Esercizio teorema di Bayes
Buongiorno,
avrei un problema con questo esercizio sul teorema di Bayes. Il testo è il seguente:
"In una partita di campionato la squadra casalinga A affronta la squadra ospite B. La squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal e il 63.3% di subire uno o più goal; la squadra B vanta il 55.6% di segnare uno o più goal e l'80% di subire uno o più goal. Considerando che i goal realizzati finora da una squadra sono influenzati da quelli subiti dall'avversario di turno e, viceversa, considerando che i goal subiti finora da una squadra sono influenzati da quelli realizzati dall'altra, calcola:
a) le probabilità che entrambe le squadre facciano almeno un goal ciascuna
b) le probabilità che una delle due squadre non faccia alcun goal."
Ora, credo che il mio problema sia interpretare una frase in italiano e tradurla nella corrispettiva formula matematica. Non so, ma il testo mi sembra un po' sibillino e, fra l'altro, se non fosse per il fatto che il testo richiede di risolvere il problema tramite il teorema di Bayes, io avrei semplicemente considerato il prodotto delle probabilità di due eventi indipendenti senza considerare condizionamenti.
Comunque ho approcciato il problema così e non so se stia bene:
Ho definito:
$A_f$ l'evento "la squadra $A$ fa (la $f$ al pedice) più di 1 goal"
$B_f$ l'evento "la squadra $B$ fa (la $f$ al pedice) più di 1 goal"
$A_s$ l'evento "la squadra $A$ subisce (la $s$ al pedice) più di 1 goal"
$B_s$ l'evento "la squadra $B$ subisce (la $s$ al pedice) più di 1 goal"
Credo di capire che le probabilità assegnate dal testo come dati siano le probabilità condizionate (però non capisco se il condizionamento si riferisca alle partite passate e se valga anche per la partita in esame). Quindi:
$P(A_f|B_s)=0.714$
$P(A_s|B_f)=0.633$
$P(B_f|A_s)=0.556$
$P(B_s|A_f)=0.8$
Se la definizione è giusta, credo a questo punto che gli eventi di cui mi interessa calcolare la probabilità siano le intersezioni della forma generale $P(E_1,E_2)$, e allora, visto che a me serve (punto a) la probabilità che entrambe le squadre segnino almeno un goal:
$P[(A_f,B_s)\cap(B_f,A_s)]=P(A_f,B_s)P(B_f,A_s)$
Determino i due elementi tramite il teorema di Bayes:
$P(A_f|B_s)=\frac{P(A_f,B_s)}{P(B_s)}=\frac{P(A_f,B_s)}{P(B_s|A_f)}$
cioè
$0.714=\frac{P(A_f, B_s)}{0.8}$ che implica $P(A_f, B_s) = 0.714*0.8=0.5712$ ossia il $57.12%$
Con lo stesso ragionamento, ma invertendo gli eventi, ottengo che:
$P(B_f, A_s)=P(B_f|A_s)*P(A_s|B_f)=0.556*0.633=0.3519$ ossia il $35.19%$.
Quindi a me serviva:
$P[(A_f,B_s)\cap(B_f,A_s)]=P(A_f,B_s)P(B_f,A_s)=0.5712*0.3519=0.201$ cioè il $20.1%$
Chiaramente per il punto b, posto che questi risultati siano corretti, si ragiona in termini di probabilità complementari, ossia:
$[1-P(A_f,B_s)][P(B_f,A_s)]+[P(A_f,B_s)][1-P(B_f,A_s)]=0.4288*0.3519+0.5712*0.6481=0.5211=52.11%$
In definitiva, se ho sbagliato qualcosa, dove ho sbagliato? E, soprattutto, perché? Non sono affatto sicuro dei miei ragionamenti.
Grazie!
avrei un problema con questo esercizio sul teorema di Bayes. Il testo è il seguente:
"In una partita di campionato la squadra casalinga A affronta la squadra ospite B. La squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal e il 63.3% di subire uno o più goal; la squadra B vanta il 55.6% di segnare uno o più goal e l'80% di subire uno o più goal. Considerando che i goal realizzati finora da una squadra sono influenzati da quelli subiti dall'avversario di turno e, viceversa, considerando che i goal subiti finora da una squadra sono influenzati da quelli realizzati dall'altra, calcola:
a) le probabilità che entrambe le squadre facciano almeno un goal ciascuna
b) le probabilità che una delle due squadre non faccia alcun goal."
Ora, credo che il mio problema sia interpretare una frase in italiano e tradurla nella corrispettiva formula matematica. Non so, ma il testo mi sembra un po' sibillino e, fra l'altro, se non fosse per il fatto che il testo richiede di risolvere il problema tramite il teorema di Bayes, io avrei semplicemente considerato il prodotto delle probabilità di due eventi indipendenti senza considerare condizionamenti.
Comunque ho approcciato il problema così e non so se stia bene:
Ho definito:
$A_f$ l'evento "la squadra $A$ fa (la $f$ al pedice) più di 1 goal"
$B_f$ l'evento "la squadra $B$ fa (la $f$ al pedice) più di 1 goal"
$A_s$ l'evento "la squadra $A$ subisce (la $s$ al pedice) più di 1 goal"
$B_s$ l'evento "la squadra $B$ subisce (la $s$ al pedice) più di 1 goal"
Credo di capire che le probabilità assegnate dal testo come dati siano le probabilità condizionate (però non capisco se il condizionamento si riferisca alle partite passate e se valga anche per la partita in esame). Quindi:
$P(A_f|B_s)=0.714$
$P(A_s|B_f)=0.633$
$P(B_f|A_s)=0.556$
$P(B_s|A_f)=0.8$
Se la definizione è giusta, credo a questo punto che gli eventi di cui mi interessa calcolare la probabilità siano le intersezioni della forma generale $P(E_1,E_2)$, e allora, visto che a me serve (punto a) la probabilità che entrambe le squadre segnino almeno un goal:
$P[(A_f,B_s)\cap(B_f,A_s)]=P(A_f,B_s)P(B_f,A_s)$
Determino i due elementi tramite il teorema di Bayes:
$P(A_f|B_s)=\frac{P(A_f,B_s)}{P(B_s)}=\frac{P(A_f,B_s)}{P(B_s|A_f)}$
cioè
$0.714=\frac{P(A_f, B_s)}{0.8}$ che implica $P(A_f, B_s) = 0.714*0.8=0.5712$ ossia il $57.12%$
Con lo stesso ragionamento, ma invertendo gli eventi, ottengo che:
$P(B_f, A_s)=P(B_f|A_s)*P(A_s|B_f)=0.556*0.633=0.3519$ ossia il $35.19%$.
Quindi a me serviva:
$P[(A_f,B_s)\cap(B_f,A_s)]=P(A_f,B_s)P(B_f,A_s)=0.5712*0.3519=0.201$ cioè il $20.1%$
Chiaramente per il punto b, posto che questi risultati siano corretti, si ragiona in termini di probabilità complementari, ossia:
$[1-P(A_f,B_s)][P(B_f,A_s)]+[P(A_f,B_s)][1-P(B_f,A_s)]=0.4288*0.3519+0.5712*0.6481=0.5211=52.11%$
In definitiva, se ho sbagliato qualcosa, dove ho sbagliato? E, soprattutto, perché? Non sono affatto sicuro dei miei ragionamenti.
Grazie!
Risposte
"4xy":
La squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal e il 63.3% di subire uno o più goal; la squadra B vanta il 55.6% di segnare uno o più goal e l'80% di subire uno o più goal.
Non capisco l'interazione fra il "segnare" di una squadra e il "subire" dell'altra. C'è una qualche spiegazione ufficiale nel libro / corso?
Mi dispiace ma no, ho solo il testo di quest'esercizio senza nemmeno sapere quale sia la soluzione. Come dicevo, appunto, è proprio il testo che per me non è chiarissimo, io onestamente avrei trattato il tutto come eventi indipendenti già dall'inizio, ma poi avrei avuto dati superflui. Quindi quello che ho proposto è stato l'unico modo che mi è venuto in mente per risolverlo, ma non so se abbia senso...
@ghira
Penso che si intenda semplicemente la media delle due probabilità.
Voglio dire, se una squadra segna, l'altra subisce. Non avendo altra elementi per pesare le due probabilità, si fa la media
Cordialmente, Alex
Penso che si intenda semplicemente la media delle due probabilità.
Voglio dire, se una squadra segna, l'altra subisce. Non avendo altra elementi per pesare le due probabilità, si fa la media
Cordialmente, Alex
"axpgn":
@ghira
Penso che si intenda semplicemente la media delle due probabilità.
Voglio dire, se una squadra segna, l'altra subisce. Non avendo altra elementi per pesare le due probabilità, si fa la media
Non so. Se A ha 0% di segnare e B ha 100% di subire facciamo 50%? Mi sembra un po' strano. Se hai 0% di segnare dovrebbe voler dire che non segni e basta, direi. Ma magari hai ragione. O forse usiamo il prodotto? Chi ha 0% di segnare non segna mai così. La domanda non mi sembra affatto chiara.
No, è semplice, dai, non estremizzare ... 
È il modo di ragionare di qualsiasi tifoso: se la squadra che ha il miglior attacco incontra quella con la peggior difesa, le probabilità che la prima segni un gol sono alte e viceversa la squadra con il peggior attacco quando incontra quella con la miglior difesa difficilmente segnerà ... e quando si incontrano miglior attacco contro miglior difesa (diciamo $80%$ contro $20%$) fai la media, no?
Voglio dire semplicemente che è inutile star qui a pensare chissà che per questo esercizio, sbaglierò ma secondo me, quello che il testo vuol dire è solo questo.
Cordialmente, Alex
È il modo di ragionare di qualsiasi tifoso: se la squadra che ha il miglior attacco incontra quella con la peggior difesa, le probabilità che la prima segni un gol sono alte e viceversa la squadra con il peggior attacco quando incontra quella con la miglior difesa difficilmente segnerà ... e quando si incontrano miglior attacco contro miglior difesa (diciamo $80%$ contro $20%$) fai la media, no?
Voglio dire semplicemente che è inutile star qui a pensare chissà che per questo esercizio, sbaglierò ma secondo me, quello che il testo vuol dire è solo questo.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
È il modo di ragionare di qualsiasi tifoso: se la squadra che ha il miglior attacco incontra quella con la peggior difesa, le probabilità che la prima segni un gol sono alte e viceversa la squadra con il peggior attacco quando incontra quella con la miglior difesa difficilmente segnerà ... e quando si incontrano miglior attacco contro miglior difesa (diciamo $80%$ contro $20%$) fai la media, no?
So che il calcio esiste. La mia conoscenza dell'argomento finisce più o meno lì. Se qualcuno dice "la squadra A segna almeno un gol il 100% delle volte" ma "la squadra B subisce almeno un gol il 0% delle volte" penso che le informazioni sono incoerenti. Ma se chi si intende di calcio capisce che in questa domanda bisogna fare la media, benone.
"ghira":
So che il calcio esiste.
L'avevo capito
"ghira":
Ma se chi si intende di calcio capisce che in questa domanda bisogna fare la media, benone.
Diciamo che ci sono buone probabilità che sia così
Cordialmente, Alex
Ma, quindi, l'esercizio è corretto? 
"axpgn":
Diciamo che ci sono buone probabilità che sia così
Ma "il testo richiede di risolvere il problema tramite il teorema di Bayes". Forse abbiamo torto tutti e due?
Con la media o col prodotto.. non userei Bayes qui. O non mi pare. C'è qualcosa che non sto capendo.
"ghira":
Forse abbiamo torto tutti e due?
Ah, può darsi benissimo
Io volevo semplicemente rispondere, in qualche modo, alla tua perplessità riguardante il collegamento tra le percentuali di "attacco" di una squadra rispetto a quelle di "difesa" dell'altra.
Tu, giustamente, fai notare che l'evento è uno solo: se la squadra A segna, la B subisce; però il testo ci indica due probabilità diverse per lo stesso evento; da qui la tua perplessità.
Formalmente hai ragione, però è una contraddizione che si supera facilmente come ho detto.
Penso che Bayes vada utilizzato come: "se una squadra segna, quante probabilità ci sono che segni anche l'altra?" e viceversa (e anche il contrario).
Comunque solo l'autore sa cosa voleva dire
Cordialmente, Alex
Partendo dal testo:
"In una partita di campionato la squadra casalinga A affronta la squadra ospite B. La squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal e il 63.3% di subire uno o più goal; la squadra B vanta il 55.6% di segnare uno o più goal e l'80% di subire uno o più goal. Considerando che i goal realizzati finora da una squadra sono influenzati da quelli subiti dall'avversario di turno e, viceversa, considerando che i goal subiti finora da una squadra sono influenzati da quelli realizzati dall'altra, calcola:
a) le probabilità che entrambe le squadre facciano almeno un goal ciascuna
b) le probabilità che una delle due squadre non faccia alcun goal."
Premettiamo che effettivamente si può scrivere meglio.
Penso che l'incoerenza di cui parli sia da rosolvere come segue.
1) Se A e B sono due squadre ben precise coinvolte in una partita ben precisa, allora se A ha segna con probabilità $p$ si ha che B subisce con probabilità $p$. Non c'è storia, qualunque base dati che dice altro è da rivedere.
2) Se A e B sono due squadre generiche e si ragiona di generiche partite in casa e trasferta, la situazione sembra complicarsi ma ... se A ha segna con probabilità $p$ si ha che B subisce con probabilità $p$. Come prima, non c'è storia.
Adesso io penso che il testo prima indichi A e B in senso generico come squadra di casa (A) ed ospite (B). Dopodichè passa ad un caso specifico anche se continua (qui l'ambiguità) a parlare di A e B; un po come dire $A=a$ e $B=b$ come specifici elementi degli insiemi $A$ e $B$ (che peraltro sono coincidenti).
Allora le statistiche che leggi sono specifiche di $a$ e $b$ e ci sta che siano diverse. In questo modo, ad esempio: "la squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal..."
sarebbe da leggere
"la squadra $a$ vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal...[contro la squadra $B$]"
ecc
Ad esempio se la Juve ha il 71,4% di prob di segnare almeno un goal quando gioca in casa, è da intendere come la prob che ha di segnare in casa contro un avversario generico. Se vuoi è una "probabilità media" (non so se è esattamente quello che intendeva Alex).
Non è certo la prob di segnare almeno un goal contro un avversario specifico. Infatti, salvo ipotesi molto restrittive ed irrealistiche e che soprattutto producono molti vincoli anche non immediati da vedere, quel 71,4% non è certo da intendere come una probabilità indipendente dall'avversario.
Infine riguardo:
"Considerando che i goal realizzati finora da una squadra sono influenzati da quelli subiti dall'avversario di turno e, viceversa ..."
direi che è da intendere come ciò che risulterà, in base a Bayes ed ai dati del problema, cioè non indipendenza. E' quella "l'interazione" di cui si parla e dipende dai dati del problema non da ulteriori ipotesi implicite.
"In una partita di campionato la squadra casalinga A affronta la squadra ospite B. La squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal e il 63.3% di subire uno o più goal; la squadra B vanta il 55.6% di segnare uno o più goal e l'80% di subire uno o più goal. Considerando che i goal realizzati finora da una squadra sono influenzati da quelli subiti dall'avversario di turno e, viceversa, considerando che i goal subiti finora da una squadra sono influenzati da quelli realizzati dall'altra, calcola:
a) le probabilità che entrambe le squadre facciano almeno un goal ciascuna
b) le probabilità che una delle due squadre non faccia alcun goal."
Premettiamo che effettivamente si può scrivere meglio.
"ghira":
Se qualcuno dice "la squadra A segna almeno un gol il 100% delle volte" ma "la squadra B subisce almeno un gol il 0% delle volte" penso che le informazioni sono incoerenti. Ma se chi si intende di calcio capisce che in questa domanda bisogna fare la media, benone.
Penso che l'incoerenza di cui parli sia da rosolvere come segue.
1) Se A e B sono due squadre ben precise coinvolte in una partita ben precisa, allora se A ha segna con probabilità $p$ si ha che B subisce con probabilità $p$. Non c'è storia, qualunque base dati che dice altro è da rivedere.
2) Se A e B sono due squadre generiche e si ragiona di generiche partite in casa e trasferta, la situazione sembra complicarsi ma ... se A ha segna con probabilità $p$ si ha che B subisce con probabilità $p$. Come prima, non c'è storia.
Adesso io penso che il testo prima indichi A e B in senso generico come squadra di casa (A) ed ospite (B). Dopodichè passa ad un caso specifico anche se continua (qui l'ambiguità) a parlare di A e B; un po come dire $A=a$ e $B=b$ come specifici elementi degli insiemi $A$ e $B$ (che peraltro sono coincidenti).
Allora le statistiche che leggi sono specifiche di $a$ e $b$ e ci sta che siano diverse. In questo modo, ad esempio: "la squadra A vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal..."
sarebbe da leggere
"la squadra $a$ vanta il 71.4% di probabilità di segnare uno o più goal...[contro la squadra $B$]"
ecc
Ad esempio se la Juve ha il 71,4% di prob di segnare almeno un goal quando gioca in casa, è da intendere come la prob che ha di segnare in casa contro un avversario generico. Se vuoi è una "probabilità media" (non so se è esattamente quello che intendeva Alex).
Non è certo la prob di segnare almeno un goal contro un avversario specifico. Infatti, salvo ipotesi molto restrittive ed irrealistiche e che soprattutto producono molti vincoli anche non immediati da vedere, quel 71,4% non è certo da intendere come una probabilità indipendente dall'avversario.
Infine riguardo:
"Considerando che i goal realizzati finora da una squadra sono influenzati da quelli subiti dall'avversario di turno e, viceversa ..."
direi che è da intendere come ciò che risulterà, in base a Bayes ed ai dati del problema, cioè non indipendenza. E' quella "l'interazione" di cui si parla e dipende dai dati del problema non da ulteriori ipotesi implicite.
L'hai preso troppo sul serio
Battute a parte, io la vedo così ...
Tu dici
Vero. Ma questo è proprio quello che ti chiede il problema.
Ovvero le due probabilità (% attacco di A e % difesa di B prima della partita) che vengono fornite sono i dati da cui partire per ricavare $p$ di quella specifica partita $A$ vs $B$, non sono $p$.
Quanto siano validi quei dati (al fine di prevedere) non è importante, quello che viene chiesto è: $A$ segna così, $B$ subisce così, quant'è la probabilità che $A$ segni a $B$ ? Usate Bayes.
Cordialmente, Alex
P.S.: Chiaramente sarebbe utile capire da dove proviene il problema ...
Io, usando il buon senso invece del calcolo delle probabilità, farei la media e basta.
Voi usate Bayes (o tutto quello che ritenete sia meglio)
Battute a parte, io la vedo così ...
Tu dici
"markowitz":
... Se A e B sono due squadre ben precise coinvolte in una partita ben precisa, allora se A ha segna con probabilità $ p $ si ha che B subisce con probabilità $ p $. Non c'è storia, qualunque base dati che dice altro è da rivedere.
Vero. Ma questo è proprio quello che ti chiede il problema.
Ovvero le due probabilità (% attacco di A e % difesa di B prima della partita) che vengono fornite sono i dati da cui partire per ricavare $p$ di quella specifica partita $A$ vs $B$, non sono $p$.
Quanto siano validi quei dati (al fine di prevedere) non è importante, quello che viene chiesto è: $A$ segna così, $B$ subisce così, quant'è la probabilità che $A$ segni a $B$ ? Usate Bayes.
Cordialmente, Alex
P.S.: Chiaramente sarebbe utile capire da dove proviene il problema ...
Io, usando il buon senso invece del calcolo delle probabilità, farei la media e basta.
Voi usate Bayes (o tutto quello che ritenete sia meglio)
Forse hai ragione, l'ho presa troppo sul serio 
. Ma il fatto è che la questione mi sembra seria.
Ora mi spiego meglio con una considerazione generale.
A mio parere la lezione più importante che ci da il calcolo delle probabilità è che è molto facile fare affermazioni senza senso, quindi è anche facile fare domande senza senso. A mia esperienza ne ho ascoltate moltissime, a vole qualcuna l'ho anche letta. Naturalmente si possono anche ascoltare tante risposte senza senso, non semplicemente sbagliate. La cosa più triste è che si possono trovare anche risposte sensate, addirittura corrette, ma si finisce per non riconoscerle e/o non capirle e/o capirle male se prima non si è fatta chiarezza sulla domanda.
Per questo è fondamentale scrivere bene le domande, e poi anche leggerle bene.
In didattica il primo compito sarebbe dell'insegnante, il secondo dello studente.
La domanda in questione mi interessava non certo per la risposta ma per capire se è scritta bene o male, nel secondo caso interessa anche sapere come andava scritta. A partire dall'osservazione di ghira ho cominciato a sospettare che fosse scritta male ed infatti mi sembra sia così. Il mio discorso sopra indica come, secondo me, andrebbe riscritta la domanda per avere senso.
Dopodiche, Bayes o non Bayes, non ho neppure provato a risolvere. Infatti, proprio in base a quello che dicevo prima, se non si definisce bene la domanda non c'è proprio niente da risolvere. Quindi bisogna prima essere d'accordo sulla domanda.
Quando la domanda è ben posta si può anche cercare di dare una risposta intuitiva che prescinde dalla conoscenza di concetti più o meno sofisticati. Invece se la domanda è mal posta l'intuito non ci può dare nessuna risposta ... a meno di aver prima anche aiutato a reinquadrare la domanda.
Peraltro tutta questa storia diventa evidente proprio nei casi in cui gli strumenti da usare sono semplici, come quello in causa.
Ora tu dici:
Ma ... sicuramente sono i dati da cui partire ma il testo non parla di $p$, e fa due quesiti non uno, ed anche tu non hai definito cosa intendi con $p$. Ti sei riferito a me, ma io l'ho definito ma in un modo che renderebbe assurdo il testo. Quindi mi sembra strano che usi quell'oggetto per giusificare il testo. Peraltro in ciò che hai scritto sembra che $A$ e $B$ siano due squdre precise che giocano una specifica partita, senza altre spiegazioni. Se queste sono le premesse i dati non hanno senso. Peraltro sottolinei il concetto di "prima [della partita]" ma se la partita è solo una non esiste una probabilità "dopo" ... ci saranno solo certezze. Il problema è quale/i probabilità hai? E quale/i vuoi calcolare?
Mi sembra che qualunque tentativo di risposta, anche una semplice media, presuppone la situazione che ho descritto sopra. Altrimenti i dati offerti non hanno senso. Se vi viene in mente uno schema diverso ditemi.
Se con "validi" intendi realistici, non è quello su cui mi concentravo, se intendi coerenti/sensati ... dico che devono esserlo. Altrimenti tanto vale non rispondere.
Detto questo ... perdonatemi per la mia pesantezza
. Ma il fatto è che la questione mi sembra seria. Ora mi spiego meglio con una considerazione generale.
A mio parere la lezione più importante che ci da il calcolo delle probabilità è che è molto facile fare affermazioni senza senso, quindi è anche facile fare domande senza senso. A mia esperienza ne ho ascoltate moltissime, a vole qualcuna l'ho anche letta. Naturalmente si possono anche ascoltare tante risposte senza senso, non semplicemente sbagliate. La cosa più triste è che si possono trovare anche risposte sensate, addirittura corrette, ma si finisce per non riconoscerle e/o non capirle e/o capirle male se prima non si è fatta chiarezza sulla domanda.
Per questo è fondamentale scrivere bene le domande, e poi anche leggerle bene.
In didattica il primo compito sarebbe dell'insegnante, il secondo dello studente.
La domanda in questione mi interessava non certo per la risposta ma per capire se è scritta bene o male, nel secondo caso interessa anche sapere come andava scritta. A partire dall'osservazione di ghira ho cominciato a sospettare che fosse scritta male ed infatti mi sembra sia così. Il mio discorso sopra indica come, secondo me, andrebbe riscritta la domanda per avere senso.
Dopodiche, Bayes o non Bayes, non ho neppure provato a risolvere. Infatti, proprio in base a quello che dicevo prima, se non si definisce bene la domanda non c'è proprio niente da risolvere. Quindi bisogna prima essere d'accordo sulla domanda.
Quando la domanda è ben posta si può anche cercare di dare una risposta intuitiva che prescinde dalla conoscenza di concetti più o meno sofisticati. Invece se la domanda è mal posta l'intuito non ci può dare nessuna risposta ... a meno di aver prima anche aiutato a reinquadrare la domanda.
Peraltro tutta questa storia diventa evidente proprio nei casi in cui gli strumenti da usare sono semplici, come quello in causa.
Ora tu dici:
"axpgn":
Ovvero le due probabilità (% attacco di A e % difesa di B prima della partita) che vengono fornite sono i dati da cui partire per ricavare $ p $ di quella specifica partita $ A $ vs $ B $, non sono $ p $.
Ma ... sicuramente sono i dati da cui partire ma il testo non parla di $p$, e fa due quesiti non uno, ed anche tu non hai definito cosa intendi con $p$. Ti sei riferito a me, ma io l'ho definito ma in un modo che renderebbe assurdo il testo. Quindi mi sembra strano che usi quell'oggetto per giusificare il testo. Peraltro in ciò che hai scritto sembra che $A$ e $B$ siano due squdre precise che giocano una specifica partita, senza altre spiegazioni. Se queste sono le premesse i dati non hanno senso. Peraltro sottolinei il concetto di "prima [della partita]" ma se la partita è solo una non esiste una probabilità "dopo" ... ci saranno solo certezze. Il problema è quale/i probabilità hai? E quale/i vuoi calcolare?
Mi sembra che qualunque tentativo di risposta, anche una semplice media, presuppone la situazione che ho descritto sopra. Altrimenti i dati offerti non hanno senso. Se vi viene in mente uno schema diverso ditemi.
"axpgn":
Quanto siano validi quei dati (al fine di prevedere) non è importante, quello che viene chiesto è: $ A $ segna così, $ B $ subisce così, quant'è la probabilità che $ A $ segni a $ B $ ? Usate Bayes.
Se con "validi" intendi realistici, non è quello su cui mi concentravo, se intendi coerenti/sensati ... dico che devono esserlo. Altrimenti tanto vale non rispondere.
Detto questo ... perdonatemi per la mia pesantezza
"markowitz":
... Ma il fatto è che la questione mi sembra seria. ...
Il fatto è che prendi tutto sul serio
(tant'è che le tue risposte, mediamente, non sono corte ... ho detto "non corte", non ho detto "pesanti" )Il tuo discorso sulle "domande sensate" è più che "sensato" però ... però quante volte è capitato che da domande "stupide" nascesse poi qualcosa di importante? Direi parecchie ... se vuoi, tirandola per i capelli, anche il tuo intervento nasce a causa di una domanda sbagliata.
"markowitz":
Ma ... sicuramente sono i dati da cui partire ma il testo non parla di $ p $, e fa due quesiti non uno, ed anche tu non hai definito cosa intendi con $ p $. Ti sei riferito a me, ...
Difatti mi riferivo al tuo $p$.
Non vedo l'assurdità in quanto io ho parlato di "dati" non di "probabilità" come dice il testo.
Ovvero prima di ogni partita puoi osservare quante volte la squadra di casa ha segnato e quante volte la squadra in trasferta ha subito.
Date queste due osservazioni (indipendenti) come calcolereste la probabilità che la squadra di casa segni alias che la squadra in trasferta subisca alias $p$ ?
La mia interpretazione del testo del problema è questa (il che non implica che sia scritto bene o sia sensato
)A questa domanda, io da "non statistico" risponderei semplicemente che mi pare "sensato" fare la media di quei due dati. Niente di più.
Tu (inteso in senso "voi statistici") come risponderesti? Pensi che la mia domanda sia "sensata"?
In caso negativo, non mi offendo
Cordialmente, Alex
"4xy":
Ho definito:
$A_f$ l'evento "la squadra $A$ fa (la $f$ al pedice) più di 1 goal"
$B_f$ l'evento "la squadra $B$ fa (la $f$ al pedice) più di 1 goal"
$A_s$ l'evento "la squadra $A$ subisce (la $s$ al pedice) più di 1 goal"
$B_s$ l'evento "la squadra $B$ subisce (la $s$ al pedice) più di 1 goal"
Credo di capire che le probabilità assegnate dal testo come dati siano le probabilità condizionate (però non capisco se il condizionamento si riferisca alle partite passate e se valga anche per la partita in esame). Quindi:
$P(A_f|B_s)=0.714$
$P(A_s|B_f)=0.633$
$P(B_f|A_s)=0.556$
$P(B_s|A_f)=0.8$
Le definizioni che hai dato, le frasi, mi sembrano andare bene solo una volta aggiustate in base a quanto dicevo sopra.
In ogni caso le probabilità condizionate che hai assegnato non vanno bene perchè, ad esempio, 71,4% non è
la prob che "la squadra $A$ fa più di 1 goal" condizionato al fatto che "la squadra $B$ subisce più di 1 goal". Chi è la squadra $B$? Se fai riferimento a due squadre precise per una partita precisa avresti specificato un condizionamento tautologico e con valore assurdo. Le prob sarebbero tutte $1$.
"4xy":
Se la definizione è giusta, credo a questo punto che gli eventi di cui mi interessa calcolare la probabilità siano le intersezioni della forma generale $P(E_1,E_2)$, e allora, visto che a me serve (punto a) la probabilità che entrambe le squadre segnino almeno un goal:
$P[(A_f,B_s)\cap(B_f,A_s)]=P(A_f,B_s)P(B_f,A_s)$
Determino i due elementi tramite il teorema di Bayes:
$P(A_f|B_s)=\frac{P(A_f,B_s)}{P(B_s)}=\frac{P(A_f,B_s)}{P(B_s|A_f)}$
Quella che hai scritto sarebbe la probabilità che entrambe le squadre segnino almeno un goal solo se si insiste con la tautologia, che peraltro si riduce a $P[(A_f)\cap(B_f)]$. Inoltre quello che scrivi a destra presuppone l'indipendenza degli eventi che non si capisce da dove deduci.
Infine l'ultimo passaggio, $P(B_s)=P(B_s|A_f)$, se si ragiona di una sola partita con due squadre precise, presuppone l'indipendenza di due eventi coicidenti (vedi tautologia di prima). Assurdo.
"axpgn":
[quote="markowitz"]... Ma il fatto è che la questione mi sembra seria. ...
Il fatto è che prendi tutto sul serio
(tant'è che le tue risposte, mediamente, non sono corte ... ho detto "non corte", non ho detto "pesanti" )[/quote]
come darti torto
"axpgn":
Il tuo discorso sulle "domande sensate" è più che "sensato" però ... però quante volte è capitato che da domande "stupide" nascesse poi qualcosa di importante? Direi parecchie ... se vuoi, tirandola per i capelli, anche il tuo intervento nasce a causa di una domanda sbagliata.
Bel tema ...
"axpgn":
Non vedo l'assurdità in quanto io ho parlato di "dati" non di "probabilità" come dice il testo.
Ovvero prima di ogni partita puoi osservare quante volte la squadra di casa ha segnato e quante volte la squadra in trasferta ha subito.
Date queste due osservazioni (indipendenti) come calcolereste la probabilità che la squadra di casa segni alias che la squadra in trasferta subisca alias $p$ ?
Infatti il testo parla di probabilità senza definire bene quali prob siano, è proprio quello il problema.
La statistica di cui parli ha senso, ed a quanto ne so la usano, ma non è ciò di cui parla il testo ... ed anche tu mi sembra che ne parli solo adesso. Peraltro le due statistiche di cui parli sono proprio quelle che andrebbero a stimare quelle che io sopra avevo definito come $P(a|B)$ e $P(b|A)$ ... ma è fondamentale aver capito di che si parla.
"axpgn":
Tu (inteso in senso "voi statistici") come risponderesti? Pensi che la mia domanda sia "sensata"?
In caso negativo, non mi offendo
Stando alla mia definizione di $p$ se per essa proponi
$p = (P(a|B) + P(b|A)) /2$
che con i dati del problema sarebbe
$p = (0,714 + 0,8) /2$
dico che, almeno a prima vista, ha senso e che non serve Bayes.
Tuttavia avresti solo calcolato la prob che la squadra di casa segna almeno un goal, ovvero quella in trasferta ne subisce almeno uno (nella partita specifica a partire da dati generali).
Il problema principale non è che non usi Bayes ma che non rispondi a nessuna delle due domande poste inizialmente.
"markowitz":
La statistica di cui parli ha senso, ed a quanto ne so la usano, ma non è ciò di cui parla il testo ... ed anche tu mi sembra che ne parli solo adesso.
A dir la verità, è quello che sostengo dall'inizio
Chiaramente non mi sono fatto capire, my fault
"markowitz":
...dico che, almeno a prima vista, ha senso e che non serve Bayes.
Tuttavia avresti solo calcolato la prob che la squadra di casa segna almeno un goal, ovvero quella in trasferta ne subisce almeno uno (nella partita specifica a partire da dati generali).
Il problema principale non è che non usi Bayes ma che non rispondi a nessuna delle due domande poste inizialmente.
Non proprio, nel senso che con questi due dati calcoli la probabilità che $A$ segni a $B$ e con gli altri due dati calcoli il viceversa.
Con queste due probabilità dovresti poter rispondere alla prima domanda (moltiplichi? sommi no di sicuro)
E con le complementari anche alla seconda ... no?
Comunque, non so cosa c'entri Bayes ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Non proprio, nel senso che con questi due dati calcoli la probabilità che $ A $ segni a $ B $ e con gli altri due dati calcoli il viceversa.
Con queste due probabilità dovresti poter rispondere alla prima domanda (moltiplichi? sommi no di sicuro)
E con le complementari anche alla seconda ... no?
Comunque, non so cosa c'entri Bayes ...
Cordialmente, Alex
e ma io mi riferivo solo alla formula che ho scritto supponendo fosse quello che intendevi quando parlavi di $p$, è sembra che ho inteso bene. Non sono andato avanti.
Poi si se vai avanti con lo stesso ragionamento puoi calcolare la probabilità che $b$ segni almeno un goal ad $a$. Chiamiamoli $p_1$ e $p_2$, così ti stai avvicinando ad una soluzione.
Quindi, per rispondere al primo punto, la somma, come dici, sicuro non va bene mentre, si, potrebbe avere senso fare il prodotto $p_1 * p_2$. Quindi, si, $1-p_1*p_2$ risponderebbe al secondo punto.
Tuttavia questa soluzione è accettabile solo se gli eventi caratterizzati da $p_1$ e $p_2$ sono indipendenti. Il testo non dice nulla di chiaro su questo e, se mai, lascia intendere il contrario.
Tuttavia qui siamo già arrivati troppo avanti.
Le righe che ho scritto in questo messaggio presuppongono la validità del ragionamento che proponevo sopra, dove definivo le probabilità offerte nel testo introducendo la differenza tra $a$ ed $A$ e $b$ e $B$. Infatti il ragionamento mirava a dare un senso alla traccia non a risolverla. Infatti è impossibile risolverla se non ha senso.
Ho provato a rileggere ancora ed il testo è ambiguo ed anche facendo riferimento solo a quello che hai scritto tu (Alex) il problema resta ambiguo. Non definisci mai chiaramente, non più del testo, cosa siano $A$ e $B$ e non aderisci chiaramente alla mia proposta. Quindi resta ambigua anche la soluzione, che peraltro non hai scritto anche se hai detto qualcosa a riguardo. Notare che non è pignoleria perchè, come anticipavo, in problemi come questo i conti sono banali ma la partita si gioca sul significato da dare ai termini.
Ho intuito presto il ragionamento che hai fatto e, dai dati a disposizione, ci può anche stare.
Il mio intento era però principalmente quello di far vedere quanti casini possono nascere da domande poco chiare e dal fatto di tentare risposte senza chiarirle. Questa discussione è un esempio.
Riguardo il Teorema di Bayes, anche io non sono riuscito a capire come usarlo in modo proprio in questo problema.
Per chiudere do più chiaramente le definizioni
$a_f|B$ l'evento "una precisa squadra di casa $a$ fa almeno 1 goal ad una generica squadra ospite $B$"
$b_f|A$ l'evento "una precisa squadra ospite $b$ fa almeno 1 goal ad una generica squadra di casa $A$"
$a_s|B$ l'evento "una precisa squadra di casa $a$ subisce almeno 1 goal da una generica squadra ospite $B$"
$b_s|A$ l'evento "una precisa squadra ospite $b$ subisce almeno 1 goal da una generica squadra di casa $A$"
Quindi:
$P(a_f|B)=0.714$
$P(a_s|B)=0.633$
$P(b_f|A)=0.556$
$P(b_s|A)=0.8$
la prima domanda è:
"trovare la probabilità che una precisa squadra di casa $a$ fa almeno 1 goal ad una precisa squadra ospite $b$ e $b$ fa almeno 1 goal ad $a$". Ovvero: $P(a_f|b) \cap P(b_f|a)$
($a$ e $b$ sono note, qui dovrebbe essere ovvio)
la seconda domanda è il complementare della prima.
$a_f|B$ l'evento "una precisa squadra di casa $a$ fa almeno 1 goal ad una generica squadra ospite $B$"
$b_f|A$ l'evento "una precisa squadra ospite $b$ fa almeno 1 goal ad una generica squadra di casa $A$"
$a_s|B$ l'evento "una precisa squadra di casa $a$ subisce almeno 1 goal da una generica squadra ospite $B$"
$b_s|A$ l'evento "una precisa squadra ospite $b$ subisce almeno 1 goal da una generica squadra di casa $A$"
Quindi:
$P(a_f|B)=0.714$
$P(a_s|B)=0.633$
$P(b_f|A)=0.556$
$P(b_s|A)=0.8$
la prima domanda è:
"trovare la probabilità che una precisa squadra di casa $a$ fa almeno 1 goal ad una precisa squadra ospite $b$ e $b$ fa almeno 1 goal ad $a$". Ovvero: $P(a_f|b) \cap P(b_f|a)$
($a$ e $b$ sono note, qui dovrebbe essere ovvio)
la seconda domanda è il complementare della prima.
"markowitz":
... Non definisci mai chiaramente, non più del testo, cosa siano $A$ e $B$ e non aderisci chiaramente alla mia proposta. Quindi resta ambigua anche la soluzione, che peraltro non hai scritto anche se hai detto qualcosa a riguardo. Notare che non è pignoleria perchè, come anticipavo, in problemi come questo i conti sono banali ma la partita si gioca sul significato da dare ai termini. ...
Certamente ma il fatto è che abbiamo avuto due approcci completamente diversi: il mio, completamente informale, nel tentativo di dare un'interpretazione, diciamo così, "semplicistica" al fine di arrivare ad una soluzione quantomeno accettabile.
Mi pare chiaro che se il problema viene da qualche testo "serio" o da qualche prof, non è accettabile e sarebbe meglio lasciar perdere problemi siffatti ...
Comunque, giusto per essere chiari, sono d'accordo con
"markowitz":
Il mio intento era però principalmente quello di far vedere quanti casini possono nascere da domande poco chiare e dal fatto di tentare risposte senza chiarirle. Questa discussione è un esempio.
Cordialmente, Alex
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