Esercizio variabile uniforme

[DajeForte]

Si consideri l'intervallo (0,1), ed un punto scelto uniformemente su di esso. Si considerino due cerchi con raggi pari alla lunghezza dei due segmenti dell'intervallo. Si trovi la distribuzione della differenza delle aree tra il più grande ed il più piccolo.

[hamming_burst]

allora proviamo, abbozzo qualcosa conto di ritornarci

sia $X \sim \mathcal{U}(0,1)$ e $Z=Q-W$ (forse valore assoluto).
$Q$ e $W$ sono v.a. (tralasciamo che sono v.a. congiunte) uniformi sul cerchio di raggio $x$ e $1-x$
il centro dei cerchi ipotizzo esser l'originale, al massimo cambia di traslazione.

$f_Q(q) = 1/(\pi x^2)\ if\ q<=x$
$f_W(w) = 1/(\pi (1-x)^2)\ if\ w<=1-x$

$0\ \text{other}$

quello che dobbiamo calcolare è la pdf (rispettivamente cdf per la soluzione) condizionale
$f_{(Z|X=x)}(z,x)$ e da qui non penso sia difficile calcolarsi la pdf di $Z$ utilizzando la proprietà della condizionale.

strada giusta?

[DajeForte]

Oddio mi viene un attimo difficile capire quello che fai, ora ci riprovo a capirlo...
Io comunque non ho fatto calcoli ma partire dal fatto che se X e' uniforme,
allora $R=X$ ed $r=1-X$ sono i due raggi e dunque le due aree dei due cerchi sono:
$pi X^2$ ed $pi (1-X)^2$.

[fu^2]

proviamo.

Per la simmetria del problema possiamo pensare di scegliere casualmente un punto $X$ in $(0,1/2)$.
Dunque avremo due raggi, $r=X=X-0$ e $R=1-X$ e per come abbiamo scelto il problema abbiamo che $R>r$.
Poniamo $A=\pi R^2$ e $a=\pi r^2$ le due due aree delle due circonferenze. Per la scelta fatta abbiamo che $A>a$, dunque la distribuzione della differenza tra l'area maggiore e quella minore è data da $A-a=\pi R^2-\pi r^2=\pi(1-2X)$, dove $X$ ha una distribuzione uniforme tra $(0,1/2)$. Da questa scrittura si ottiene subito la distribuzione cercata.

[DajeForte]

Corretto, uniforme tra 0 e pi.