Esercizio valore atteso
Ho qualche problema a finire questo esercizio:
Data una variabile aleatoria qualsiasi X, sapendo che $E(2^x) = 4$ provare che $P(X >= 3) <= 1/2$.
Ho iniziato notando che $2^x$ è una funzione convessa, quindi per la disuguaglianza di Jensen $E(X) <= 2$
Poi ho provato a scrivere che $P(X >= 3) <= P(|X - E(X)| >= 3-E(X))$ e pensavo di applicare la disuguaglianza di Chebychev, ma li mi blocco, anche perché $3-E(X)$ non è detto sia positivo quindi non potrei applicarla.
Grazie a chi mi aiuta! Sto impazzendo perché mi sembra un esercizio davvero facile e proprio non mi viene...
Data una variabile aleatoria qualsiasi X, sapendo che $E(2^x) = 4$ provare che $P(X >= 3) <= 1/2$.
Ho iniziato notando che $2^x$ è una funzione convessa, quindi per la disuguaglianza di Jensen $E(X) <= 2$
Poi ho provato a scrivere che $P(X >= 3) <= P(|X - E(X)| >= 3-E(X))$ e pensavo di applicare la disuguaglianza di Chebychev, ma li mi blocco, anche perché $3-E(X)$ non è detto sia positivo quindi non potrei applicarla.
Grazie a chi mi aiuta! Sto impazzendo perché mi sembra un esercizio davvero facile e proprio non mi viene...
Risposte
Carino questo esercizio.
Io sono passato per gli indicatori.
$E[2^X]=...$
considera $1_(Omega)=1_A+1_(A^c)$ scegli bene A.
P.S. vedi se cheibichef ti va bene per l'esercizio sulla normale.
Io sono passato per gli indicatori.
$E[2^X]=...$
considera $1_(Omega)=1_A+1_(A^c)$ scegli bene A.
P.S. vedi se cheibichef ti va bene per l'esercizio sulla normale.
Grazie! Credo di aver capito la strada...
Scelgo $A = {w : X(w) >= 3}$, quindi $E(2^x) = 2^(E(X 1_A)) P(A) + 2^(E(X 1_(A^c))) P(A^c) = 4$.
Ora faccio un semplice discorso di disuguaglianze e sfrutto $E(X) <= 2$ trovato con Jensen
$P(X >= 3) = P(A) = (4 - 2^(E(X 1_(A^c)))) / (2^(E(X 1_A)) - 2^(E(X 1_(A^c))))$
$<= 4 / 2^3 = 1/2$
Spero di non aver fatto confusione con le notazioni, grazie davvero!!!!!!!!
Per la normale sto lavorando sul suggerimento...
Scelgo $A = {w : X(w) >= 3}$, quindi $E(2^x) = 2^(E(X 1_A)) P(A) + 2^(E(X 1_(A^c))) P(A^c) = 4$.
Ora faccio un semplice discorso di disuguaglianze e sfrutto $E(X) <= 2$ trovato con Jensen
$P(X >= 3) = P(A) = (4 - 2^(E(X 1_(A^c)))) / (2^(E(X 1_A)) - 2^(E(X 1_(A^c))))$
$<= 4 / 2^3 = 1/2$
Spero di non aver fatto confusione con le notazioni, grazie davvero!!!!!!!!
Per la normale sto lavorando sul suggerimento...
No aspetta l'evento è giusto ma non va bene quello che hai scritto:
$4=E[2^X]=E[2^X1_A]+E[2^X1_(A^c)]>=E[2^X 1_A]>=...$ perchè il secondo addendo è non negativo
$...>=E[2^3 1_A]$
Quindi $P(A)=E[1_A]<=4/(2^3)$.
Per la normale hai $X_n$ normale di media 0 e varianza 1/n
Quindi $E[|X_n-0|^2]=Var[X_n]=1/n$ che converge a 0 e quindi la successione converge in media quadratica e quindi anche in probabilità ed in distribuzione a 0.
$4=E[2^X]=E[2^X1_A]+E[2^X1_(A^c)]>=E[2^X 1_A]>=...$ perchè il secondo addendo è non negativo
$...>=E[2^3 1_A]$
Quindi $P(A)=E[1_A]<=4/(2^3)$.
Per la normale hai $X_n$ normale di media 0 e varianza 1/n
Quindi $E[|X_n-0|^2]=Var[X_n]=1/n$ che converge a 0 e quindi la successione converge in media quadratica e quindi anche in probabilità ed in distribuzione a 0.
Non avevo assolutamente pensato a sfruttare la non negatività di $E(2^x)$... Sei stato chiarissimo e gentilissimo, se sei di Roma (dal nick direi di si) ti offro da bere quando vuoi!!!! Grazie ancora!!!!!!!!!!
Figurati. Si sono di Roma ma ora sto fuori a studiare. Quando passo di la ti contatto per una 
Ciao
Ciao
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