Esericizo V.A discrete
Ciao a tutti 
ho il seguente quesito da verificare
Vi sono $3$ carte numerate da $8$ a $10$ ed un urna con $6$ palline BIANCHE. Si estrae a caso una carta e si mettono nell'urna tante palline NERE quanto è il valore della carta. Si cominciano a effettuare estrazioni con reinserimento fermandosi la prima volta $T$ che si estrae una pallina bianca.
a) Calolare distribuzione di $T$
b) Calcolare $E(T)$ con rispettiva varianza
Allora io ho continuato cosi
Essendo estrazioni con reinserimento posso subito dire che l'estrazione si ripete esattamente nelle stesse condizioni.
$T=$ $\{ (1, if p=?), 0 (text{ altrimenti}):}}$
mi trovo p,facendo la premessa che $P(N=8)=P(N=9)=P(N=10)= 1/3$
$P(T=1)= P(T=1|N=8)*1/3 + P(T=1|N=9)*1/3+P(T=10|N=10)*1/3$
seguirà che
$P(T=1)=1/3[6/14+6/15+6/16]=0.398$
quindi la distribuzione di T è una geometrica di parametro $p=0.398$
seguirà che $E(T)=1/p=1/0.398=2.51$
mentre la $V(T)=(1-p)/p^2$
è corretto il mio ragionamento?
Grazie in anticipo
ho il seguente quesito da verificare
Vi sono $3$ carte numerate da $8$ a $10$ ed un urna con $6$ palline BIANCHE. Si estrae a caso una carta e si mettono nell'urna tante palline NERE quanto è il valore della carta. Si cominciano a effettuare estrazioni con reinserimento fermandosi la prima volta $T$ che si estrae una pallina bianca.
a) Calolare distribuzione di $T$
b) Calcolare $E(T)$ con rispettiva varianza
Allora io ho continuato cosi
Essendo estrazioni con reinserimento posso subito dire che l'estrazione si ripete esattamente nelle stesse condizioni.
$T=$ $\{ (1, if p=?), 0 (text{ altrimenti}):}}$
mi trovo p,facendo la premessa che $P(N=8)=P(N=9)=P(N=10)= 1/3$
$P(T=1)= P(T=1|N=8)*1/3 + P(T=1|N=9)*1/3+P(T=10|N=10)*1/3$
seguirà che
$P(T=1)=1/3[6/14+6/15+6/16]=0.398$
quindi la distribuzione di T è una geometrica di parametro $p=0.398$
seguirà che $E(T)=1/p=1/0.398=2.51$
mentre la $V(T)=(1-p)/p^2$
è corretto il mio ragionamento?
Grazie in anticipo
Risposte
"Sasuke93":
Questo modo può andare? Il valore della speranza matematica sembra essere lo stesso in entrambi i casi
Due distribuzioni possono avere la stessa media senza essere uguali. $P(T)=1$ è uguale nei due casi? $P(T)=20$?
$1/3[6/14(8/14)^(k-1)+6/15(9/15)^(k-1)+6/16(10/16)^(k-1)]$ riprendo la mia distribuzione
per semplicità dei calcoli ho preso $k=1,2$
sostituendo k=1 nella formula ottengo $P(T=1)=1/7+2/15+1/8$ $~~$ $0.398$
per k=2 nella formula ho $P(T=2)=8/98+18/225+20/256$ $~~$ $0.24$
mentre con il nuovo metodo ho
$P(T=1)=6/(N+6)=0.4$ ovviamente sostituendo $N=9$
$P(T=2)=6/(N+6)(1-6/(6+N))=0.24$
quindi dovrebbero essere corretti entrambi i metodi
confermi? Grazie mille
per semplicità dei calcoli ho preso $k=1,2$
sostituendo k=1 nella formula ottengo $P(T=1)=1/7+2/15+1/8$ $~~$ $0.398$
per k=2 nella formula ho $P(T=2)=8/98+18/225+20/256$ $~~$ $0.24$
mentre con il nuovo metodo ho
$P(T=1)=6/(N+6)=0.4$ ovviamente sostituendo $N=9$
$P(T=2)=6/(N+6)(1-6/(6+N))=0.24$
quindi dovrebbero essere corretti entrambi i metodi
confermi? Grazie mille
"Sasuke93":
quindi dovrebbero essere corretti entrambi i metodi
No
"Sasuke93":
confermi? Grazie mille
No. 2 è molto vicino ad 1. Prova con 20, 50 o 100.
Leggere questi infiniti scambi di messaggi è un vero stillicidio...dopo 3 pagine di botta e risposta io non capisco più nulla...ho dovuto leggere e rileggere tutti i passaggi davvero molte volte per capirci qualche cosa...magari sono io che sono troppo anziano.
Dopo giorni e giorni di rilettura del post sono arrivato al punto cruciale che è questo:
Ma proprio per nulla! quella è la varianza della combinazione lineare di 3 variabili aleatorie indipendenti... Nel tuo caso invece è la funzione di massa di probabilità ad essere combinazione lineare di altre 3 pmf....non è affatto la stessa cosa e confondere questi due casi è un errore davvero molto grave.
Ecco come risolvere il tutto:
La variabile T (che per comodità indico con X) è semplicemente una "mistura" di 3 geometriche (che contano i tentativi necessari al primo successo ovvero quella della colonna di sinistra di questo link)
Quindi la prima risposta è semplicemente questa
... e già questa sarebbe una risposta accettabile, senza bisogno di dettagliare ulteriormente.
Per calcolare la media:
ovvero
per calcolare la varianza di X, qualora interessati[nota]Faccio notare che il testo postato è questo
che rispolto alla lettera, chiederebbe di calcolare $\mathbb{V}[\mathbb{E}(T)]=\mathbb{V}[2.5]=0$[/nota], calcoliamo prima il momento secondo
sostituendo...
ed infine la varianza si ottiene così
....fine dell'esercizio
Dopo giorni e giorni di rilettura del post sono arrivato al punto cruciale che è questo:
"Sasuke93":
Quindi vien da se che $VAR(T)=1/9*[((1-p')/(p'^2))+((1-p'')/(p'''^2))+((1-p''')/(p'''^2)]$
Ma proprio per nulla! quella è la varianza della combinazione lineare di 3 variabili aleatorie indipendenti... Nel tuo caso invece è la funzione di massa di probabilità ad essere combinazione lineare di altre 3 pmf....non è affatto la stessa cosa e confondere questi due casi è un errore davvero molto grave.
Ecco come risolvere il tutto:
La variabile T (che per comodità indico con X) è semplicemente una "mistura" di 3 geometriche (che contano i tentativi necessari al primo successo ovvero quella della colonna di sinistra di questo link)
Quindi la prima risposta è semplicemente questa
$p_(X)(x)=1/3p_(X_1)(x)+1/3p_(X_2)(x)+1/3p_(X_3)(x)$
... e già questa sarebbe una risposta accettabile, senza bisogno di dettagliare ulteriormente.
Per calcolare la media:
$\mathbb{E}[X]=1/3\Sigma_x x[p_(X_1)(x)+p_(X_2)(x)+p_(X_3)(x)]$
ovvero
$\mathbb{E}[X]=1/3[\mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2]+\mathbb{E}[X_3]]=5/2$
per calcolare la varianza di X, qualora interessati[nota]Faccio notare che il testo postato è questo
b) Calcolare E(T) con rispettiva varianza
che rispolto alla lettera, chiederebbe di calcolare $\mathbb{V}[\mathbb{E}(T)]=\mathbb{V}[2.5]=0$[/nota], calcoliamo prima il momento secondo
$\mathbb{E}[X^2]=1/3\Sigma_x x^2[p_(X_1)(x)+p_(X_2)(x)+p_(X_3)(x)]=1/3[\mathbb{E}(X_1^2)+\mathbb{E}(X_2^2)+\mathbb{E}(X_3^2)]$
sostituendo...
$\mathbb{E}[X^2]=1/3[(2-6/14)/(6/14)^2+(2-6/15)/(6/15)^2+(2-6/16)/(6/16)^2]=271/27$
ed infine la varianza si ottiene così
$\mathbb{V}[X]=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}^2[X]=271/27-25/4=409/108$
....fine dell'esercizio
Grazie mille Tommy. Risposta fantastica. In effetti l'errore sulla varianza è stato un errore banale e grave. Devo starci più attento. Mentre per la nota in merito, ovviamente si chiedeva di calcolare la varianza della distribuzione e non della costante 
. Ottima osservazione anche questa. Ti ringrazio veramente tanto 
. Ottima osservazione anche questa. Ti ringrazio veramente tanto
Approfondimento:
Per capire che differenza passa fra una mistura, cioè una media di funzioni di densità (o funzioni di massa di probabilità) ed una media di variabili aleatorie propongo il seguente esempio, semplice chiaro .... e che può essere risolto senza spargere troppo sangue:
Calcolare, per entrambi gli esperimenti la funzione densità di probabilità risultante.
Nel primo caso è una mixture di due differenti densità
$f(z)=1/2f(x)+1/2f(y)$
mentre nel secondo caso è una funzione di variabili aleatorie
$Z=(X+Y)/2$
con $f(z)$ da calcolare con le usuali tecniche note.
Faccio notare che nemmeno il supporto è lo stesso per le due variabili aleatorie.
Nel primo caso infatti il supporto è $[0;2]$, infatti può uscire Croce e posso trovare il contentore 2 pieno.
Nel secondo caso il suppporto è $[0;1.5]$ perchè al massimo posso trovare i due contenitori entrambi pieni (3 litri) e la media risulterebbe 1.5
Per capire che differenza passa fra una mistura, cioè una media di funzioni di densità (o funzioni di massa di probabilità) ed una media di variabili aleatorie propongo il seguente esempio, semplice chiaro .... e che può essere risolto senza spargere troppo sangue:
Abbiamo due contenitori dalla capacità aleatoria ed uniforme rispettivamente di 1 litro e 2 litri di liquido.
Consideriamo i due esperimenti
E1: lanciamo una moneta e in base all'uscita di TC, leggiamo la capacità del contenitore 1 oppure 2, rispettivamente
E2: leggiamo il contenuto di entrambi i contenitori e poi ne facciamo la media.
Calcolare, per entrambi gli esperimenti la funzione densità di probabilità risultante.
Nel primo caso è una mixture di due differenti densità
$f(z)=1/2f(x)+1/2f(y)$
mentre nel secondo caso è una funzione di variabili aleatorie
$Z=(X+Y)/2$
con $f(z)$ da calcolare con le usuali tecniche note.
Faccio notare che nemmeno il supporto è lo stesso per le due variabili aleatorie.
Nel primo caso infatti il supporto è $[0;2]$, infatti può uscire Croce e posso trovare il contentore 2 pieno.
Nel secondo caso il suppporto è $[0;1.5]$ perchè al massimo posso trovare i due contenitori entrambi pieni (3 litri) e la media risulterebbe 1.5
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