Esercizio sulle variabili aleatorie indipendenti

[97.russo]

Non riesco a risolvere questo esercizio:
Siano X,Y due variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione esponenziale di parametro 1. Calcolare la distribuzione di X-Y

[cooper1]

esercizio un po' trabocchetto. carino devo dire!! procedo usualmente con il metodo dello Jacobiano: introduco la variabile ausiliaria $U=X$ ed imposto il sistema:
$ { ( Z=X-Y ),( U=X):} rArr { ( X=U ),( Y=U-Z ):} $
lo jacobiano associato vale -1 e dunque $|J|=1$. noto poi che essendo X,Y indipendenti la loro congiunta si fattorizza e quindi $f_(X,Y)(x,y)=e^(-x-y)$. quindi possiamo scrivere $f_(Z,U)(z,u)=e^(z-2u)I_(RR xx (0,+oo))(z,u)$
per trovare la marginale di Z integriamo rispetto all'altra variabile ma dobbiamo stare attenti perchè z può essere sia positivo che negativo!!
z positivo
$f_Z(z)=int_(z)^(+oo)e^(z-2u)du=1/2e^(-z)I_(z>0)$
z negativo
qui dobbiamo stare 2 volte attenti perchè u è positivo e quindi quando imponiamo $u-z>0$ dobbiamo ricordarci di questa cose in modo che l'integrale da considerare sia
$f_Z(z)=int_(0)^(+oo)e^(z-2u)du=1/2e^(z)I_(z<0)$
in conclusione la distribuzione di Z è
$ f_Z(z)={(1/2e^(-z),if z>0),(1/2e^z,if z<0):} $
volendo si può generalizzare anche ad esponenziali con parametri diversi

[97.russo]

Non avevo proprio idea di come risolverlo l'unica cosa che ero riuscito a fare erano i grafici e poi son rimasto lì per 10 minuti a guardarli senza scrivere nulla