Esercizio variabile aleatoria normale
Sto tentando di risolvere un quesito sulla variabile aleatoria normale, in cui però non riesco a procedere oltre. Questo è il testo del problema:
=================
Per un impiegato la durata (in minuti) del viaggio da casa all’ufficio è una variabile aleatoria normale con media $30$ e deviazione standard $5.1$. L’orario di inizio lavoro sono le ore $8$. Entro che ora deve uscire di casa al mattino in modo che la probabilità di non essere in ritardo sia del $95%$?
================
Allora, io inizio definendo la variabile aleatoria normale $N(30,(5.1)^2)$. Quello che penso si debba fare è calcolare un parametro tale che $P("non arrivi in ritardo")=0.95$.
Ora, ammesso che l'approccio sia corretto, trovo difficoltà a determinare un'equazione matematica per $P("non arrivi in ritardo")$.
Sapreste suggerirmi come procedere?
Grazie infinite!!
=================
Per un impiegato la durata (in minuti) del viaggio da casa all’ufficio è una variabile aleatoria normale con media $30$ e deviazione standard $5.1$. L’orario di inizio lavoro sono le ore $8$. Entro che ora deve uscire di casa al mattino in modo che la probabilità di non essere in ritardo sia del $95%$?
================
Allora, io inizio definendo la variabile aleatoria normale $N(30,(5.1)^2)$. Quello che penso si debba fare è calcolare un parametro tale che $P("non arrivi in ritardo")=0.95$.
Ora, ammesso che l'approccio sia corretto, trovo difficoltà a determinare un'equazione matematica per $P("non arrivi in ritardo")$.
Sapreste suggerirmi come procedere?
Grazie infinite!!
Risposte
Prova a definire [tex]t=0 \iff \text{sono le 8 del mattino}[/tex], e chiama [tex]t_0=\text{orario di partenza dell'impiegato}[/tex]. Con questa scelta l'orario di partenza è un numero negativo, per esempio [tex]t_0=-40[/tex] significa che l'impiegato parte alle 7.20.
Detta [tex]X[/tex] la durata del viaggio, l'evento [tex]\{\text{l'impiegato è arrivato in orario}\}[/tex] lo puoi rendere con [tex]t_0+X\le0[/tex]. Vedi un po' se riesci, proseguendo su questa strada, a trovare un range accettabile per [tex]t_0[/tex].
Detta [tex]X[/tex] la durata del viaggio, l'evento [tex]\{\text{l'impiegato è arrivato in orario}\}[/tex] lo puoi rendere con [tex]t_0+X\le0[/tex]. Vedi un po' se riesci, proseguendo su questa strada, a trovare un range accettabile per [tex]t_0[/tex].
"dissonance":
Prova a definire [tex]t=0 \iff \text{sono le 8 del mattino}[/tex], e chiama [tex]t_0=\text{orario di partenza dell'impiegato}[/tex]. Con questa scelta l'orario di partenza è un numero negativo, per esempio [tex]t_0=-40[/tex] significa che l'impiegato parte alle 7.20.
Detta [tex]X[/tex] la durata del viaggio, l'evento [tex]\{\text{l'impiegato è arrivato in orario}\}[/tex] lo puoi rendere con [tex]t_0+X\le0[/tex]. Vedi un po' se riesci, proseguendo su questa strada, a trovare un range accettabile per [tex]t_0[/tex].
Seguendo le tue istruzioni procedo in questo modo: $P(t_0+X<=0)=P(X<=-t_0)$. Ora normalizzo la v.a. $=P((X-30)/5.1<=(-t_0-30)/5.1)=Phi((-t_0-30)/5.1)$
Ora pongo la condizione $Phi((-t_0-30)/5.1)=0.95$, che si traduce in $(-t_0-30)/5.1=1.644854$ e ricavo $t=-38.38875539$. Quindi deduco che deve partire $38.388$ minuti prima, cioè alle $7.21$ circa.
Sul libro la soluzione è $7.20$. Può essere un'approssimazione o c'è stato qualche errore?
Secondo me è solo questione di approssimazione. Come hai fatto a risolvere l'equazione in $t_0$?
"dissonance":
Secondo me è solo questione di approssimazione. Come hai fatto a risolvere l'equazione in $t_0$?
Allora, ho fatto:
$-t-30=1.644854*5.1 -> -t = 1.644854*5.1 + 30 -> t = -(1.644854*5.1+30) -> t= -(8.388755399+30)=-38.388755399$
Si, si, certo, volevo sapere come hai fatto a passare da
$Phi(\frac{-t_0-30}{5.1})=0.95$ alla soluzione; specialmente come hai invertito la funzione $Phi$, che software hai usato? Io per esempio usando Maple trovo come orario di partenza le 7.22... Purtroppo di questi aspetti numerici ci capisco pochino...
$Phi(\frac{-t_0-30}{5.1})=0.95$ alla soluzione; specialmente come hai invertito la funzione $Phi$, che software hai usato? Io per esempio usando Maple trovo come orario di partenza le 7.22... Purtroppo di questi aspetti numerici ci capisco pochino...
"dissonance":
Si, si, certo, volevo sapere come hai fatto a passare da
$Phi(\frac{-t_0-30}{5.1})=0.95$ alla soluzione; specialmente come hai invertito la funzione $Phi$, che software hai usato? Io per esempio usando Maple trovo come orario di partenza le 7.22... Purtroppo di questi aspetti numerici ci capisco pochino...
Ah, scusa se ti ho scritto i passaggi dell'equazione!!
La funzione l'ho invertita "manualmente". Cioè ho preso il libro e trovato nella tavola "Quantili della legge $N(0,1)$", $Phi_0.95=1.644854$
Quindi ho posto $frac{-t_0-30}{5.1}=1.644854$
Aaah, e allora è sicuramente questione di approssimazione. Il procedimento è esatto. Scusami tu per averti fatto perdere tempo!
"dissonance":
Aaah, e allora è sicuramente questione di approssimazione. Il procedimento è esatto. Scusami tu per averti fatto perdere tempo!
No, figurati! Anzi, grazie mille per avermi aiutato!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo