Esercizio V.A. Geometriche

[method_nfb]

Sia un mazzo di carte composto da
4 assi
4 re
4 fanti
4 regine
2 giocatori estraggono carte dal mazzo con reinserimento
A vince se estrae per primo un asso
B vince se estrae per primo un re
Calcolare le probabilita che A vinca , B vinca.
sia D la V.A. che indica la durata del gioco calcolare Densità e Media E[D]
$P(re)=(#re)/(#mazzo)=1/4$
$P(asso)=(#assi)/(#mazzo)=1/4$
P(carta estratta nn sia ne un asso ne un re)=1/2

essendo estrazioni con reinserimento si ha che:
la densità $(T_(asso)=k)=p(1-p)^(k-1)$
la probabilità che A vince e' quindi la probabilità che A estragga un asso prima che B estragga un re
$P(A_(vi.nce))=P((T=k-1)<(T=k))=p_(asso)(1/2)^k-1+P_(re)(1-p_(re))^k$
e' giusto o ho commesso qualche errore?
ciao a tutti e grazie in anticipo

[method_nfb]

up

[cenzo1]

Una domanda: ma se A e B estraggono l'asso e il re per la prima volta alla stessa estrazione $k$, abbiamo un pareggio oppure ha vinto A ?

"method_nfb":la densità $(T_(asso)=k)=p(1-p)^(k-1)$
la probabilità che A vince e' quindi la probabilità che A estragga un asso prima che B estragga un re
$P(A_(vi.nce))=P((T=k-1)<(T=k))=p_(asso)(1/2)^k-1+P_(re)(1-p_(re))^k$

Sono d'accordo, ma non ho compreso la formula che hai poi scritto.

Avrei detto: $P("A vince")=P(T_{"asso"}<=T_{"re"})$ ($<$ se A non vince in caso di pareggio)

Quindi $P("A vince")=\sum_{k}P(T_{"asso"}<=k|T_{"re"}=k)*P(T_{"re"}=k)$

Poi terrei conto dell'indipendenza delle estrazioni e dell'espressione della PMF e della CDF della v.a. geometrica.

[method_nfb]

"cenzo":Una domanda: ma se A e B estraggono l'asso e il re per la prima volta alla stessa estrazione $k$, abbiamo un pareggio oppure ha vinto A ?

[quote="method_nfb"]la densità $(T_(asso)=k)=p(1-p)^(k-1)$
la probabilità che A vince e' quindi la probabilità che A estragga un asso prima che B estragga un re
$P(A_(vi.nce))=P((T=k-1)<(T=k))=p_(asso)(1/2)^k-1+P_(re)(1-p_(re))^k$

Sono d'accordo, ma non ho compreso la formula che hai poi scritto.

Avrei detto: $P("A vince")=P(T_{"asso"}<=T_{"re"})$ ($<$ se A non vince in caso di pareggio)

Quindi $P("A vince")=\sum_{k}P(T_{"asso"}<=k|T_{"re"}=k)*P(T_{"re"}=k)$

Poi terrei conto dell'indipendenza delle estrazioni e dell'espressione della PMF e della CDF della v.a. geometrica.[/quote]

Scusa guardavo un esercizio proposto da matematicamente.it e stavo provando a fare lo svolgimento con lo stesso metodo...ma ho un punto buio, nn riesco a capire il passaggio nella (3) nn capisco come viene $-(5/12)^(j-1)$

l esercizio si trova in questa pagina https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... 007061392/
qualcuno puo' darmi una mano grazie in asnticipo

[method_nfb]

il passaggio dell esercizio l ho capito ma cercando di svolgere l esercizio che ho proprosto con lo svolgimento del link nn riesco ...mi chiedevo se qualcuno era in grado di farmi vedere lo svolgimento. grazie ciao a tutti

[cenzo1]

Se sei d'accordo con questa espressione:

"cenzo":Avrei detto: $P("A vince")=P(T_{"asso"}<=T_{"re"})$ ($<$ se A non vince in caso di pareggio)

Quindi $P("A vince")=\sum_{k}P(T_{"asso"}<=k|T_{"re"}=k)*P(T_{"re"}=k)$

Poi terrei conto dell'indipendenza delle estrazioni e dell'espressione della PMF e della CDF della v.a. geometrica.

allora, per l'indipendenza delle estrazioni (con reimmissione) di A e B possiamo scrivere:
$P("A vince")=\sum_{k=1}^{\infty}P(T_{"asso"}<=k)*P(T_{"re"}=k)$

Ora $P(T_{"re"}=k)$ è la funzione massa di probabilità (o se vuoi densità discreta) della geometrica (l'avevi già scritta anche tu nel primo post)
mentre $P(T_{"asso"}<=k)$ è la funzione di ripartizione della geometrica (con lo stesso parametro $p$) che pure dovresti conoscere dalla teoria.

Prova ad assemblare i due pezzi e posta i tuoi calcoli (almeno provaci!)..