Estrazione con reintroduzione
Salve,vorrei il vostro aiuto per la risoluzione di questo esercizio,che credo sia abbastanza semplice ma non capisco come impostare:
In un urna vengono inserite due palline, ciascuna delle quali può essere rossa o blu con la stessa probabilità. Si estrae a caso una pallina che viene reinserita, quindi si estrae di nuovo a caso una pallina: se entrambe le estratte sono risultate rosse, con che probabilità: a)entrambe le palline nell'urna erano rosse? b) estraendo nuovamente una delle palline si trova una rossa?
Vi ringrazio anticipatamente x l'aiuto!!
In un urna vengono inserite due palline, ciascuna delle quali può essere rossa o blu con la stessa probabilità. Si estrae a caso una pallina che viene reinserita, quindi si estrae di nuovo a caso una pallina: se entrambe le estratte sono risultate rosse, con che probabilità: a)entrambe le palline nell'urna erano rosse? b) estraendo nuovamente una delle palline si trova una rossa?
Vi ringrazio anticipatamente x l'aiuto!!
Risposte
Allora hai quattro urne possibili:
$U1="RR", U2="RB", U3="BR", U4="BB"$
che hanno tutte la stessa probabilità di essere formate:
$P(U_j)=0.25$ $j=1,2,3,4$
A questo punto, cominciamo dalla prima domanda:
credo che si debba usare la Formula di Bayes:
$P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{sum_(j=1)^(n)P(A|B_j)P(B_j)}$
Dove $B_j$ è una collezione di eventi a due a due incompatibili la cui unione è il tuo spazio degli eventi.
Nel tuo esercizio:
$A="{entrambe le estrazioni con reinserimento sono state rosse}"$
$B_k="{era stata formata l'urna U1}"$
$B_j="{gli eventi relativi alle urne formate}"$
Provo a calcolare:
$P(A|B_k)=1$
$P(B_k)=0.25$
$sum_(j=1)^(n)P(A|B_j)P(B_j)=0.25(1+0.25+0.25+0)=0.375$
.
Ora andiamo a sostituire nella formula di Bayes:
$P(B_k|A)=\frac{1*0.25}{0.375}=0.667$
Per la seconda domanda bisogna utilizzare la probabilità condizionata e la distribuzione binomiale
$U1="RR", U2="RB", U3="BR", U4="BB"$
che hanno tutte la stessa probabilità di essere formate:
$P(U_j)=0.25$ $j=1,2,3,4$
A questo punto, cominciamo dalla prima domanda:
credo che si debba usare la Formula di Bayes:
$P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{sum_(j=1)^(n)P(A|B_j)P(B_j)}$
Dove $B_j$ è una collezione di eventi a due a due incompatibili la cui unione è il tuo spazio degli eventi.
Nel tuo esercizio:
$A="{entrambe le estrazioni con reinserimento sono state rosse}"$
$B_k="{era stata formata l'urna U1}"$
$B_j="{gli eventi relativi alle urne formate}"$
Provo a calcolare:
$P(A|B_k)=1$
$P(B_k)=0.25$
$sum_(j=1)^(n)P(A|B_j)P(B_j)=0.25(1+0.25+0.25+0)=0.375$
.
Ora andiamo a sostituire nella formula di Bayes:
$P(B_k|A)=\frac{1*0.25}{0.375}=0.667$
Per la seconda domanda bisogna utilizzare la probabilità condizionata e la distribuzione binomiale
Tanto per capirci, inicherò con la lettera minuscola il colore delle palline che vengono estratte, mentre con la lettera maiuscola il colore delle palline che sono all'interno della scatola.
La prima probabilità da calcolare è:
$P[R R|rr]=(P[rr|R R]*P[R R])/(P[rr])=(P[rr|R R]*P[R R])/(P(rr|R R)*P(R R)+P(rr|BB)*P(BB)+P(rr|BR)*P(BR)+P(rr|RB)*P(RB))=(1/4)/(1/4+0+1/8)=2/3$
La seconda si può scrivere come segue:
$P(r|rr)=(P(rrr))/(P(rr))=(P(rrr|R R)*P(R R)+P(rrr|BB)*P(BB)+2*P(rrr|BR)*P(BR))/(P(rr))=(1/4+0+1/16)/(3/8)=5/6$
La prima probabilità da calcolare è:
$P[R R|rr]=(P[rr|R R]*P[R R])/(P[rr])=(P[rr|R R]*P[R R])/(P(rr|R R)*P(R R)+P(rr|BB)*P(BB)+P(rr|BR)*P(BR)+P(rr|RB)*P(RB))=(1/4)/(1/4+0+1/8)=2/3$
La seconda si può scrivere come segue:
$P(r|rr)=(P(rrr))/(P(rr))=(P(rrr|R R)*P(R R)+P(rrr|BB)*P(BB)+2*P(rrr|BR)*P(BR))/(P(rr))=(1/4+0+1/16)/(3/8)=5/6$
Giusto, avevo sbagliato a calcolare le probabilità che tu hai chiamato $P[rr|BR]$ e $P[rr|RB]$ che valgono $1/4$ ciascuna.
grazie mille ragazzi! siete stati fondamentali....vi disturberò altre volte ovviamente!! 
Scusate ragazzi ma a me non torna molto.
Nel testo si dice:
"...In un urna vengono inserite due palline, ciascuna delle quali può essere rossa o blu con la stessa probabilità..."
e questo è una dato del problema dal quale si deve partire giusto?
Da cui eseguendo le estrazioni con reinserimento è un risultato noto il fatto che le estrazioni sono indipendenti
quindi $P(B)=P(R)=0,5$ e
$ P(B| R R)= P(R| R R)=0,5$ o più in generale
$ P(B|...)= P(R|...)=0,5$
esplicitando la soluzione del problema b si capisce bene se ci si riconduce ai seguenti possibili esiti:
$ BBB,BBR;BRB,BR R,RBB,RBR,R RB,R R R $ se condizioniamo sul fatto che $R R$ si è già verificato restano i due casi
$R RB,R R R$ che sono equiprobabili e confermano quanto detto prima.
Se volete usare Bayes: $P(R R R|R R)=(P(R R R)nnP(R R))/(P(R R))=(1/8)/(1/4)=1/2$
per il problema a: "con quale probabilità entrambe le palline dell'urna erano rosse?"
ho qualche perplessità
considerando l'affermazione iniziale del problema siccome possono essere inserite rosse o blu con uguale prob.
direi che tale probabilità era $1/4$.
Ragionando in ottica diversa
e interpretando il tutto come: so che l'urna contiene 2 palline ma non so nulla sulla possibile composizione, ed effettuando
una doppia estrazione con reinserimento ottengo $R R$, bé allora si dimostra che lo stimatore di
massima verosimiglianza di $P(R)=1$ quindi la cosa più plausibile era che le palline fossero entrambe rosse.
Siete d'accordo?
Nel testo si dice:
"...In un urna vengono inserite due palline, ciascuna delle quali può essere rossa o blu con la stessa probabilità..."
e questo è una dato del problema dal quale si deve partire giusto?
Da cui eseguendo le estrazioni con reinserimento è un risultato noto il fatto che le estrazioni sono indipendenti
quindi $P(B)=P(R)=0,5$ e
$ P(B| R R)= P(R| R R)=0,5$ o più in generale
$ P(B|...)= P(R|...)=0,5$
esplicitando la soluzione del problema b si capisce bene se ci si riconduce ai seguenti possibili esiti:
$ BBB,BBR;BRB,BR R,RBB,RBR,R RB,R R R $ se condizioniamo sul fatto che $R R$ si è già verificato restano i due casi
$R RB,R R R$ che sono equiprobabili e confermano quanto detto prima.
Se volete usare Bayes: $P(R R R|R R)=(P(R R R)nnP(R R))/(P(R R))=(1/8)/(1/4)=1/2$
per il problema a: "con quale probabilità entrambe le palline dell'urna erano rosse?"
ho qualche perplessità
considerando l'affermazione iniziale del problema siccome possono essere inserite rosse o blu con uguale prob.
direi che tale probabilità era $1/4$.
Ragionando in ottica diversa
e interpretando il tutto come: so che l'urna contiene 2 palline ma non so nulla sulla possibile composizione, ed effettuando
una doppia estrazione con reinserimento ottengo $R R$, bé allora si dimostra che lo stimatore di
massima verosimiglianza di $P(R)=1$ quindi la cosa più plausibile era che le palline fossero entrambe rosse.
Siete d'accordo?
Scusa, ma non essendo molto ferrata in statistica, non ho capito molto bene quello che hai scritto.
Sono riuscita a ragionare sulle soluzioni precedenti e le ho capite e quello che posso dirti è che sono esatte anche perchè corrispondono a quelle del libro da cui ho preso l'esercizio.
Sono riuscita a ragionare sulle soluzioni precedenti e le ho capite e quello che posso dirti è che sono esatte anche perchè corrispondono a quelle del libro da cui ho preso l'esercizio.
Effettivamente il mio esempio non è del tutto calzante perché risolvo il punto b ipotizzando che
nell'urna ci siano una pallina rossa ed una blu ma in realtà non è detto, non conosciamo
la composizione. O fatto confusione.
Per il punto "a" ho nuovamente frainteso perché $1/4$ è una considerazione a priori mentre viene
chiesta una a posteriori (alla luce della doppia estrazione). Per quanto riguarda la stima ML di $P(R)$
ho sfruttato l'informazione ma la domanda era diversa.
Scusate.
nell'urna ci siano una pallina rossa ed una blu ma in realtà non è detto, non conosciamo
la composizione. O fatto confusione.
Per il punto "a" ho nuovamente frainteso perché $1/4$ è una considerazione a priori mentre viene
chiesta una a posteriori (alla luce della doppia estrazione). Per quanto riguarda la stima ML di $P(R)$
ho sfruttato l'informazione ma la domanda era diversa.
Scusate.
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