Esercizio teorico su densità e variabili aleatorie

[feddy]

Ciao a tutti, l'esercizio è il seguente:

Sia $X ∼ Ge(p)$, si dimostri che la densità discreta associata è una densità.
Si trovi il valore $n in mathbb{N}$ per cui la densità associata assume il valore massimo e si dia una rappresentazione grafica della densità associata per alcuni valori di $p in [0, 1]$.

Proof.

1)
$ X ∼ Ge(p) $ significa che \( \mathbb{P}(X=k) =p(x) = \begin{cases} p(1-p)k \\ 0 \end{cases} \)
Per mostrare che la densità discreta associata è una densità devo mostrare che $sum_{i=1}^{infty}p(x_i)=1$.

Nel mio caso: $sum_{k=1}^{infty} p(1-p)^k=p*sum_{k=1}^{infty} (1-p)^k=p*1/(1-(1-p))=1$, dove ho usato il fatto che per $|q|<1$ si ha $sum_{k=1}^{infty}q^k=1/(1-q)$


2)Per determinare il massimo $n in \mathbb{N}$ tale per cui la densità discreta associata assume valore massimo, basta pensare che essendo la $Ge(p)$ una funzione decrescente di $n$, il valore massimo è assunto per $n=0$.

E' tutto corretto?

[Lo_zio_Tom]

C'è un errore. Hai definito la geometrica su $x=1,2.... $ Quindi la pdf è $pq^(x-1) $. Come l'hai scritta tu non viene 1.

Quindi il Max è in $x=1$

È possibile anche definirla su $x=0,1,....$

Tu hai fatto un mix....

[feddy]

Umm... quella che intendi tu io (o meglio il Baldi), la chiama $GeM(p)$, cioè densità geometrica modificata (che alla fine è quella che si usa sempre). Mentre per $Ge(p)$ intendo proprio quella scritta nella prima riga della soluzione.

[Lo_zio_Tom]

Quella che hai scritto tu è definita per $x=0,1,.... $ ma poi nella somma hai messo $sum_(i=1)^(oo) $ e così le somme non tornano

"feddy":
... dove ho usato il fatto che per $|q|<1$ si ha $sum_{k=1}^{infty}q^k=1/(1-q)$

$sum_(k=1)^(oo)q^k=q/(1-q)$

[feddy]

Ora mi è tutto chiaro, grazie tommik