Esercizio sulle variabili casuali

[roberta.cisotti.3]

Siano $X1$ e $X2$ due variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, uniformi sul dominio $-3<=X1<=5$ e $0<=X2<=8$. Sia $Y=X1+2*X2$.

Si calcoli la funzione di ripartizione di $Y$.

Dunque, se ho compreso bene il testo le due funzioni di densità di probabilità di X1 e di X2 sono uguali a $f(x)=1/(b-a)$.
Per trovare la funzione di ripartizione di Y devo fare un integrale doppio del prodotto di f[size=75]X1[/size] e f[size=75]X2[/size]. Il problema è che non capisco quali sono gli estremi di integrazione.

L'esercizio chiede anche di calcolare media e varianza.

$E[X1]=(a+b)/2=1$

$E[X2]=(a+b)/2=4$

Quindi $E[Y]=E[X1]+2*E[X2]=1+2*4=9$.

Le varianze le calcolo come
$Var[X1]=(b-a)^2/12=64/12=16/3$
$Var[X2]=(b-a)^2/12=64/12=16/3$

Ora mi chiedo, la varianza di $Y$ la posso calcolare come ho fatto per la media?

[Lo_zio_Tom]

Per la varianza ricorda che $V(aX)=a^2V(X)$

Per gli estremi di integrazione disegna il dominio doppio (un rettangolo) e facci passare in mezzo la retta $X_1=y-2X_2$

Al variare di $y$ nel suo dominio la retta si sposta e la funzione di ripartizione sarà l'area di interesse moltiplicata per la densità (costante). Non servono gli integrali perché la distribuzione congiunta è uniforme.

Ci sono decine e decine di esercizi molto simili sul forum, guarda quelli e posta ciò che riesci a fare....al limite domani lo risolvo e ti posto la soluzione ma è molto semplice

[roberta.cisotti.3]

Per la varianza ho capito.
Per la funzione di ripartizione praticamente mi viene sempre 1, indipendentemente dagli estremi. Quindi penso di non aver capito bene.

[Lo_zio_Tom]

Ecco come viene la funzione di ripartizione


$F_Y(y)={{: ( 0 , ;y<-3 ),( (y+3)^2/2^8 , ;-3<=y<5),( 1/4+(y-5)/16 ,; 5<=y<13 ),( 1-(21-y)^2/2^8 , ;13<=y<21 ),( 1 , ;y>=21 ) :}$

...Non è difficile ma occorre prestare un minimo di attenzione; il fatto che l'integranda sia costante ti avvantaggia dato che l'integrale doppio è pari all'area di integrazione per l'integranda.

Spiegazione

La prima cosa da fare è calcolare il supporto della variabile $Y=X_1+2X_2$. Considerato il dominio in cui variano $X_1,X_2$ non è difficile rendersi conto che $y in[-3;21]$

La densità congiunta è $f_(X_1 X_2)(x_1,x_2)=1/64$ sul quadrato $[0;8]xx[-3;5]$. Facendo scorrerci all'interno la retta $X_1=y-2X_2$ [dove y lo considero un parametro], nell'intervallo $y in [-3;5)$ l'area sottesa alla retta è un triangolo di base $(y+3)/2$ e altezza $(y+3)$.
Quindi qui la FdR viene $(y+3)/2xx(y+3)xx1/2xx1/64$. Quando $y=5$ la FdR viene $F_Y(5)=1/4$

Andando avanti trovi $F_Y(5)$ più un parallelogramma di area $(y-5)xx4$ e quindi la FdR sarà

$F_Y(y)=1/4+(y-5)/16$

Nell'ultimo tratto, ovvero quando $y in [13;21)$ basterà calcolare l'area parametrica complementare al triangolino in alto a destra, ovvero $[64-(21-y)^2/4]$ e moltiplicare il tutto per la densità $f=1/64$.

Fine....per valori $y<-3 rarr F_Y=0$ mentre per valori $y>=21 rarr F_Y=1$

[ot]Che studi fai?

Questo è un esercizio davvero inutile, senza alcun significato né di Probabilità né di Statistica.
E' un ammasso informe di conti che serviva probabilmente 5000 anni fa per formare i geometri egizi che dovevano calcolare a mano il volume dei sassi necessari a costruire le piramidi....[/ot]

[roberta.cisotti.3]

Grazie infinite

[ot]Studio ingegneria biomedica[/ot]