Esercizio tempo di funzionamento
Buongiorno.
Sono di nuovo incastrato con un esercizio. Ringrazio chiunque possa aiutarmi. Il testo è il seguente:
Il tempo di funzionamento di un dispositivo è rappresentato dalla variabile aleatoria $X$ avente densità di probabilità (in centinaia di ore) pari a:
$f_x(x) = {(3/4(-x^2+2x), 0<=x<=2),(0, text{altrove}):}$
Detto $Y$ il tempo di funzionamento dei dispositivi che hanno già funzionato per almeno 100 ore (quindi x=1 in centinaia di ore), determinare la densità di probabilità di $Y$.
Non capisco che metodo utilizzare per la risoluzione: se andare a indagare la memoria della variabile X,facendo una cosa tipo $F_y=P(X>1+t|X>t)$ o se bisogna fare un cambio di variabile imponendo $Y=X+1$ o se sono sbagliati entrambi gli approcci
Probabilmente la soluzione è semplice e continuo a farmi troppi problemi. Ringrazio chiunque abbia voglia e tempo di aiutarmi con la soluzione.
Sono di nuovo incastrato con un esercizio. Ringrazio chiunque possa aiutarmi. Il testo è il seguente:
Il tempo di funzionamento di un dispositivo è rappresentato dalla variabile aleatoria $X$ avente densità di probabilità (in centinaia di ore) pari a:
$f_x(x) = {(3/4(-x^2+2x), 0<=x<=2),(0, text{altrove}):}$
Detto $Y$ il tempo di funzionamento dei dispositivi che hanno già funzionato per almeno 100 ore (quindi x=1 in centinaia di ore), determinare la densità di probabilità di $Y$.
Non capisco che metodo utilizzare per la risoluzione: se andare a indagare la memoria della variabile X,facendo una cosa tipo $F_y=P(X>1+t|X>t)$ o se bisogna fare un cambio di variabile imponendo $Y=X+1$ o se sono sbagliati entrambi gli approcci

Probabilmente la soluzione è semplice e continuo a farmi troppi problemi. Ringrazio chiunque abbia voglia e tempo di aiutarmi con la soluzione.
Risposte
Cià dimostriamolo va...tanto sono due passaggini in croce
Il problema è calcolare la seguente funzione di ripartizione
$F(X|X>1)=(mathbb{P}[X<=x nn X>1])/(mathbb{P}[X>1])=(mathbb{P}[11])=(F(x)-F(1))/(1-F(1))$
per avere subito la densità deriviamo ottenendo
$f(x|x>1)=(f(x))/(1-F(1))$ per $1
in poche parole è la stessa densità ma rapportata ai casi possibili, cioè quelli con una vita residua al massimo di 100 ore
Il problema è calcolare la seguente funzione di ripartizione
$F(X|X>1)=(mathbb{P}[X<=x nn X>1])/(mathbb{P}[X>1])=(mathbb{P}[1
per avere subito la densità deriviamo ottenendo
$f(x|x>1)=(f(x))/(1-F(1))$ per $1
in poche parole è la stessa densità ma rapportata ai casi possibili, cioè quelli con una vita residua al massimo di 100 ore

Ah ok perfetto quindi in pratica Y non andava considerata come una nuova variabile ma in pratica è la stessa X modificata condizionata al fatto di avere $X>1$. Grazie mille!
Se invece volessi come variabile il tempo di funzionamento rimanente dei dispositivi che hanno raggiunto le 100 ore, il procedimento è simile ma fatto sulla nuova variabile Y?
Se invece volessi come variabile il tempo di funzionamento rimanente dei dispositivi che hanno raggiunto le 100 ore, il procedimento è simile ma fatto sulla nuova variabile Y?
si ma è tutta la stessa manfrina....leggi bene cosa ho scritto e dimostrati caso per caso no??
$S(X|X>1)=...=(1-F(x))/(1-F(1))$
S significa Survival Function...che come vedi vale 1 quando $x rarr 1^+$ e va a zero quando $x=2$
EDIT: anzi ancora più banalmente basta fare
$S(X|X>1)=1-F(X|X>1)=(1-F(1)-F(x)+F(1))/(1-F(1))=(1-F(x))/(1-F(1))$
$S(X|X>1)=...=(1-F(x))/(1-F(1))$
S significa Survival Function...che come vedi vale 1 quando $x rarr 1^+$ e va a zero quando $x=2$
EDIT: anzi ancora più banalmente basta fare
$S(X|X>1)=1-F(X|X>1)=(1-F(1)-F(x)+F(1))/(1-F(1))=(1-F(x))/(1-F(1))$
Ok grazie mille! Si avevo visto l'argomento per quanto riguarda le variabile esponenziali prive di memoria e avevo un piccolo esempio su cosa succedeva nel caso di memoria (come in questo), ma ho sempre paura di usare dei ragionamenti sbagliati. Grazie mille per i chiarimenti e le dimostrazioni!