Esercizio valore atteso e varianza

[Pablitos23]

Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono 4. Sia $X$ il numero di assi e $Y$ il numero di re che si trovano fra le carte estratte.

$a)$ Calcolare $E(X)$ e $Var(X)$.
$b)$ Calcolare $E(X/(X+Y)|X+Y>0)$.
$c)$ Calcolare $E(X|Y=k)$ al variare di $k$.
$d)$ Calcolare $Cov(X,Y)$ utilizzando il risultato del punto $c$.


$P(X=1) = (((4),(1)) ((36),(3)))/(((40),(4))) ~~ 31%$

$P(X=2) = (((4),(2))((36),(2)))/(((40),(4))) ~~ 4%$

$P(X=3) = (((4),(3))((36),(1)))/(((40),(4))) ~~ 0.15%$

$P(X=4) = (((4),(4))((36),(0)))/(((40),(4))) ~~ 0.001%$

Punto $a)$

$E(X) = \sum_{k=1}^4 k*P(X=k) ~~ 0.39$

$Var(X) = E[(X-E(X))^2] = \sum_{k=1}^4 (k-E(X))^2 * p(k) = 0.2293 $

Ci sta qualche modo per visualizzare e valutare i rultati su un grafico??
Mi servirebbe una mano sul punto $b$.

[Pablitos23]

Per il punto $b$ devo sommare tutte le probabilità dei seguenti eventi? Per quale v.a. le moltiplico?

${: (X , Y ),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(4,0) :}$

[Lo_zio_Tom]

"Paolovox":
Mi servirebbe una mano sul punto $b$.

"Paolovox":
$b)$ Calcolare $E(X/(X+Y)|X+Y>0)$.

come spesso accade posti esercizi concettualmente semplici ma poi improponibili dal punto di vista computazionale. Che tipo di studi fai?

$E(Y|X)=sum_(y)yP_(Y|X)(y|x)=1/(P_(X)(x))sum_(y)y\cdotP_(XY)(x,y)$.

nel tuo caso ovvimente la probabilità che subordina è la seguente:

$P(X+Y>0)=1-P(X=0,Y=0)$

il problema è solo della quantità di conti necessari;

[Pablitos23]

Studio informatica. Rincaso e lo completo.

[Lo_zio_Tom]

"Paolovox":Studio informatica. Rincaso e lo completo.

ci avrei giurato....allora è giusto così...



Gli eventi elementari li hai individuati correttamente; ecco come schematizzerei io il dominio della variabile $Z=X/(X+Y)$ in relazione agli eventi elementari $X$ e $Y$ per renderlo più leggibile



A questo punto è facile calcolare le probabilità congiunte $p(x,y)$ nel modo seguente:

$P(Z=0)$ la saltiamo tanto nel calcolo della media $0\cdotP(0)=0$

$P(Z=1/4)=>P(x,y)=(((4),(1))((4),(3))((32),(0)))/(((40),(4)))=0,000175$


$P(Z=1/3)=>P(x,y)=(((4),(1))((4),(2))((32),(1)))/(((40),(4)))=0,008404$

$P(Z=1/2)=>P(x,y)=(((4),(1))((4),(1))((32),(2))+((4),(2))((4),(2))((32),(0)))/(((40),(4)))=0,087231$


$P(Z=2/3)=>P(x,y)=(((4),(2))((4),(1))((32),(1)))/(((40),(4)))=0,008404$


$P(Z=3/4)=>P(x,y)=(((4),(3))((4),(1))((32),(0)))/(((40),(4)))=0,000175$


$P(Z=1)=>P(x,y)=(((4),(1))((4),(0))((32),(3))+((4),(2))((4),(0))((32),(2))+((4),(3))((4),(0))((32),(1))+((4),(4))((4),(0))((32),(0)))/(((40),(4)))=0,251067$

$P(X+Y>0)=1-(((4),(0))((4),(0))((32),(4)))/(((40),(4)))=0,606522$

ora non resta che applicare la formula:


$E(X/(X+Y)|X+Y>0)=$

$=1/(0,606522)[(0,000175)/4+(0,008404)/3+(0,087231)/2+(0,008404\cdot2)/3+(0,000175\cdot3)/4+0,251067]=1/2$

[Pablitos23]

Perchè lo avresti giurato??
Grazie per la soluzione ho capito tutto.