi, gentilissimo!
ora hai anche tutto lo spazio campionario correttamente valorizzato in termini di probabilità....per risolvere basta sommare tutti gli eventi elementari di interesse...anche se come ti dicevo questo solo per capire il funzionamento del sistema....per risolvere esercizi così vedrai formule molto più sintetiche....
Ad esempio così:
Probabilità di estrarre almeno una bianca: $1-(((5),(2)))/(((9),(2)))=52/72$
che coincide con la somma delle probabilità degli eventi elementari $1-2-3-4-7$
ciao ciao
Ad esempio così:
Probabilità di estrarre almeno una bianca: $1-(((5),(2)))/(((9),(2)))=52/72$
che coincide con la somma delle probabilità degli eventi elementari $1-2-3-4-7$
ciao ciao
Grazie infinite!
Ma quindi, visto che nel mio caso non si considera l'ordine in cui vengono estratte, bisogna sommare le probabilità degli eventi, ad esempio, BN e NB ? Perchè dovrebbero essere "fusi" in un unico evento, giusto?
Ma quindi, visto che nel mio caso non si considera l'ordine in cui vengono estratte, bisogna sommare le probabilità degli eventi, ad esempio, BN e NB ? Perchè dovrebbero essere "fusi" in un unico evento, giusto?
Scusa, ho aggiunto un pezzo alla domanda...
visto che hai aggiunto un pezzo di domanda ho cancellato il messaggio e ri-rispondo qui
Se l'estrazione, come dici, è senza reimmissione e voglio calcolare la probabilità, ad esempio, di avere
NN avrò $4/9$ per la prima estrazione di una nera poi avrò $3/8$ per l'estrazione della seconda nera; infatti, avendo estratto una pallina nera di nere me ne sono rimaste soltanto 3 su un totale di 8 palline....
Quindi $P(N N)=4/9*3/8=12/72~~0.167$
Chiaro?
Se l'estrazione, come dici, è senza reimmissione e voglio calcolare la probabilità, ad esempio, di avere
NN avrò $4/9$ per la prima estrazione di una nera poi avrò $3/8$ per l'estrazione della seconda nera; infatti, avendo estratto una pallina nera di nere me ne sono rimaste soltanto 3 su un totale di 8 palline....
Quindi $P(N N)=4/9*3/8=12/72~~0.167$
Chiaro?
Sì, scusa, chiarissimo, sono fuso... avevo sbagliato i calcoli! Grazie ancora! 
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