Estrazione a turno di 5 palline nere e 1 bianca con rimessa
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto in un esercizio di calcolo delle probabilità con il seguente testo:
Un sacchetto contiene 5 palline nere e 1 bianca;
Andrea e Paolo estraggono a turno una pallina: inzia Andrea;
Il primo che pesca la pallina bianca, vince;
Le estrazioni sono con rimessa;
Calcolare la probabilità che Andrea vinca.
Ora l'esercizio aveva anche la soluzione: il problema è che non ho capito un passaggio matematico.
Soluzione:
Andrea vince con le sequenze: B, NNB, NNNNB, .... quindi la probabilità di vittoria è
$P(A) = 1/6 +(5/6)^2 * 1/6+(5/6)^4 * 1/6 + ... = 1/6*[1+(5/6)^2+(5/6)^4+...] = 1/6 * 1/(1 - (5/6)^2) = 6/11$
Ecco, non riesco a capire come la quantità nella parentesi quadra, possa diventare il secondo membro dell'ultima moltiplicazione.
C'è qualcosa che mi sfugge, forse la fretta e l'ansia fanno brutti scherzi
Grazie in anticipo!
mi sono imbattuto in un esercizio di calcolo delle probabilità con il seguente testo:
Un sacchetto contiene 5 palline nere e 1 bianca;
Andrea e Paolo estraggono a turno una pallina: inzia Andrea;
Il primo che pesca la pallina bianca, vince;
Le estrazioni sono con rimessa;
Calcolare la probabilità che Andrea vinca.
Ora l'esercizio aveva anche la soluzione: il problema è che non ho capito un passaggio matematico.
Soluzione:
Andrea vince con le sequenze: B, NNB, NNNNB, .... quindi la probabilità di vittoria è
$P(A) = 1/6 +(5/6)^2 * 1/6+(5/6)^4 * 1/6 + ... = 1/6*[1+(5/6)^2+(5/6)^4+...] = 1/6 * 1/(1 - (5/6)^2) = 6/11$
Ecco, non riesco a capire come la quantità nella parentesi quadra, possa diventare il secondo membro dell'ultima moltiplicazione.
C'è qualcosa che mi sfugge, forse la fretta e l'ansia fanno brutti scherzi
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao. Serie geometrica.
$\sum_{j=0}^{+\infty} q^j=frac {1}{1-q} $ se $|q|<1$
Nel tuo caso $q=(5/6)^2$
$\sum_{j=0}^{+\infty} q^j=frac {1}{1-q} $ se $|q|<1$
Nel tuo caso $q=(5/6)^2$
Senza nulla togliere alla soluzione del testo con la spiegazione di kobe, il problema si può risolvere immediatamente osservando che, se si dividono le estrazioni a coppie, in ciascuna coppia la probabilità di vittoria di Andrea è $ 1/6=6/36 $, mentre quella di Paolo è $ 5/6 cdot1/6=5/36 $. Se nessuno vince la situazione torna ad essere quella iniziale ed allora, nell'ipotesi che il gioco abbia prima o poi termine, le probabilità di vittoria dei due giocatori saranno proporzionali, rispettivamente a $ 6 $ e $ 5 $.
Ciao
Ciao
Grazie per la risposta!
@orsoulx: perdonami ma non sono riuscito ad afferrare bene la tua soluzione
@orsoulx: perdonami ma non sono riuscito ad afferrare bene la tua soluzione
"techno1st":
Grazie per la risposta!
@orsoulx: perdonami ma non sono riuscito ad afferrare bene la tua soluzione
E' una soluzione molto intelligente la sua, ma meno "scolastica" diciamo.
Al loro rispettivo primo tentativo:
Andrea ha prob $1/6=6/36$
Paolo ha prob $5/6*1/6=5/36$ (infatti deve sperare che andrea non la peschi prima di lui)
Ora mi fermo un attimo (perchè se entrambi perdono si ritorna nella identica situazione iniziale, quindi è come se fosse ancora il primo tentativo):
Su 36 casi:
6 volte vince Andrea
5 volte Paolo
25 volte nessuno dei due
Ma noi sappiamo che se non vince nessuno dei due si ripete tutto da capo, quindi è come se l'ultima possibilità fosse inesistente.
Ecco che rimangono 11 possibilità, 6 delle quali a favore di Andrea, 5 di Paolo.
Prob= $6/11$
CIAO
spero sia chiaro
Grazie!
Ora mi è più chiaro.
Peccato che con questa materia le cose mi tornano solo DOPO aver visto una soluzione
In generale mi risulta un po' ostica come materia... vabbè
Grazie di nuovo.
Ora mi è più chiaro.
Peccato che con questa materia le cose mi tornano solo DOPO aver visto una soluzione
In generale mi risulta un po' ostica come materia... vabbè
Grazie di nuovo.
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