Estrazione biglia con reimmissione e lancio moneta
Salve a tutti! 
Ho difficoltà a svolgere questo esercizio.. So che devo applicare il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes ma non so come procedere.
Ci sono quattro urne $ A1 $ , $ B1 $, $ A2$ , $ B2 $.
L'urna $ A1 $ contiene $ 4 $ biglie nere e $ 2 $ biglie bianche.
L'urna $ B1 $ contiene $ 1 $ biglia nera, $ 2 $ biglie bianche e $ 1 $ biglia gialla.
L' urna $ A2$ contiene $ 2 $ biglie azzurre e $ 4 $ biglie rosse.
L'urna $ B2 $ contiene $ 6 $ biglie azzurre e $ 2 $ biglie rosse.
Si lancia una moneta regolare:
-se esce testa si estrae una biglia dall'urna $ A1 $
- se esce croce si estrae una biglia dall'urna $ B1$.
Estratta questa biglia la si osserva:
-se è bianca si etrae una biglia dall'urna $ A2 $,
-se è nera si estrae una biglia dall'urna $ B2 $
-se è gialla si unisce il contenuto delle urne $ A2 $ e $B2$ e si estrae una biglia da questa nuova urna.
$ a) $ Calcolare la probabilità che l'esito dell'esperimento sia una biglia azzurra.
$ b) $ Sapendo che è stata estratta una biglia nera calcolare la probabilità che nel lancio della moneta sia uscita testa.
Grazie a chi mi aiuta
Ho difficoltà a svolgere questo esercizio.. So che devo applicare il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes ma non so come procedere.
Ci sono quattro urne $ A1 $ , $ B1 $, $ A2$ , $ B2 $.
L'urna $ A1 $ contiene $ 4 $ biglie nere e $ 2 $ biglie bianche.
L'urna $ B1 $ contiene $ 1 $ biglia nera, $ 2 $ biglie bianche e $ 1 $ biglia gialla.
L' urna $ A2$ contiene $ 2 $ biglie azzurre e $ 4 $ biglie rosse.
L'urna $ B2 $ contiene $ 6 $ biglie azzurre e $ 2 $ biglie rosse.
Si lancia una moneta regolare:
-se esce testa si estrae una biglia dall'urna $ A1 $
- se esce croce si estrae una biglia dall'urna $ B1$.
Estratta questa biglia la si osserva:
-se è bianca si etrae una biglia dall'urna $ A2 $,
-se è nera si estrae una biglia dall'urna $ B2 $
-se è gialla si unisce il contenuto delle urne $ A2 $ e $B2$ e si estrae una biglia da questa nuova urna.
$ a) $ Calcolare la probabilità che l'esito dell'esperimento sia una biglia azzurra.
$ b) $ Sapendo che è stata estratta una biglia nera calcolare la probabilità che nel lancio della moneta sia uscita testa.
Grazie a chi mi aiuta
Risposte
come giustamente dici per la prima domanda si usa il teorema della probabilità totale, vediamo quali sono i vari casi:
$P(A|A_2)=1/3$
$P(A|B_2)=3/4$
$P(A|A_1UA_2)=4/7$
ora però dobbiamo vedere in quali casi pescheremo la seconda pallina dalle rispettive urne, cioè dobbiamo valutare quando la prima pallina è bianca, nera o gialla tenendo conto della moneta:
$P(B|T)=1/3$
$P(B|C)=1/2$
$P(N|T)=2/3$
$P(N|C)=1/4$
$P(G|T)=0$
$P(G|C)=1/4$
ed ovviamente $P(T)=P(C)=1/2$
mettendo assieme i pezzi dovrebbe uscire
$1/3*1/3*1/2+1/3*1/2*1/2+3/4*2/3*1/2+3/4*1/4*1/2+4/7*0*1/2+4/7*1/4*1/2$
$P(A|A_2)=1/3$
$P(A|B_2)=3/4$
$P(A|A_1UA_2)=4/7$
ora però dobbiamo vedere in quali casi pescheremo la seconda pallina dalle rispettive urne, cioè dobbiamo valutare quando la prima pallina è bianca, nera o gialla tenendo conto della moneta:
$P(B|T)=1/3$
$P(B|C)=1/2$
$P(N|T)=2/3$
$P(N|C)=1/4$
$P(G|T)=0$
$P(G|C)=1/4$
ed ovviamente $P(T)=P(C)=1/2$
mettendo assieme i pezzi dovrebbe uscire
$1/3*1/3*1/2+1/3*1/2*1/2+3/4*2/3*1/2+3/4*1/4*1/2+4/7*0*1/2+4/7*1/4*1/2$
Grazie per la risposta! Pensavo fosse più complicato l'esercizio..
Quindi nel caso in cui dovessi calcolare la probabilità che l'esito dell'esperimento sia una pallina rossa
procedo così:
$ P(R|A_2)= 2/3 $
$ P(R|B_2)= 1/4 $
$ P(R|A_1 U A_2)= 3/7 $
Lascio invariate queste probabilità
$P(B|T)=1/3$
$P(B|C)=1/2$
$P(N|T)=2/3$
$P(N|C)=1/4$
$P(G|T)=0$
$P(G|C)=1/4$
E di conseguenza
$ P(R)= 2/3⋅1/3⋅1/2+2/3⋅1/2⋅1/2+1/4⋅2/3⋅1/2+1/4⋅1/4⋅1/2+3/7⋅0⋅1/2+3/7⋅1/4⋅1/2 $
Giusto?
Quindi nel caso in cui dovessi calcolare la probabilità che l'esito dell'esperimento sia una pallina rossa
procedo così:
$ P(R|A_2)= 2/3 $
$ P(R|B_2)= 1/4 $
$ P(R|A_1 U A_2)= 3/7 $
Lascio invariate queste probabilità
$P(B|T)=1/3$
$P(B|C)=1/2$
$P(N|T)=2/3$
$P(N|C)=1/4$
$P(G|T)=0$
$P(G|C)=1/4$
E di conseguenza
$ P(R)= 2/3⋅1/3⋅1/2+2/3⋅1/2⋅1/2+1/4⋅2/3⋅1/2+1/4⋅1/4⋅1/2+3/7⋅0⋅1/2+3/7⋅1/4⋅1/2 $
Giusto?
si è giusto, mentre per l'altra domanda devi applicare il teorema di Bayes facendo sempre attenzione ai casi da considerare
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