Esericizio su variabile aleatoria
Buonasera! Vorrei chiedervi alcuni chiarimenti sul seguente esercizio:
Sia X una v.a. Gaussiana standard e Y un v.a. Bernoulliana di parametro p ∈ (0,1), indipendente da X. Si definisca la nuova v.a. W=X+2Y-1. Ricordiamo la definizione della funzione Q(z): $int_{-infty}^{z} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt$
[highlight]1)Si determinino i valori che può assumere la v.a. W e si stabilisca se W è una v.a. di tipo continuo o discreto.[/highlight]
Questo punto non lo riesco neanche ad impostare
[highlight]2)Si calcolino la media E[W] e la varianza VAR[W].[/highlight]
\(\displaystyle X~N(0,1) \) \(\displaystyle E[X]=0 \) \(\displaystyle VAR[X]=1 \)
\(\displaystyle Y~Bern(p) \) \(\displaystyle E[Y]=p \) \(\displaystyle VAR[Y]=(1-p)p \)
\(\displaystyle E[W]= E[X+2Y-1]= \) linearità del valore medio \(\displaystyle = E[X]+2E[Y]-1= 0+2p-1=2p-1 \)
\(\displaystyle VAR[W]=VAR[X]+2VAR[Y]= \) \(\displaystyle 1+2[(1-p)p]= -2p^2+2p+1 \)
[highlight]3)Si calcolino le probabilità condizionate \(\displaystyle P(W<=w|Y=0) \) e \(\displaystyle P(W<=w|Y=1) \), con w ∈ $RR$, esprimendo il risultato in termini della funzione Q(•).[/highlight]
\(\displaystyle P(W<=w|Y=0)= \)
\(\displaystyle P(X+2Y-1<=w|Y=0)= \)
\(\displaystyle P(X<=w+1|Y=0)= \) indipendenza delle variabili aleatorie =
\(\displaystyle P(X<=w+1)P(Y=0)= \)
\(\displaystyle F_x(w+1)(1-p)= \)
$[int_{-infty}^{w+1} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt](1-p)$
\(\displaystyle P(W<=w|Y=1)= \)
\(\displaystyle P(X+2Y-1<=w|Y=1)= \)
\(\displaystyle P(X<=w-1|Y=1)= \) indipendenza delle variabili aleatorie =
\(\displaystyle P(X<=w-21)P(Y=1)= \)
\(\displaystyle F_x(w-1)(1-p)= \)
$[int_{-infty}^{w-1} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt]p$
[highlight]4)Si calcoli la CDF \(\displaystyle F_W(w)=P(W<=w) \) della v.a. W, sempre in termini della funzione Q(•).[/highlight]
Molto probabilmente questa soluzione è completamente sbagliata
\(\displaystyle F_W(w)= \)$\{(0 if w<0), ([int_{-infty}^{w} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt](1-p) if 0<=w<=1),([int_{-infty}^{w} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt]p if w>1):}$
[highlight]5)Si scriva l'espressione analitica della PDF \(\displaystyle f_W(w) \) della v.a. W, e se ne disegni l'andamento nel caso p=1/2.[/highlight]
Dalla teoria della probabilità si sa che \(\displaystyle f_W(w) \) =$(dF_W(w))/(dw)$, quindi basta derivare la CDF calcolata al punto precedente
Sia X una v.a. Gaussiana standard e Y un v.a. Bernoulliana di parametro p ∈ (0,1), indipendente da X. Si definisca la nuova v.a. W=X+2Y-1. Ricordiamo la definizione della funzione Q(z): $int_{-infty}^{z} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt$
[highlight]1)Si determinino i valori che può assumere la v.a. W e si stabilisca se W è una v.a. di tipo continuo o discreto.[/highlight]
Questo punto non lo riesco neanche ad impostare
[highlight]2)Si calcolino la media E[W] e la varianza VAR[W].[/highlight]
\(\displaystyle X~N(0,1) \) \(\displaystyle E[X]=0 \) \(\displaystyle VAR[X]=1 \)
\(\displaystyle Y~Bern(p) \) \(\displaystyle E[Y]=p \) \(\displaystyle VAR[Y]=(1-p)p \)
\(\displaystyle E[W]= E[X+2Y-1]= \) linearità del valore medio \(\displaystyle = E[X]+2E[Y]-1= 0+2p-1=2p-1 \)
\(\displaystyle VAR[W]=VAR[X]+2VAR[Y]= \) \(\displaystyle 1+2[(1-p)p]= -2p^2+2p+1 \)
[highlight]3)Si calcolino le probabilità condizionate \(\displaystyle P(W<=w|Y=0) \) e \(\displaystyle P(W<=w|Y=1) \), con w ∈ $RR$, esprimendo il risultato in termini della funzione Q(•).[/highlight]
\(\displaystyle P(W<=w|Y=0)= \)
\(\displaystyle P(X+2Y-1<=w|Y=0)= \)
\(\displaystyle P(X<=w+1|Y=0)= \) indipendenza delle variabili aleatorie =
\(\displaystyle P(X<=w+1)P(Y=0)= \)
\(\displaystyle F_x(w+1)(1-p)= \)
$[int_{-infty}^{w+1} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt](1-p)$
\(\displaystyle P(W<=w|Y=1)= \)
\(\displaystyle P(X+2Y-1<=w|Y=1)= \)
\(\displaystyle P(X<=w-1|Y=1)= \) indipendenza delle variabili aleatorie =
\(\displaystyle P(X<=w-21)P(Y=1)= \)
\(\displaystyle F_x(w-1)(1-p)= \)
$[int_{-infty}^{w-1} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt]p$
[highlight]4)Si calcoli la CDF \(\displaystyle F_W(w)=P(W<=w) \) della v.a. W, sempre in termini della funzione Q(•).[/highlight]
Molto probabilmente questa soluzione è completamente sbagliata
\(\displaystyle F_W(w)= \)$\{(0 if w<0), ([int_{-infty}^{w} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt](1-p) if 0<=w<=1),([int_{-infty}^{w} 1/(sqrt(2pi))e^(-t^2/2)dt]p if w>1):}$
[highlight]5)Si scriva l'espressione analitica della PDF \(\displaystyle f_W(w) \) della v.a. W, e se ne disegni l'andamento nel caso p=1/2.[/highlight]
Dalla teoria della probabilità si sa che \(\displaystyle f_W(w) \) =$(dF_W(w))/(dw)$, quindi basta derivare la CDF calcolata al punto precedente
Risposte
Conviene partire dal punto 5)
La tua bernulli può valere solo zero oppure uno. Quindi per il teorema delle probabilità totali la densità della tua variabile $W$ è questa:
$f_W(w)=p\cdot 1/sqrt(2pi) e^(-(w-1)^2/2)+(1-p)\cdot 1/sqrt(2pi) e^(-(w+1)^2/2)=p phi(w-1)+(1-p)phi(w+1)$
$w in RR$ e dove $phi$ indica la densità di una gaussiana standard (la funzione integranda della tua $Q(z)$ che ti dà la traccia)
Quindi (punto 1) è una funzione assolutamente continua e definita su tutto $RR$.
Capito questo il resto è tutto molto semplice e segue di conseguenza (non ho guardato le tue soluzioni per mancanza di tempo ma qualcuno lo farà sicuramente)
La tua bernulli può valere solo zero oppure uno. Quindi per il teorema delle probabilità totali la densità della tua variabile $W$ è questa:
$f_W(w)=p\cdot 1/sqrt(2pi) e^(-(w-1)^2/2)+(1-p)\cdot 1/sqrt(2pi) e^(-(w+1)^2/2)=p phi(w-1)+(1-p)phi(w+1)$
$w in RR$ e dove $phi$ indica la densità di una gaussiana standard (la funzione integranda della tua $Q(z)$ che ti dà la traccia)
Quindi (punto 1) è una funzione assolutamente continua e definita su tutto $RR$.
Capito questo il resto è tutto molto semplice e segue di conseguenza (non ho guardato le tue soluzioni per mancanza di tempo ma qualcuno lo farà sicuramente)
$ F_W(w)=int_{-infty}^{w}[p phi(z-1)+(1-p)phi(z+1)]dz $Quindi la CDF è data dall'integrale della densità che hai calcolato:
$F_W(w)=int_{-infty}^{w}[p phi(z-1)+(1-p)phi(z+1)]dz$
Ho un'altra domanda, non ho ben capito perché la variabile W sia continua su tutto $RR$, ipotizzando due variabili aleatorie X e Y, W=X+Y, il dominio della nuova v.a. W è data dall'unione dei domini delle v.a. X e Y ( la bernoulliana è definita su (0,1) mentre la gaussiana per definizione è definita su tutto $RR$) oppure come faccio ad individuare il dominio della variabile W?!
$F_W(w)=int_{-infty}^{w}[p phi(z-1)+(1-p)phi(z+1)]dz$
Ho un'altra domanda, non ho ben capito perché la variabile W sia continua su tutto $RR$, ipotizzando due variabili aleatorie X e Y, W=X+Y, il dominio della nuova v.a. W è data dall'unione dei domini delle v.a. X e Y ( la bernoulliana è definita su (0,1) mentre la gaussiana per definizione è definita su tutto $RR$) oppure come faccio ad individuare il dominio della variabile W?!
L'esercizio chiede che la CDF $F_W(w)$ venga espressa in termini di $Phi$ cioè la CDF della gaussiana std. Il simbolo $Phi$ è universalmente conosciuto anche se il tuo libro usa $Q$
$F_W(w)=p xx Phi(w-1)+(1-p) xx Phi(w+1)$
Questo serve perché, una volta fissato il parametro $p$ calcoli immediatamente qualunque probabilità con l'uso delle tavole
Perché è continua? Vedi qualche punto di discontinuità nella $f_W(w)$ che ho indicato nel mio precedente topic? Io no.
Sommando una costante ad una gaussiana ottieni sempre la stessa gaussiana con una media traslata. Sommando una gaussiana con una bernulli ottieni una combinazione lineare fra le due gaussiane.
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$F_W(w)=p xx Phi(w-1)+(1-p) xx Phi(w+1)$
Questo serve perché, una volta fissato il parametro $p$ calcoli immediatamente qualunque probabilità con l'uso delle tavole
Perché è continua? Vedi qualche punto di discontinuità nella $f_W(w)$ che ho indicato nel mio precedente topic? Io no.
Sommando una costante ad una gaussiana ottieni sempre la stessa gaussiana con una media traslata. Sommando una gaussiana con una bernulli ottieni una combinazione lineare fra le due gaussiane.
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