Esercizio - v.a. discrete e densità

[fabione1]

Ciao ragazzi,

vorrei capire e con voi e risolvere questo facile esercizio, presente sul libro: "calcolo della probl. e stat. | paolo baldi | pag. 40 | esempio 2.22"

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Una moneta e un dado vengono lanciati insieme ripetutamente.
Qual è la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6?
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La soluzione inizia con il dire che:
Se "T" è il primo istante in cui il dado dà 6 ed "S" è il primo istante in cui la moneta dà testa,
sappiamo che "T-1" e "S-1" sono v.a. geometriche di parametro 1/6 e 1/2 rispettivamente.


Beh.. io già qua, ho le prime difficoltà....
1. perchè sappiamo che T-1 ed S-1 sono v.a. geometriche?
2. perchè proprio T-1.. e non T, per esempio?

[cenzo1]

"fabione":Una moneta e un dado vengono lanciati insieme ripetutamente.
Qual è la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6?

Io ragionerei così. Diciamo di essere al generico lancio $k$.
La probabilità che non sia uscito ancora un "6" è $(5/6)^k$
La probabilità che non è uscita testa nei primi $k-1$ lanci ed esca testa (per la prima volta) al lancio $k$ è $(1/2)^(k-1)*1/2=(1/2)^k$
Quindi la probabilità congiunta che al lancio $k$ esca testa per la prima volta e non sia ancora uscito il "6" è allora: $(1/2)^k*(5/6)^k$
Per rispondere alla domanda del quesito basta allora sommare la sudetta probabilità per ogni $k$:
P=$sum_(k=1)^(\infty)(1/2)^k*(5/6)^k=sum_(k=1)^(\infty)(5/12)^k=5/12*sum_(n=0)^(\infty)(5/12)^n=5/12*1/(1-5/12)=5/7$
Analogamente puoi calcolare la probabilità che il dado dia "6" prima che la moneta dia testa e la probabilità che "6" e testa si presentino insieme (dovrebbe venire in entrambi i casi $1/7$).

[fabione1]

grazie, provo a capirci qualcosa!