Esercizio variabili aleatorie discrete: dubbi e confronto con soluzione del prof
Salve ragazzi, vorrei un parere sullo svolgimento di questo esercizio e risposta ad alcuni dubbi. La traccia è la seguente:
Una moneta equa viene lanciata $N$ volte, dove $N$ e una variabile aleatoria geometrica di parametro $p$. Indichiamo con X il numero di teste ottenute.
(1) Calcolare $P[X = 0]$, verificando che $P[X = 0] = p/(1+p)$.
(2) Calcolare $P[N = 2|X = 0]$, la probabilità che siano stati fatti 2 lanci sapendo che non si sono avute teste.
(3) Determinare p affinché la probabilità determinata sopra sia pari a $1/16$.
La mia soluzione è:
1)
Utilizzando la formula della probabilità totale ho:
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty P(X = 0 | N = n) xx P(N =n) = $
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty [(1/2)^k xx (1-1/2)^(k-1) xx (1/2)] = $
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty [(1/2)^k xx (1/2)^k] = $
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty [(1/2)^(2k)] = 1/3$
In sostanza la serie è il prodotto di $P(X = 0 | N = n) = (1/2)^(n)$ moltiplicata per $P(N = n) = (1-1/2)^(n-1) xx (1/2)$. La serie risultato è il prodotto di due serie e converge con somma $1/3$. Ma quindi è chiaro che
$p/(1+p) = (1/2)/(1+1/2) = 1/3$
Il mio professore invece non esplicitato il valore di p ed ha eseguito il seguente procedimento:
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty P(X = 0 | N = k) xx P(N = k) = $
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty [1/2^k xx (1-p)^(k-1) xx p] = ....calcoli .... =$
$P(X = 0) = p/(1+p) $
Mi chiedevo se fosse sbagliato il mio metodo.
2) Utilizzando la formula di Bayes si ha:
$P(N = 2 | X = 0) = (P(X = 0 | N = 2) xx P(N = 2))/(P(X = 0)).$
Io so che:
- $P(X = 0 | N = 2) = (1/2^2) = (1/4)$
- $P(N = 2) = (1/2)xx(1/2) = (1/4)$
- $P(X = 0) = 1/3$
Sostituendo ho che :
$P(N = 2 | X = 0) = (P(X = 0 | N = 2) xx P(N = 2))/(P(X = 0)) = ((1/4)xx(1/4))/(1/3) = 3/16 = 0.187$
3) Per calcolare questa equazione non esplicito il parametro nella soluzione del punto 2.
$1/4 xx p(1-p) xx (1+p)/(p) = 1/4 xx (1-p^2)$ e dopodiché' risolvo l'equazione
$1/4 xx (1-p^2) = 1/16$.
Vi sembra corretto?
Una moneta equa viene lanciata $N$ volte, dove $N$ e una variabile aleatoria geometrica di parametro $p$. Indichiamo con X il numero di teste ottenute.
(1) Calcolare $P[X = 0]$, verificando che $P[X = 0] = p/(1+p)$.
(2) Calcolare $P[N = 2|X = 0]$, la probabilità che siano stati fatti 2 lanci sapendo che non si sono avute teste.
(3) Determinare p affinché la probabilità determinata sopra sia pari a $1/16$.
La mia soluzione è:
1)
Utilizzando la formula della probabilità totale ho:
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty P(X = 0 | N = n) xx P(N =n) = $
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty [(1/2)^k xx (1-1/2)^(k-1) xx (1/2)] = $
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty [(1/2)^k xx (1/2)^k] = $
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty [(1/2)^(2k)] = 1/3$
In sostanza la serie è il prodotto di $P(X = 0 | N = n) = (1/2)^(n)$ moltiplicata per $P(N = n) = (1-1/2)^(n-1) xx (1/2)$. La serie risultato è il prodotto di due serie e converge con somma $1/3$. Ma quindi è chiaro che
$p/(1+p) = (1/2)/(1+1/2) = 1/3$
Il mio professore invece non esplicitato il valore di p ed ha eseguito il seguente procedimento:
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty P(X = 0 | N = k) xx P(N = k) = $
$P(X = 0) = \sum_{k=1}^infty [1/2^k xx (1-p)^(k-1) xx p] = ....calcoli .... =$
$P(X = 0) = p/(1+p) $
Mi chiedevo se fosse sbagliato il mio metodo.
2) Utilizzando la formula di Bayes si ha:
$P(N = 2 | X = 0) = (P(X = 0 | N = 2) xx P(N = 2))/(P(X = 0)).$
Io so che:
- $P(X = 0 | N = 2) = (1/2^2) = (1/4)$
- $P(N = 2) = (1/2)xx(1/2) = (1/4)$
- $P(X = 0) = 1/3$
Sostituendo ho che :
$P(N = 2 | X = 0) = (P(X = 0 | N = 2) xx P(N = 2))/(P(X = 0)) = ((1/4)xx(1/4))/(1/3) = 3/16 = 0.187$
3) Per calcolare questa equazione non esplicito il parametro nella soluzione del punto 2.
$1/4 xx p(1-p) xx (1+p)/(p) = 1/4 xx (1-p^2)$ e dopodiché' risolvo l'equazione
$1/4 xx (1-p^2) = 1/16$.
Vi sembra corretto?
Risposte
1) ha ragione il prof, chiede di determinare quella cosa con $p in (0;1)$ perché hai scelto $1/2$?
2) stessa cosa...$p$ potrebbe essere anche $10^(-5)$...fai i conti col teorema di Bayes (sempre sia lodato) e troverai
$P(N=2|X=0)=(1-p^2)/4$
3) poni la probabilità precedente = $1/(2^4)$ e risolvi in p trovando
2) stessa cosa...$p$ potrebbe essere anche $10^(-5)$...fai i conti col teorema di Bayes (sempre sia lodato) e troverai
$P(N=2|X=0)=(1-p^2)/4$
3) poni la probabilità precedente = $1/(2^4)$ e risolvi in p trovando
$p=\sqrt(3)/2$
Grazie per la risposta. Allora ho scelto $(1/2)$ perchè è la probabilita di non ottenere come risultato testa in un lancio. Se il prof mi avesse semplicemente chiesto di calcolare la probabilità $P(X = 0)$ senza specificare di verificare l'uguaglianza sarebbe stato giusto quello che ho fatto?.
"s.capone7":
Se mi avesse semplicemente chiesto di calcolare la probabilità $P(X = 0)$ senza specificare di verificare l'uguaglianza sarebbe stato giusto quello che ho fatto?.
no
Ci sono due probabilità nella formula: $1/2$ e $p$. La prima è quella di ottenere testa nel lancio della moneta, $p$ invece è la probabilità di successo della geometrica. Fai i conti per bene e te ne dovresti accorgere
PS: non citare ogni volta TUTTO il messaggio precedente
Ok credo di aver capito. Dunque dato che della variabile geometrica non abbiamo il valore del successo/fallimento devo portarmelo dietro come un parametro.
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