Esercizio variabile aleatoria

[folgore1]

Salve a tutti mi date una mano con questo esercizio ..
Data la VA $X$ gaussiana a media $a$ e a varianza $sigma^2$.Calcolare la media $E[X|(X>a)]$ e la varianza $VAR[X|(X>a)]$.
Non riesco a capire come devo procedere...devo applicare prima la formula della probabilità condizionata e poi procedere con le formule della media e della varianza?

Grazie anticipatamente!!!

[clrscr]

Allora, secondo me si dovrebbe ragionare nel seguente modo.
Parto da $E[X|X>a]$, quindi applicando la definizione di valore medio si otterrà:
$int_a^(+oo) x 1/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (x-a)^2/(sigma^2))dx$ eseguendo il cambio di variabile $beta=x-a$ si ottiene:
$int_0^(+oo) (a+beta)1/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (beta)^2/(sigma^2))d beta$ e spezzando l'integrale otterremo:
$int_0^(+oo) beta/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (beta)^2/(sigma^2))d beta+int_0^(+oo) a/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (beta)^2/(sigma^2))d beta$.
Ora il primo termine è (spero di non dire una cavolata) $sigma/(sqrt(2 pi))$, mentre il secondo è $a/2$

[clrscr]

Per la seconda domanda...
$VAR[X|X>a]=E[X^2|X>a]-(E[X|X>a])^2$. Per il secondo termine non ci sono problemi, in quanto si eleva il risultato precedente.
Per il primo termine applicando la definizione:
$int_a^(+oo) (x^2)/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (x-a)^2/(sigma^2))d a$ ed eseguendo il solito cambio di variabile $beta=x-a$ si ottiene:
$int_0^(+oo) (beta+a)^2/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (beta)^2/(sigma^2))d beta$. Ora espandendo il quadrato si ottiene:
$int_0^(+oo) (beta^2)/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (beta)^2/(sigma^2))d beta + int_0^(+oo) a^2/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (beta)^2/(sigma^2))d beta+ 2a int_0^(+oo) (beta)/(sqrt(2 pi sigma^2)) e^(-1/2 (beta)^2/(sigma^2))d beta$.
Il primo termine si risolve per parti, il secondo è $a^2/2$ mentre il terzo (dal risultato precedente) $(sigma 2a)/sqrt(2 pi)$

[elgiovo]

Prima di trovare la media di $X|X>a$ è necessario trovarne la densità di probabilità, non ha senso integrare direttamente la densità di $X$.

E' noto che, se $X ~f_X(x)$, allora $f_(X|X>a)(x) ~ {(0,xa):}$
Nel nostro caso abbiamo $f_X(x)=1/(sqrt(2pi)sigma)e^(-((x-a)^2)/(2sigma^2))$, nonchè $F_X(x)=1/2(1-"erf" (x-a)/(sigma sqrt2))$. Ne risulta $f_(X|X>a)(x)=1/sigma sqrt(2/pi)e^(-((x-a)^2)/(2sigma^2))chi_([a,+oo])$.

Media e varianza di $X|X>a$ sono dunque

$E[X|X>a]= 1/sigma sqrt(2/pi)int_a^(oo) xcdot e^(-((x-a)^2)/(2sigma^2))dx=a+sigma sqrt(2/pi) $;

$"VAR"[X|X>a]=1/sigma sqrt(2/pi)int_a^(oo) (x-a)^2cdot e^(-((x-a)^2)/(2sigma^2))dx=sigma^2$.

[folgore1]

"elgiovo":Prima di trovare la media di $X|X>a$ è necessario trovarne la densità di probabilità, non ha senso integrare direttamente la densità di $X$.

E' noto che, se $X ~f_X(x)$, allora $f_(X|X>a)(x) ~ {(0,xa):}$
Nel nostro caso abbiamo $f_X(x)=1/(sqrt(2pi)sigma)e^(-((x-a)^2)/(2sigma^2))$, nonchè $F_X(x)=1/2(1-"erf" (x-a)/(sigma sqrt2))$. Ne risulta $f_(X|X>a)(x)=1/sigma sqrt(2/pi)e^(-((x-a)^2)/(2sigma^2))chi_([a,+oo])$.

Media e varianza di $X|X>a$ sono dunque

$E[X|X>a]= 1/sigma sqrt(2/pi)int_a^(oo) xcdot e^(-((x-a)^2)/(2sigma^2))dx=a+sigma sqrt(2/pi) $;

$"VAR"[X|X>a]=1/sigma sqrt(2/pi)int_a^(oo) (x-a)^2cdot e^(-((x-a)^2)/(2sigma^2))dx=sigma^2$.

Vi ringrazio tantissimo!! scusami nn capisco una cosa ma l'integrale lo hai risolto per parti?

[elgiovo]

Sinceramente l'ho fatti risolvere al computer (non sono mai stato bravo a farli). Ti do un suggerimento per il primo: osserva che è del tipo $int g'(x) e^(g(x))dx$.