Esercizione distribuzione esponenziale

[aenigma1]

siano X,Y indipendenti distribuite esponenzialmente di parametro $lambda$ trovare la funzione di ripartizione di $X/(min(X,Y))$

$P(X/(min(X,Y))<=z)=P(X/Y<=z, X>=Y)+P(1<=z,Y>=X)$

ora considero $P(X/Y<=z, X>=Y)=P(Y>=X/z, X>=Y)$ e, per $z>1$, ho che

$\int_0^(+infty) lambda e^(-lambda x) \int_(x/z)^x lambda e^(-lambda y) dy dx$

=$\int_0^(+infty) lambda e^(-lambda x) [e^(-(lambdax)/x)-e^-(lambdax)]dx$ e risolvendo mi viene $z/(z+1)+1/2$...ecco il mio problema è che c'è un $1/2$ di troppo, perchè?

[elgiovo]

A me l'integrale doppio viene

\(\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{1+z} \)

C'è poi da considerare il secondo termine che hai scritto: \(\displaystyle P\left(1\leq z, Y\geq X\right) \).

PS: aggiusta le formule, hai un (X,Y) che ti è tornato a numeratore.

[aenigma1]

grazie , l'altro viene 1/2...riguardo al primo ho fatto questo

$\int_{0}^{+infty} lambda e^(-lambda x(1+1/z))dx - \int_{0}^{+infty} lambda e^(-2lambda x) dx$ =


$\int_{0}^{+infty} lambda e^(-lambda x((z+1)/z))dx - \int_{0}^{+infty} lambda e^(-2lambda x) dx$ =

$-z/(z+1) e^(-lambda x((z+1)/z)) + e^(-2lambda x) /2$ il tutto tra 0 e +infinito

$=z/(z+1)-1/2$

non capisco dove sbaglio...

[elgiovo]

$ \int_0^(+infty) lambda e^(-lambda x) \int_(x/z)^x lambda e^(-lambda y) dy dx = \int_0^(+infty) lambda e^(-lambda x) (e^{-x lambda/z}-e^{- lambda x}) dx = [- \frac{ze^{-\frac{\lambda x(z+1)}{z}}}{1+z}+ \frac{1}{2} e^{-2 \lambda x}]_{0}^{\infty}=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+z}$

EDIT: ho fatto l'integrale con Mathematica, il quale, se lo spezzo in due come hai fatto tu.. mi dà un altro risultato! C'è qualche fregatura dietro? Non ricordo bene la teoria degli integrali impropri, può essere che non si possa applicare la linearità dell'integrale tout court. Il libro che risultato ti dà?

[aenigma1]

$z/(z+1)$ con $z>1$...infatti non capisco come ti esca fuori l'ultimo risultato... le funzione da calcolare negli estremi di integrazione ci vengono uguali... e poi $e^-infty=0$ quindi viene come ho fatto io... $z/(z+1)-1/2$ poi ci aggiungi $1/2$ dell'altro e viene...a me inizialmente veniva $+1/2$ ma ho fatto un errore stupido io..

[gygabyte017]

"elgiovo":$ \int_0^(+infty) lambda e^(-lambda x) \int_(x/z)^x lambda e^(-lambda y) dy dx = \int_0^(+infty) lambda e^(-lambda x) (e^{-x lambda/z}-e^{- lambda x}) dx = [- \frac{ze^{-\frac{\lambda x(z+1)}{z}}}{1+z}+ \frac{1}{2} e^{-2 \lambda x}]_{0}^{\infty}=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+z}$

Scusami elgiovo ma come fa a uscirti $ [- \frac{ze^{-\frac{\lambda x(z+1)}{z}}}{1+z}+ \frac{1}{2} e^{-2 \lambda x}]_{0}^{\infty}=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+z}$?
In $\+oo$ tutta la parte dentro fa $0$ ovviamente, e poi per $x=0$ il tutto diventa $[- \frac{ze^0}{1+z}+ \frac{1}{2} e^{0} ]$ e quindi $-(-z/(z+1) +1/2) = z/(z+1) - 1/2$ o no?

EDIT: sì hai ragione, è solo un modo diverso di scriverlo!

[elgiovo]

Allora è giusto anche il primo risultato di Mathematica, infatti

\(\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{z+1}+\frac{1}{2}=\frac{z}{z+1} \).

Quindi abbiamo scoperto che

\(\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{z+1} = -\frac{1}{2}+\frac{z}{z+1} \)