Esercizio trasformazione v. a.

[federicobologna1]

Ciao, sono rimasto impantanato in esercizio sulle trasformazioni di variabile, l'esercizio chiede: siano $A=\cos X $e $B=\sin X$, dove \(\displaystyle X \sim U(-\pi;\pi)\), si determini $Cov(A,B)$. Calcolando $f_A(x)=f_x(g^{-1}(x)) |\frac{d}{dx}g^{-1}(x)|1_{g(I)}(x)$, dove $g(x)=\cos x$, trovo come unico problema calcolare $g(I)=\{cos x : x \in (-\pi;\pi)\}$ dove I è l'intervallo della Uniforme. Con questa trasformazione mi ricavo che $f_A(x)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-x^2}}$, tuttavia manca l'indicatore che son sicuro renda le due funzioni di densità diverse in quanto saranno intervalli diversi, ma non ho proprio idea di come trovarli, in quanto $\cos -\pi=\cos\pi=-1$. Se invece fosse correttoa avrei una media che è uguale a 0 sia per A sia per B medesimi estremi di integrazione, che mi sembra un po strano. Inoltre non ho idea di come procedere per $EAB$, non avendo dimostrato l'indipendenza non posso sapere se $f_{(A,B)}(x,x)=f_{A}(x)f_{B}(x)$, oppure è così e mi sono perso un passaggio?
Stavo pensando anche di provare con $P(A Grazie mille a chiunque abbia tempo per guardarci, spero di essere stato chiaro.

[Lo_zio_Tom]

Non è un esercizio sulla trasformazione di variabili aleatorie. Per calcolare la covarianza richiesta basta la definizione.


$Cov(A,B)=mathbb(E)(senX cosX)-mathbb(E)(senX)mathbb(E)(cosX)=$

$=1/(2pi)[int_(-pi)^(pi)senxcosx dx- int_(-pi)^(pi)senx dx int_(-pi)^(pi)cosx dx]=0$

(Senza fare alcun calcolo).

Le trasformazioni di variabile richieste le avrò postate almeno un paio di volte sul forum ...usa la funzione cerca se sei interessato alla soluzione

[federicobologna1]

aaah vero, la soluzione mi era davanti agli occhi ma non c'avevo proprio pensato. Grazie mille!!!! Mi ero proprio intestardito con la trasformazione...