Esercizio v.a discrete

[marcoderamo93]

Buongiorno
mi sono imbattuto nel seguente esercizio
A,B estraggono due carte ciascuno da un mazzo formato da due J, due K e due
Q. Inizia A e vince chi estrae almeno un J, se l'avversario non ne estrae nessuno,
altrimenti la partita è patta.
(a) Qual'e la probabilità di vincita di A, di B e di un pareggio
(b) Si ripete la partita finchè uno dei giocatori non vince ed sia D la durata del
gioco. Che distribuzione segue D? Qual'e E(D)?

Per il punto a) ho fatto nel seguente modo
Attraverso la formula delle probabilità totali
$ P(Aok)= $ P(BnoJ|Apesca1J)P(Apesca1J)+P(BnoJ|Apesca2J)P(Apesca2J) $
$ $ P(Apesca1J)=(( (2), (1) ) ( (4), (1) ))/(( (6), (2) ) $
$ P(BnoJ|Apesca2J)=1 $
$ P(Apesca1J)=(( (2), (1) ) ( (4), (1) ))/(( (6), (2) ) $
$ P(BnoJ|Apesca1J)=(( (1), (0) ) ( (3), (2) ))/(( (4), (2) ) $
cosi via....
Avrà una probabilità p1=1/3(uguale per B vincente e pareggio)

b)Devo calcolare $ P(D=k) $ ,avevo osservato che indicando con X la variabile aleatoria

X={1 successo se A o B vincono ((p1+p2)=2/3), 0 altrimenti (1/3)}
quindi ho detto che D segue una geometrica(2/3),dalla somma, e la E(D)=3/2.

Ma riflettendo in un secondo momento non posso dire che A+B= geometrica(1/3)+geometrica(1/3) perchè D è un tempo unico non la somma di due tempi. Quindi come risolvere questo secondo quesito??
Grazie a tutti

[Lo_zio_Tom]

"Sasuke93": Quindi come risolvere questo secondo quesito??

ovviamente D è distribuita come un geometrica e il parametro di successo è il complementare alla probabilità di pareggio.
Il punto 1 non l'ho controllato

[marcoderamo93]

Ciao tommik grazie per la celere risposta.Per il punto 1 se il ragionamento è corretto il risultato dovrebbe essere corretto(l ho rifatto due volte). Quindi per il punto due è giusto il mio primo procedimento?

[Lo_zio_Tom]

sì mi pare tutto a posto...Per calcolare la probabilità di pareggio, farei semplicemente così: nessuno estrae un J oppure ne estraggono uno per uno

$(((4),(4)))/(((6),(4)))+(((2),(1))((4),(1)))/(((6),(2)))\cdot(((1),(1))((3),(1)))/(((4),(2)))=1/3$

Senza ulteriori calcoli, si può subito dire che la probabilità di A e B è la stessa...quindi $1/3$ ad entrambi.

Ovviamente la variabile D: # di partite giocate segue una distribuzione geometrica $D~Ge(2/3)$ per $d=1,2,....$ di media $1/p=3/2$


Per completezza devo anche rilevare che invece questo ragionamento è sbagliato:

"Sasuke93":
Ma riflettendo in un secondo momento non posso dire che A+B= geometrica(1/3)+geometrica(1/3)

Infatti la distribuzione del numero delle partite di A come quello di B sono sempre geometriche di parametro $2/3$

[marcoderamo93]

Perfetto nella spiegazione. Colgo l occasione per ringraziarti davvero,vedo che intervieni sempre tu nei miei post.
Buona giornata a presto