Esercizio testa o croce

[97.russo]

Due persone giocano indipendentemente a testa e croce ( con probabilità di successo p per entrambi). Calcolare la probabilità che il primo successo del primo avvenga contemporaneamente al secondo successo del secondo.

La probabilità che il primo vinca per la prima volta al k-esimo lancio è $ pq^(k-1) $ mentre la probabilità che il secondo vinca per la seconda volta al k-esimo lancio è (secondo le soluzioni del mio prof) $ (k-1)p^2q^(k-1) $ $ (k-1)p^2q^(k-1) $ ma non riesco a spiegarmi il perchè, non dovrebbe essere $ (k-1)p^2q^(k-2) $ cioè se i lanci sono $ k $, sommando gli esponenti di $ p $ e $ q $ non si dovrebbe avere $ k $ ? Mentre così viene $ 2+k-1=k+1 $

[cooper1]

anche io propenderei per la tua soluzione in quanto mi sembra si tratti di una binomiale negativa (che conta il numero di prove per ottenere r successi) che ha legge $p_X (k)=((k-1),(r-1))p^r q^(k-r)$ ($k=r,r+1,...$) che con $k=k ^^ r=2$ restituisce esattamente il tuo risultato.

[Lo_zio_Tom]

È un innocuo errore di stompa.

Alla fine dei conti "conta " il risultato finale che si trova facilmente:

$sum_(x=2)^(oo)p^3(x-1)q^(2x-3)=(p^3q)/(1-q^2)^2$

E comunque che la soluzione che ti ho indicato è corretta è facilmente dimostrabile, anche senza conoscere le distribuzioni.

Il tizio A deve fallire $(x-1)$ tentativi di seguito prima di un successo quindi $pq^(x-1)$
Il tizio B nei primi $(x-1)$ tentativi deve aver avuto un solo successo $rarr ((x-1),(1))pq^(x-2)$... e deve indovinare il successivo quindi $(x-1)p^2q^(x-2)$

Ora moltiplichi le due probabilità per l'indipendenza e trovi

$p^3(x-1)q^(2x-3)$

Per risolvere devi sommare le probabilità di tutti gli eventi favorevoli ovvero

$p^3sum_(x=2)^(oo)(x-1)q^(2x-3)=p^3S$

Dove:

$S=q+2q^3+3q^5+4q^7+...$

$Sq^2=q^3+2q^5+3q^7+...$

Sottraggo membro a membro

$S(1-q^2)=q+q^3+q^5+....=q/(1-q^2)$

Da cui $S=q/(1-q^2)^2$

Che dimostra quanto asserito

[97.russo]

"arnett":Anche io mi trovo con il tuo risultato. Non potrebbe essere semplicemente un errore di scrittura?

[Comunque col risultato del tuo prof viene $2+2+k-1+k-1=2(k+1)$]

Ho fatto un errore di battitura la soluzione proposta dal prof era solo $ (k-1)p^2q^(k-1) $

[97.russo]

"tommik":È un innocuo errore di stompa.

Alla fine dei conti "conta " il risultato finale che si trova facilmente:

$sum_(x=2)^(oo)p^3(x-1)q^(2x-3)=(p^3q)/(1-q^2)^2$

Anche qui la soluzione proposta dal mio prof è differente:
$ sum_(x=2)^(oo)p^3(x-1)q^(2x-2)=(p^3q)/(1-q^2)$

[cooper1]

oltretutto il calcolo del professore è proprio sbagliato. anche sommando quello che ha ottenuto lui, non risulta quello che ha scritto

[97.russo]

Per carità non volevo mettere in dubbio quello che hai scritto, era un osservazione come per dire "ok, anche il resto viene diverso quindi, potrebbe aver sbagliato proprio impostazione"