Esercizio v.a. e densità pdi probabilità congiunta
Ciao a tutti, mi sto apprestando a fare l'esame di statistica e vorrei il vostro aiuto per sapere se alcuni esercizi che ho risolto, li ho risolti correttamente!
Ho due variabili aleatorie [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex] e so che hanno probabilità congiunta [tex]p_{X,Y}\left ( x,y \right )[/tex] tale che il punto [tex](X,Y)[/tex] del piano cartesiano è uniformemente distribuito all'interno del cerchio unitario.
Viene richiesto:
1. Qual è la densità di probabilità congiunta [tex]p_{X,Y}\left ( x,y \right )[/tex] e quali sono le densità marginali [tex]p_{X}\left ( x \right )[/tex] e [tex]p_{Y}\left ( y \right )[/tex]?
Per questo punto parto dall'assunto che [tex]\int_{\mathbb{R}^{2}} p_{X,Y}\left ( x,y \right ) dx dy = 1[/tex] e che risulterà, da traccia, che
[tex]p_{X,Y}\left ( x,y \right)
\left\{\begin{matrix}
C \; se \;(X,Y)\in D
\\0 \; altrimenti
\end{matrix}\right.[/tex]
con [tex]D=\left \{ \left ( X,Y \right ) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}< 1 \right \}[/tex]
In questo modo calcolo [tex]\int_{D} C \;dx dy=C \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\rho \;d\rho d\vartheta[/tex] per poi eguagliare il risultato ad [tex]1[/tex].
Il secondo integrale è praticamente l'area del cerchio unitario.
In questo modo mi risulta
[tex]C\pi =1 \Rightarrow C=\frac{1}{\pi}\Rightarrow p_{X,Y}\left ( x,y \right)
\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{\pi} \;\; se \;(X,Y)\in D
\\0 \; altrimenti
\end{matrix}\right.[/tex]
Quanti errori ho fatto?
Grazie a tutti!
Ho due variabili aleatorie [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex] e so che hanno probabilità congiunta [tex]p_{X,Y}\left ( x,y \right )[/tex] tale che il punto [tex](X,Y)[/tex] del piano cartesiano è uniformemente distribuito all'interno del cerchio unitario.
Viene richiesto:
1. Qual è la densità di probabilità congiunta [tex]p_{X,Y}\left ( x,y \right )[/tex] e quali sono le densità marginali [tex]p_{X}\left ( x \right )[/tex] e [tex]p_{Y}\left ( y \right )[/tex]?
Per questo punto parto dall'assunto che [tex]\int_{\mathbb{R}^{2}} p_{X,Y}\left ( x,y \right ) dx dy = 1[/tex] e che risulterà, da traccia, che
[tex]p_{X,Y}\left ( x,y \right)
\left\{\begin{matrix}
C \; se \;(X,Y)\in D
\\0 \; altrimenti
\end{matrix}\right.[/tex]
con [tex]D=\left \{ \left ( X,Y \right ) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}< 1 \right \}[/tex]
In questo modo calcolo [tex]\int_{D} C \;dx dy=C \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\rho \;d\rho d\vartheta[/tex] per poi eguagliare il risultato ad [tex]1[/tex].
Il secondo integrale è praticamente l'area del cerchio unitario.
In questo modo mi risulta
[tex]C\pi =1 \Rightarrow C=\frac{1}{\pi}\Rightarrow p_{X,Y}\left ( x,y \right)
\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{\pi} \;\; se \;(X,Y)\in D
\\0 \; altrimenti
\end{matrix}\right.[/tex]
Quanti errori ho fatto?
Grazie a tutti!
Risposte
Fin qui va tutto bene, quando la distribuzione è uniforme la densità è sempre $1/(area(D))$ nei punti del dominio e nulla altrove.
Ottimo! Grazie del parere.
Mi ero dimenticato poi di scrivere la seconda risposta sempre del primo quesito, dove mi chiede le densità marginali:
[tex]p_{X}(x)=\int_{-1}^{1}p_{X,Y}(x,y) \; dy = \;\frac{2}{\pi}[/tex]
[tex]p_{Y}(y)=\int_{-1}^{1}p_{X,Y}(x,y) \; dx = \;\frac{2}{\pi}[/tex]
Giusto?
Nel secondo quesito chiede di calcolare il valore atteso e la varianza, rispettivamente di [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex]
Vado quindi a calcolarmi il valore atteso, come da definizione
[tex]E\left [ X \right ]=\mu _{X}=\int_{-1}^{1}x\;p_{X}(x)\;dx=0[/tex]
trovandomi zero. Stessa cosa mi risulterà per il valore atteso di [tex]Y[/tex]
Nel terzo e ultimo quesito mi chiede di calcolare [tex]E\left [ XY \right ][/tex] e chiarire se le v.a. sono indipendenti.
Vado quindi a calcolare
[tex]\int_{D}xy\;p_{X,Y}(x,y)\; dxdy[/tex]
opero un cambio di coordinate
[tex]\left\{\begin{matrix}
x\rightarrow \rho\; cos(\vartheta )
\\
y\rightarrow \rho\; sin(\vartheta )
\end{matrix}\right.
\wedge
dxdy\rightarrow \rho\; d\rho d\vartheta[/tex]
quindi mi riuslterà
[tex]\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\rho ^{3}\;cos(\vartheta )sin(\vartheta )\;d\rho d\vartheta =0=E\left [ XY \right ][/tex]
Non vi nascondo che tutti questi zero...mi preoccupano
Che ne dite?
Mi ero dimenticato poi di scrivere la seconda risposta sempre del primo quesito, dove mi chiede le densità marginali:
[tex]p_{X}(x)=\int_{-1}^{1}p_{X,Y}(x,y) \; dy = \;\frac{2}{\pi}[/tex]
[tex]p_{Y}(y)=\int_{-1}^{1}p_{X,Y}(x,y) \; dx = \;\frac{2}{\pi}[/tex]
Giusto?
Nel secondo quesito chiede di calcolare il valore atteso e la varianza, rispettivamente di [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex]
Vado quindi a calcolarmi il valore atteso, come da definizione
[tex]E\left [ X \right ]=\mu _{X}=\int_{-1}^{1}x\;p_{X}(x)\;dx=0[/tex]
trovandomi zero. Stessa cosa mi risulterà per il valore atteso di [tex]Y[/tex]
Nel terzo e ultimo quesito mi chiede di calcolare [tex]E\left [ XY \right ][/tex] e chiarire se le v.a. sono indipendenti.
Vado quindi a calcolare
[tex]\int_{D}xy\;p_{X,Y}(x,y)\; dxdy[/tex]
opero un cambio di coordinate
[tex]\left\{\begin{matrix}
x\rightarrow \rho\; cos(\vartheta )
\\
y\rightarrow \rho\; sin(\vartheta )
\end{matrix}\right.
\wedge
dxdy\rightarrow \rho\; d\rho d\vartheta[/tex]
quindi mi riuslterà
[tex]\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\rho ^{3}\;cos(\vartheta )sin(\vartheta )\;d\rho d\vartheta =0=E\left [ XY \right ][/tex]
Non vi nascondo che tutti questi zero...mi preoccupano
Che ne dite?
Calcolare le densità marginali in realtà è più complicato... ricordati che siamo all'interno di un cerchio quindi gli estremi di integrazione non sono costanti (come se fosse un quadrato)
ad esempio la prima si fa $p_X(x)=\int_-sqrt(1-x^2)^sqrt(1-x^2)p_(X,Y)dy$
ad esempio la prima si fa $p_X(x)=\int_-sqrt(1-x^2)^sqrt(1-x^2)p_(X,Y)dy$
Giusto! Che tonto...
quindi, dovrebbe risultare
[tex]p_{X}(x)=\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}p_{X,Y}(x,y) \; dy = \;\frac{2}{\pi}\;\sqrt{1-x^{2}}[/tex]
[tex]p_{Y}(y)=\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}}p_{X,Y}(x,y) \; dx = \;\frac{2}{\pi}\;\sqrt{1-y^{2}}[/tex]
E allo stesso modo mi cambiano gli estremi di integrazione per il calcolo di [tex]E\left [ X \right ][/tex], [tex]E\left [ Y \right ][/tex], [tex]Var\left [ X \right ][/tex] e [tex]Var\left [ Y \right ][/tex]?
Nal calcolo di [tex]E\left [ XY \right ][/tex] però dovrebbero andare bene gli estremi con il cambio di coordinate. O no?
quindi, dovrebbe risultare
[tex]p_{X}(x)=\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}p_{X,Y}(x,y) \; dy = \;\frac{2}{\pi}\;\sqrt{1-x^{2}}[/tex]
[tex]p_{Y}(y)=\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}}p_{X,Y}(x,y) \; dx = \;\frac{2}{\pi}\;\sqrt{1-y^{2}}[/tex]
E allo stesso modo mi cambiano gli estremi di integrazione per il calcolo di [tex]E\left [ X \right ][/tex], [tex]E\left [ Y \right ][/tex], [tex]Var\left [ X \right ][/tex] e [tex]Var\left [ Y \right ][/tex]?
Nal calcolo di [tex]E\left [ XY \right ][/tex] però dovrebbero andare bene gli estremi con il cambio di coordinate. O no?
scriviamo bene le cose: $p_X(x)2/pisqrt(1-x^2) if x in (-1,1)$ ed è nulla altrove, quindi gli estremi per calcolare il valore atteso sono $-1$ e $1$
il calcolo di $E[XY]$ dovrebbe andar bene quello di prima
il calcolo di $E[XY]$ dovrebbe andar bene quello di prima
Ti ringrazio molto per l'aiuto che mi hai dato.
Ora è più chiaro.
Poichè la probabilità congiunta è dipendente sia da [tex]X[/tex] che da [tex]Y[/tex], gli estremi di integrazione per le marginali sono dipendenti da $X$ o da $Y$, a seconda di quale calcoliamo.
Mentre per il valore atteso della singola variabile si va a vedere il dominio della sola variabile.
Ho capito bene?
Ora è più chiaro.
Poichè la probabilità congiunta è dipendente sia da [tex]X[/tex] che da [tex]Y[/tex], gli estremi di integrazione per le marginali sono dipendenti da $X$ o da $Y$, a seconda di quale calcoliamo.
Mentre per il valore atteso della singola variabile si va a vedere il dominio della sola variabile.
Ho capito bene?
si esatto, in questo caso è sempre $(-1,1)$ perchè il dominio è simmetrico ma in generale le densità marginali possono essere completamente diverse tra loro
Comunque si poteva dire subito che le v.a. non sono indipendenti perchè il dominio della congiunta non è un prodotto cartesiano
Comunque si poteva dire subito che le v.a. non sono indipendenti perchè il dominio della congiunta non è un prodotto cartesiano
Grazie mille, mi sei stato di grande aiuto!
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