Esercizio teorico densità di variabile aletoria di minimo
Buongiorno, sono alle prese con il seguente problema, e vorrei sapere se la mia risposta è corretta.
Dimostrazione:
Per ricavare la legge di $W$ calcolo prima la funzione di ripartizione $F$ e poi da questa ricavo la densità. In particolare ho che $1-F_W(k)=\mathbb{P}(W>k)$.
Devo quindi calcolare $\mathbb{P}(W>k)=\mathbb{P}(cap_{i=1}^{N} X_i>k )=\prod_{i = 1}^{N} (mathbb{P}(X_i>k))=(1-p)*...*(1-p)=(1-p)^n$.
Pertanto ho che $F_W(k)=1-(1-p)^N$, e poiché la funzione di ripartizione caratterizza la densità, ho che $W$ segue ancora una legge geometrica di parametro $1-(1-p)^N$.
Che ne dite? E' corretto o manca qualcosa?
Dire se è vero o falso:
Siano $X_1,...,X_N$ variabili aleatorie i.i.d[nota]indipendenti identicamente distribuite[/nota] tali per cui \( X_i\sim Geom(p) \). Allora $W:=min{X_1,...,X_N}$ \( \sim \) $Geom(1-(1-p)^n)$.
Dimostrazione:
Per ricavare la legge di $W$ calcolo prima la funzione di ripartizione $F$ e poi da questa ricavo la densità. In particolare ho che $1-F_W(k)=\mathbb{P}(W>k)$.
Devo quindi calcolare $\mathbb{P}(W>k)=\mathbb{P}(cap_{i=1}^{N} X_i>k )=\prod_{i = 1}^{N} (mathbb{P}(X_i>k))=(1-p)*...*(1-p)=(1-p)^n$.
Pertanto ho che $F_W(k)=1-(1-p)^N$, e poiché la funzione di ripartizione caratterizza la densità, ho che $W$ segue ancora una legge geometrica di parametro $1-(1-p)^N$.
Che ne dite? E' corretto o manca qualcosa?
Risposte
come al solito Feddy....ragionamento corretto, si vede che sai ciò che fai...ma c'è sempre qualche piccola imperfezione...o qualche cosa che mi sfugge: nel testo hai messo $n$ e $N$ (non si capisce bene perché) ed anche nella $F_W$ c'è qualche cosa che non va dato che sembra essere indipendente da $k$ 
Comunque questa è la mia soluzione che ti assicuro essere corretta.
Supponiamo che:
1) Il campione casuale sia di ampiezza $N$.
2) $W=min(X_i)$
3) la geometrica $Ge(p)$ sia quella definita su $k=1,2,.....$ e quindi $F_(X)(k)=1-q^k$
Allora:
$P{W>w}=P{min(x)>w}=P{X_1>w;...;X_N>w}=[P{X_1>w}]^N=q^(wN)$
$F_(W)(w)=1-q^(wN)=1-(q^N)^w$
e quindi per la definizione di CDF della variabile Geometrica abbiamo che la legge di W è una geometrica di parametro
$1-q^N=1-(1-p)^N$
quindi la risposta è "VERO"
"feddy":
...Pertanto ho che $F_W(k)=1-(1-p)^N$
Comunque questa è la mia soluzione che ti assicuro essere corretta.
Supponiamo che:
1) Il campione casuale sia di ampiezza $N$.
2) $W=min(X_i)$
3) la geometrica $Ge(p)$ sia quella definita su $k=1,2,.....$ e quindi $F_(X)(k)=1-q^k$
Allora:
$P{W>w}=P{min(x)>w}=P{X_1>w;...;X_N>w}=[P{X_1>w}]^N=q^(wN)$
$F_(W)(w)=1-q^(wN)=1-(q^N)^w$
e quindi per la definizione di CDF della variabile Geometrica abbiamo che la legge di W è una geometrica di parametro
$1-q^N=1-(1-p)^N$
quindi la risposta è "VERO"
Grazie mille tommik per la risposta! Tuttavia c'è qualcosa che non mi è chiaro e non capisco.
Scusami, mi è scappato il maiuscolo $n=N$.
Non dovrebbe essere $F_X(k)=1-(1-p)^{k}$ ?
Non capisco il passaggio evidenziato. In particolare, nel caso in cui abbia correttamente intuito che $q=1-p$, non capisco perché ci sia quell'$wN$ all'esponente.
e ultima cosa:
In particolare non capisco come riesca a sparire l'$w$ all'esponente.
Ti chiedo scusa per le ripetute domande, è che ho preferito raccogliere in un unico messaggio le mie "perplessità".
[Mode rompi******* OFF]
"tommik":
nel testo hai messo $n$ e $N$ (non si capisce bene perché) ed anche nella $F_W$ c'è qualche cosa che non va dato che sembra essere indipendente da $k$
Scusami, mi è scappato il maiuscolo $n=N$.
"tommik":
3) la geometrica Ge(p) sia quella definita su k=1,2,..... e quindi FX(k)=1−qk
Non dovrebbe essere $F_X(k)=1-(1-p)^{k}$ ?
Per $q$ intendi $1-p$ mi pare di capire, spero di averci azzeccato.
"tommik":
$P{W>w}=P{min(x)>w}=P{X1>w;...;XN>w}=[P{X1>w}]N=q^{wN}$
$FW(w)=1−qwN=1−(q^N)^w$
Non capisco il passaggio evidenziato. In particolare, nel caso in cui abbia correttamente intuito che $q=1-p$, non capisco perché ci sia quell'$wN$ all'esponente.
e ultima cosa:
"tommik":Non riesco a trovare cosa significhi CDF, anche se sicuramente posso arrivarci, ora non riesco a vederlo.
per la definizione di CDF
In particolare non capisco come riesca a sparire l'$w$ all'esponente.
Ti chiedo scusa per le ripetute domande, è che ho preferito raccogliere in un unico messaggio le mie "perplessità".
[Mode rompi******* OFF]
Sì intendo $q=1-p $. Ho usato q per alleggerire la notazione.
Il w all'esponente...per forza ci va... è molto semplice.
Per l'ndipendenza hai che
$P (W>w)=P (X _1>w)P (X_2>w)...P (X_N>w) =[P (X_1>w)]^N=[(1-p)^w]^N $
Ora puoi invertire gli esponenti e calcolare
$P (W
E riconoscere in questa espressione la funzione di ripartizione (CDF) di una geometrica di parametro
$1-(1-p)^N $
Sto scrivendo col cell....riguarda bene i passaggi e vedrai che ti tornerà tutto. Se trovi difficoltà prova a rifare i conti con $N=2$ così eviti di confonderti.
Fammi sapere
CDF=funzione di ripartizione (Cumulative Distribution Function)
Il w all'esponente...per forza ci va... è molto semplice.
Per l'ndipendenza hai che
$P (W>w)=P (X _1>w)P (X_2>w)...P (X_N>w) =[P (X_1>w)]^N=[(1-p)^w]^N $
Ora puoi invertire gli esponenti e calcolare
$P (W
E riconoscere in questa espressione la funzione di ripartizione (CDF) di una geometrica di parametro
$1-(1-p)^N $
Sto scrivendo col cell....riguarda bene i passaggi e vedrai che ti tornerà tutto. Se trovi difficoltà prova a rifare i conti con $N=2$ così eviti di confonderti.
Fammi sapere
CDF=funzione di ripartizione (Cumulative Distribution Function)
Sei stato chiarissimo, scusami per l'insistenza, grazie mille! 
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