Espressione legge ipergeometrica
Ciao a tutti,
il seguente esercizio mi sta creando problemi nell'ultimo punto, dove richiede di dimostrare la legge congiunta di una serie di v.a. discrete.
Risoluzione:
i) $X$ è una v.a. ipergeometrica, mentre $X_i$ è di Bernoulli di parametro $p=n/(r+n)$
ii) $\mathbb{E}[X_i]=p$, mentre per calcolare $\mathbb{E}[X]$ conviene porre $X_i(w)=1$ se l'estrazione i-esima da una pallina nera. A questo punto noto che $X=X_1+...+X_k$.
Per cui $\mathbb{E}[X]= \mathbb{E}[X_1+...+X_k]=kp=kn/(r+n)$
iii)
Pensavo di impostarlo così: la congiunta delle $X_i$ altro non è che la probabilità che tra le $k$ estratte ne trovi $m$ nere. Quindi $P(X_1+...+X_k=m)=$ \( \frac{\binom{n}{m} \binom{r}{k-m}}{ \binom{r+n}{k} } \) Solo che sviluppando i fattoriali viene un macello. Deve esserci un'altra strada.
Il punto è che le $X_i$ non sono indipendenti tra loro poiché ad ogni estrazione successiva la probabilità di pescare una nera cambia visto che suppongo non ci sia reimbussolamento.
Guardando la formula mi verrebbe da pensare anche alla legge dell probabilità composte ( per il denominatore), ma al numeratore faccio fatica a trovare la spiegazione (soprattutto a causa della sommatoria).
P.S.: Mi scuso per l'immagine, è che scrivere la formula in LaTex rende la scrittura poco leggbile.
Grazie per l'attenzione.
il seguente esercizio mi sta creando problemi nell'ultimo punto, dove richiede di dimostrare la legge congiunta di una serie di v.a. discrete.
Testo:
Si consideri una scatola contente $r$ palline rosse e $n$ palline nere. Supponiamo di estrarre dalla scatola $k$ palline, $k < r$ e $k < n$. Sia $X_i$ la v.a. che descrive l’evento "l’i-esima pallina è nera e sia $X$ la v.a. che descrive il numero di palline nere ottenute in $k$ estrazioni.
i) Trova la legge di $X$ e $X_i$
ii)Trova il valore atteso di $X$ e $X_i$
iii) Dimostra che le congiunta delle $X_i$ è
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Risoluzione:
i) $X$ è una v.a. ipergeometrica, mentre $X_i$ è di Bernoulli di parametro $p=n/(r+n)$
ii) $\mathbb{E}[X_i]=p$, mentre per calcolare $\mathbb{E}[X]$ conviene porre $X_i(w)=1$ se l'estrazione i-esima da una pallina nera. A questo punto noto che $X=X_1+...+X_k$.
Per cui $\mathbb{E}[X]= \mathbb{E}[X_1+...+X_k]=kp=kn/(r+n)$
iii)
Pensavo di impostarlo così: la congiunta delle $X_i$ altro non è che la probabilità che tra le $k$ estratte ne trovi $m$ nere. Quindi $P(X_1+...+X_k=m)=$ \( \frac{\binom{n}{m} \binom{r}{k-m}}{ \binom{r+n}{k} } \) Solo che sviluppando i fattoriali viene un macello. Deve esserci un'altra strada.
Il punto è che le $X_i$ non sono indipendenti tra loro poiché ad ogni estrazione successiva la probabilità di pescare una nera cambia visto che suppongo non ci sia reimbussolamento.
Guardando la formula mi verrebbe da pensare anche alla legge dell probabilità composte ( per il denominatore), ma al numeratore faccio fatica a trovare la spiegazione (soprattutto a causa della sommatoria).
P.S.: Mi scuso per l'immagine, è che scrivere la formula in LaTex rende la scrittura poco leggbile.
Grazie per l'attenzione.
Risposte
guarda che è una stupidaggine! è solo che la soluzione è scritta in modo complicato perché generalizzata (utilizza il numeratore della formula del coefficiente binomiale[nota]il coefficiente binomiale $((n),(k))$ lo DEVI calcolare così: $(n(n-1)...(n-k+1))/(k!)$ dove al numeratore ci sono esattamente $k$ termini[/nota]). Inoltre la soluzione mi sembra impostata per calcolare la congiunta delle $X_i$ palline rosse e non nere...ma forse è la stessa cosa
Te la metto diversamente, in modo meno formale ma giusto per farti capire la strada da seguire nella dimostrazione.
Diciamo che l'urna è composta da:
$R$ palle rosse di cui ne vengono estratte $r$ rosse
$N$ nere di cui ne vengono estratte n nere
$T$ totale di cui ne estraiamo $k=n+r$
ovviamente $k<=min(R,N)$
considera ora la ovvia distribuzione iperG
$(((R),(r))((N),(n)))/(((T),(k)))$
orbene, la soluzione del problema è data dai numeratori dei 3 coefficienti binomiali in quanto la successione delle palline è ordinata, cioè è importante anche l'ordine con cui compaiono: 100 è diverso da 010 o 001.
Tale soluzione coincide con la legge della probabilità composta, come hai anche intuito.
Prova con un esempio numerico e vedrai che sarà tutto chiaro.
Es: Urna con 10 palline 6 rosse e 4 nere ne estraiamo 3 senza rimessa (ipotesi necessaria per la soluzione che tra l'altro il testo non dice...). Per avere la prima rossa e le altre nere avrai
$6/10\cdot4/9\cdot3/8$
la soluzione non è altro che la formalizzazione di questo esempio:
il 6 al numeratore è $r(r-1)...(r-Sigmar o s s e+1)$ cioè un prodotto formato da $r-r+Sigmar o s s e-1+1=1$ termine
il $4\cdot3$ al numeratore è $n(n-1)...(n-Sigman e r e+1)$ cioè un prodotto formato da $n-n+Sigman e r e-1+1=2$ termini.
Il denominatore è semplicemente formato da $k$ termini a partire dal totale delle palle e scendendo.
"lui" per dire $Sigman e r e$ dice $k-Sigmar o s s e$ ma l'è istess
Te la metto diversamente, in modo meno formale ma giusto per farti capire la strada da seguire nella dimostrazione.
Diciamo che l'urna è composta da:
$R$ palle rosse di cui ne vengono estratte $r$ rosse
$N$ nere di cui ne vengono estratte n nere
$T$ totale di cui ne estraiamo $k=n+r$
ovviamente $k<=min(R,N)$
considera ora la ovvia distribuzione iperG
$(((R),(r))((N),(n)))/(((T),(k)))$
orbene, la soluzione del problema è data dai numeratori dei 3 coefficienti binomiali in quanto la successione delle palline è ordinata, cioè è importante anche l'ordine con cui compaiono: 100 è diverso da 010 o 001.
Tale soluzione coincide con la legge della probabilità composta, come hai anche intuito.
Prova con un esempio numerico e vedrai che sarà tutto chiaro.
Es: Urna con 10 palline 6 rosse e 4 nere ne estraiamo 3 senza rimessa (ipotesi necessaria per la soluzione che tra l'altro il testo non dice...). Per avere la prima rossa e le altre nere avrai
$6/10\cdot4/9\cdot3/8$
la soluzione non è altro che la formalizzazione di questo esempio:
il 6 al numeratore è $r(r-1)...(r-Sigmar o s s e+1)$ cioè un prodotto formato da $r-r+Sigmar o s s e-1+1=1$ termine
il $4\cdot3$ al numeratore è $n(n-1)...(n-Sigman e r e+1)$ cioè un prodotto formato da $n-n+Sigman e r e-1+1=2$ termini.
Il denominatore è semplicemente formato da $k$ termini a partire dal totale delle palle e scendendo.
"lui" per dire $Sigman e r e$ dice $k-Sigmar o s s e$ ma l'è istess
Ok, il ragionamento mi è chiaro e l'esempio numerico torna 
Ora per trovare la formula uso
Sto cercando la probabilità tra le $k$ estratte di averne $n$ nere: $ (((R),(k-n))((N),(n)))/(((R+N),(k))) $ .
Sviluppando i conti ottengo che l'espressione sopra è uguale a
E' vero che i tre numeratori mi forniscono la soluzione, ma ci sono anche i denomiantori, che vedo dare luogo a \( \binom{k}{n} \) , pertanto l'espressione diventa
Sento che sono vicino, ma non capisco quel coefficiente binomiale...
Ora per trovare la formula uso
"tommik":
considera ora la ovvia distribuzione iperG
(Rr)(Nn)(Tk)
orbene, la soluzione del problema è data dai numeratori dei 3 coefficienti binomiali in quanto la successione delle palline è ordinata, cioè è importante anche l'ordine con cui compaiono: 100 è diverso da 010 o 001.
Tale soluzione coincide con la legge della probabilità composta, come hai anche intuito.
Sto cercando la probabilità tra le $k$ estratte di averne $n$ nere: $ (((R),(k-n))((N),(n)))/(((R+N),(k))) $ .
Sviluppando i conti ottengo che l'espressione sopra è uguale a
\( \frac{N(N-1)...(N-n+1)}{n!}\frac{R(R-1)...(R-k+n+1)}{(k-n)!} \frac{k!}{(N+R)(N+R-1)...(N+R-k+1)} \)
E' vero che i tre numeratori mi forniscono la soluzione, ma ci sono anche i denomiantori, che vedo dare luogo a \( \binom{k}{n} \) , pertanto l'espressione diventa
\( \frac{N(N-1)...(N-n+1)R(R-1)...(R-k+n+1)}{(N+R)(N+R-1)...(N+R-k+1)}\binom{k}{n} \) .
Sento che sono vicino, ma non capisco quel coefficiente binomiale...
I coefficienti binomiali te li ho messi solo per farti capire, non servono nella proof.
La tua legge è una stringa binaria
$0110001$
ma dove stiamo gli "uni" non importa, quindi la sua probabilità è uguale a quella di
$1110000$
Fine della dimostrazione
La tua legge è una stringa binaria
$0110001$
ma dove stiamo gli "uni" non importa, quindi la sua probabilità è uguale a quella di
$1110000$
Fine della dimostrazione
Purtroppo di stringa binaria non ho mai sentito parlare, ma ho afferrato il concetto.
In effetti quel binomiale mi dice di moltiplicare tale probabilità per tutte le possibili combinazioni di $n$ palline nere prese tra le $k$ estratte, ma a me non interessa l'ordine delle $n$ estratte, quindi in effetti devo considerare solo il contributo dei numeratori... sì, così funziona.
Oppure potrei provare a dimostarlo per induzione... nel frattempo mille grazie Tommik
In effetti quel binomiale mi dice di moltiplicare tale probabilità per tutte le possibili combinazioni di $n$ palline nere prese tra le $k$ estratte, ma a me non interessa l'ordine delle $n$ estratte, quindi in effetti devo considerare solo il contributo dei numeratori... sì, così funziona.
Oppure potrei provare a dimostarlo per induzione... nel frattempo mille grazie Tommik
Ma anche utilizzando la iperG ci metti un secondo a dimostrare quanto richiesto. Fai conto che scrivo col cellulare, senza carta e penna e sono in viaggio quindi permettimi una notazione più semplificata
La tua legge la ricavi da:
$(((R),(Sigmar))((N),(Sigma n)))/(((T),(k)))=(R (R-1)... (R-Sigmar+1)N (N-1)... (N-Sigma n+1))/(T (T-1)... (T-k+1)) \cdot (k!)/((Sigmar)! (Sigma n)!) $
Dove la tua legge è data dalla prima frazione perché la seconda conta tutte le combinazioni (equiprobabili ) che a te non servono
Legenda:
$R$: tot palle rosse
$N$: tot palle nere
$T=N+R$: tot palle
$Sigmar$: somma palle rosse estratte
$Sigma n$: somma palle nere estratte
$k=Sigma r+Sigma n$: tot palle estratte= numero argomenti della legge congiunta
Inoltre ti confermo che l'esercizio è stato scritto da un prof distratto perché:
1) il valore di k non è vero che deve essere k
2) ha dimeticato di dire come è fatta l'estrazione, cioè con o senza rimessa (si capisce solo dalla soluzione che è senza)
3) ha invertito il rosso con il nero dato che la soluzione è la congiunta di $X_i$ estrazione di pallina rossa e non nera come dice la traccia
EDIT
vedo solo ora anche la tua soluzione che ti confermo essere perfetta! (col cellulare a volte mi dà "math processing error" al posto di visualizzarmi la formula). Il binomiale che non ti spieghi è il numero di combinazioni equiprobabili che a te non serve in quanto la tua legge è data da una qualunque di quelle combinazioni; basta considerarlo uguale a uno...oppure dividere per lo stesso coefficiente e trovi la legge
Ciao
La tua legge la ricavi da:
$(((R),(Sigmar))((N),(Sigma n)))/(((T),(k)))=(R (R-1)... (R-Sigmar+1)N (N-1)... (N-Sigma n+1))/(T (T-1)... (T-k+1)) \cdot (k!)/((Sigmar)! (Sigma n)!) $
Dove la tua legge è data dalla prima frazione perché la seconda conta tutte le combinazioni (equiprobabili ) che a te non servono
Legenda:
$R$: tot palle rosse
$N$: tot palle nere
$T=N+R$: tot palle
$Sigmar$: somma palle rosse estratte
$Sigma n$: somma palle nere estratte
$k=Sigma r+Sigma n$: tot palle estratte= numero argomenti della legge congiunta
Inoltre ti confermo che l'esercizio è stato scritto da un prof distratto perché:
1) il valore di k non è vero che deve essere k
2) ha dimeticato di dire come è fatta l'estrazione, cioè con o senza rimessa (si capisce solo dalla soluzione che è senza)
3) ha invertito il rosso con il nero dato che la soluzione è la congiunta di $X_i$ estrazione di pallina rossa e non nera come dice la traccia
EDIT
"feddy":
\( \frac{N(N-1)...(N-n+1)R(R-1)...(R-k+n+1)}{(N+R)(N+R-1)...(N+R-k+1)}\binom{k}{n} \) .
Sento che sono vicino, ma non capisco quel coefficiente binomiale...
vedo solo ora anche la tua soluzione che ti confermo essere perfetta! (col cellulare a volte mi dà "math processing error" al posto di visualizzarmi la formula). Il binomiale che non ti spieghi è il numero di combinazioni equiprobabili che a te non serve in quanto la tua legge è data da una qualunque di quelle combinazioni; basta considerarlo uguale a uno...oppure dividere per lo stesso coefficiente e trovi la legge
Ciao
Chiarissimo tommik ! chiaramente avevo supposto anche io che le estrazioni fossero senza rimpiazzo e che $k$ fosse minore del minimo tra i due.
Per quel che riguarda la mia soluzione, controllandola, è perfettamente uguale alla tua, se non nella notazione, dove il tuo $Sigma r$ è uguale al mio $r$. Non finirò mai di ringraziarti per la tua disponibilità infinita
Per quel che riguarda la mia soluzione, controllandola, è perfettamente uguale alla tua, se non nella notazione, dove il tuo $Sigma r$ è uguale al mio $r$. Non finirò mai di ringraziarti per la tua disponibilità infinita
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