Esercizio Vettore Aleatorio
Consideriamo la seguente funzione con densità della v.a. (X,Y):
$f(x,y)={12xy(1-y),if 0
Calcolare la funzione di densità di $Z = XY^2$.
La tipologia di questo esercizio mi è completamente ignota. Sarebbe possibile ricevere un aiuto?
$f(x,y)={12xy(1-y),if 0
Calcolare la funzione di densità di $Z = XY^2$.
La tipologia di questo esercizio mi è completamente ignota. Sarebbe possibile ricevere un aiuto?
Risposte
"Awenega":
La tipologia di questo esercizio mi è completamente ignota. Sarebbe possibile ricevere un aiuto?
Per questi esercizi puoi partire dalla funzione di ripartizione di Z:
$F_Z(z)=intint_(XY^2<=z)f_(XY)(x,y)dxdy=1-int_z^1dxint_(sqrt(z/x))^1 (12xy-12xy^2)dy=...=3z^2-8z^(3/2)+6z$
Quindi
$F_Z(z)={{: ( 0 , ; z<0 ),( 3z^2-8z^(3/2)+6z,;0<=z<1),( 1, ;z>=1) :}$
Derivi e trovi la densità cercata.
$f_Z(z)=6(z-2sqrt(z)+1)I_((0;1))(z)$
Essendo uno dei primi esercizi che stai affrontando te l'ho risolto in toto.
Fammi sapere se l'impostazione ti è chiara altrimenti provvedo a darti ulteriori dettagli per la corretta impostazione degli estremi di integrazione.
"tommik":
Poi derivi $F_Z$ e trovi la densità
Che tralaltro detto papale papale, più che esercizi di statistica sono sono di analisi 2.
C'è solo il nome della funzione chiamata di "densità" ma sono a tutti gli effetti integrali doppi.
Non c'è nulla di interessante sotto il profilo statistico
L'unico integrale doppio davvero emozionante è quello per trovare l'area della gaussiana..ma almeno la c'è una ragione sentimentale...per il resto sono puri esercizi matematici.
@tommik sei stato gentilissimo. Il procedimento mi era chiaro, ovvero dovevo trovarmi la funzione di ripartizione(quindi fare l'integrale) e successivamente derivare. Il mio unico problema è capire gli estremi di integrazione. Puoi spiegarmi meglio, se possibile, come li hai ricavati?
il metodo è sempre quello
Parti dalla definizione di FdR
$F_Z(z)=P[Z<=z]=P[XY^2<=z]=P[Y<=sqrt(z/X)]$
fai il grafico e vedi che devi integrare nell'area colorata....al variare di $Z$ nel suo supporto, $z in (0;1)$ la funzione $Y=sqrt(z/X)$ si sposta fino a coprire tutto il quadrato $(0;1) xx (0;1)$
Parti dalla definizione di FdR
$F_Z(z)=P[Z<=z]=P[XY^2<=z]=P[Y<=sqrt(z/X)]$
fai il grafico e vedi che devi integrare nell'area colorata....al variare di $Z$ nel suo supporto, $z in (0;1)$ la funzione $Y=sqrt(z/X)$ si sposta fino a coprire tutto il quadrato $(0;1) xx (0;1)$
Probabilmente sbaglio, ma non dovrebbe essere $Fz(z)=P[Z≤z]=P[XY^2≤z]=P[Y≤root(2)(z/X)]=1-P[Y>root(2)(z/X)]$?
e che cosa cambia?
L'area da integrare è sempre la stessa, quella colorata....anche io nei calcoli ho fatto come hai scritto tu....
Una volta capito qual è l'area poi la integri come ti pare.....
L'area da integrare è sempre la stessa, quella colorata....anche io nei calcoli ho fatto come hai scritto tu....
"tommik":
$F_Z(z)=intint_(XY^2<=z)f_(XY)(x,y)dxdy=1-int_z^1dxint_(sqrt(z/x))^1 (12xy-12xy^2)dy=...=3z^2-8z^(3/2)+6z$
Una volta capito qual è l'area poi la integri come ti pare.....
Scusami l'insistenza, quindi in questa immagine del grafico:
in sostanza, utilizzando il metodo $1−P[Y>root(2)(z/x)] $, starei facendo: $1$(che sarebbe tutto il quadrato) - $P[Y>root(2)(z/x)]$(che sarebbe l'area bianca all'interno del quadrato).
Se è corretto (correggimi se sbaglio), credo di averci capito...
in sostanza, utilizzando il metodo $1−P[Y>root(2)(z/x)] $, starei facendo: $1$(che sarebbe tutto il quadrato) - $P[Y>root(2)(z/x)]$(che sarebbe l'area bianca all'interno del quadrato).
Se è corretto (correggimi se sbaglio), credo di averci capito...
diciamo di sì...
dico "diciamo di sì" perché 1 non è "tutto il quadrato", benché l'area del quadrato sia proprio 1 (è 1 per puro caso...).
Uno è il valore dell'integrale doppio della densità $f(x,y)$ su tutto il quadrato meno $P(Y>sqrt(z/X))$ che è sempre l'integrale doppio della densità $f(x,y)$ sull'area bianca.....così è corretto.
ma nulla vieta di integrare così:
$F_Z(z)=int_0^(z)dxint_0^1 f(x,y)dy+int_z^1 dx int_0^(sqrt(z/x))f(x,y)dy$
oppure anche Y-semplice......
$F_Z(z)=int_0^(sqrt(z))dyint_0^1 f(x,y)dx+int_(sqrt(z))^1 dy int_0^(z/y^2)f(x,y)dx$
prova in tutti i modi e vedrai che il risultato non cambia
dico "diciamo di sì" perché 1 non è "tutto il quadrato", benché l'area del quadrato sia proprio 1 (è 1 per puro caso...).
Uno è il valore dell'integrale doppio della densità $f(x,y)$ su tutto il quadrato meno $P(Y>sqrt(z/X))$ che è sempre l'integrale doppio della densità $f(x,y)$ sull'area bianca.....così è corretto.
ma nulla vieta di integrare così:
$F_Z(z)=int_0^(z)dxint_0^1 f(x,y)dy+int_z^1 dx int_0^(sqrt(z/x))f(x,y)dy$
oppure anche Y-semplice......
$F_Z(z)=int_0^(sqrt(z))dyint_0^1 f(x,y)dx+int_(sqrt(z))^1 dy int_0^(z/y^2)f(x,y)dx$
prova in tutti i modi e vedrai che il risultato non cambia
Perfetto, ora mi è molto più chiaro!
Ne approfitto per chiederti un'ultima conferma, se possibile.
Nel caso di un altro esercizio, dove $f(x,y)= xe^((-x)(y+1))$ con $x>0, y>0$ e mi chiede di calcolare la densità $Z=XY$, è corretto fare:
$P[XY<=z]=P[Y<=z/X]=1-P[Y>z/X]$ e quindi:
$FZ(z)=int_(0)^(infty)dxint_(z/X)^(infty)f(x,y)dy$
e alla fine derivare?
Ne approfitto per chiederti un'ultima conferma, se possibile.
Nel caso di un altro esercizio, dove $f(x,y)= xe^((-x)(y+1))$ con $x>0, y>0$ e mi chiede di calcolare la densità $Z=XY$, è corretto fare:
$P[XY<=z]=P[Y<=z/X]=1-P[Y>z/X]$ e quindi:
$FZ(z)=int_(0)^(infty)dxint_(z/X)^(infty)f(x,y)dy$
e alla fine derivare?
secondo te?
secondo me è così:
$F_Z(z)=int_0^(+oo)xe^(-x)dxint_0^(z/x)e^(-xy)dy=...=1-e^(-z)$
che è una distribuzione nota, una esponenziale negativa di media 1
secondo me è così:
$F_Z(z)=int_0^(+oo)xe^(-x)dxint_0^(z/x)e^(-xy)dy=...=1-e^(-z)$
che è una distribuzione nota, una esponenziale negativa di media 1
Il metodo che hai usato per definire gli estremi di integrazione dell'integrale, seguono questo procedimento, giusto? $P[XY<=z]=P[Y<=z/X]$
$int_(0)^(infty)dxint_(0)^(z/X)f(x,y)dy$
Ma si potrebbe risolvere anche in questo modo?
$P[XY<=z]=P[Y<=z/X]=1-P[Y>z/X]$
e quindi $1- int_(0)^(infty)dxint_(z/X)^(infty)f(x,y)dy$
Chiedo per capire se sono due procedimenti diversi, ma comunque entrambi corretti
$int_(0)^(infty)dxint_(0)^(z/X)f(x,y)dy$
Ma si potrebbe risolvere anche in questo modo?
$P[XY<=z]=P[Y<=z/X]=1-P[Y>z/X]$
e quindi $1- int_(0)^(infty)dxint_(z/X)^(infty)f(x,y)dy$
Chiedo per capire se sono due procedimenti diversi, ma comunque entrambi corretti
Grazie mille, mi hai dato un enorme aiuto 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo