Esercizio sulle solite Palline poco intuitivo (per me)
Un'urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90 che vengono estratte una dopo l'altra senza reinserimento.
Dopo aver risolto tutti i punti, uno mi risulta difficile da fare.. Cioé la soluzione del libro non riesco a capirla.
Eccolo:
qual é la prob che, per $i$ fissato, la pallina $i$ -esima estratta sia proprio la numero $i$?
Dopo aver risolto tutti i punti, uno mi risulta difficile da fare.. Cioé la soluzione del libro non riesco a capirla.
Eccolo:
qual é la prob che, per $i$ fissato, la pallina $i$ -esima estratta sia proprio la numero $i$?
Risposte
Prima di azzardare strane cose.. Che soluzione ti dà il libro? 
infatti forza con la soluzione...interessa anche a me questo problema...istintivamente , o quasi, direi che la prob sia uno su novanta, il ragionamento è piuttosto semplice ma non sn un esperto di calcolo delle probabilità..(le ho fatte poco poco al liceo.)cmq se il nostro $i$ fosse $1$, allora la prob sarebbe $1/90$ (spero di scrivere bene..); se $i$ fosse $2$, la prob sarebbe la probabilità che il secondo numero estratto sia proprio il due, cioè $1/(90-1)$, ossia $1/89$, per la probabilità che il primo numero estratto non fosse stato proprio il numero due, ossia per la probabilità $89/90$: probabilità totale, $1/90$. se $i$ fosse $3$, stesso ragionamento: prob che il terzo numero estratto sia $i$ è $1/88$, mentre la prob che fra i primi due numeri estratti non comparisse il nostro $i$ era di $88/90$, quindi la probablità è ancora $1/90$. generalizzando, la peobabilità che, per $i$ fissato, la pallina $i$ -esima estratta sia proprio la numero $i$, è $1/(90-(i-1))$ per $(90-(i-1))/90$, che alla fine fa sempre $1/90$...siete pregati di linciarmi se ho sbagliato (in special modo a digitare le formule), ma siete altresì pregati di spiegarmi...grazie
Il libro dice che sia nel caso di estrazioni con rimpiazzo che senza (cmq senza veniva richiesto..) la prob è sempre la stessa e cioé: $1/90$ 
Non lo capivo...
Ma forse il nostro alvinlee88 ci ha preso!
Quindi dovrebbe proprio essere come dice alvinlee88...
Non lo capivo...
Ma forse il nostro alvinlee88 ci ha preso!
Quindi dovrebbe proprio essere come dice alvinlee88...
In effetti avevo fatto pressappoco lo stesso ragionamento anche io perchè avevo pensato le seguenti cose..
Se indico con $ E_{i} $ l'evento pallina i-esima estratta all'estrazione i-esima, allora:
- $ i = 1 $ sicuramente ho che $ P(E_{1}) = 1/90
- $ i = 2 $ ho che $ P(E_{2}) = 89/90 * 1/89 $ che è ancora $ 1/90 $
Per $ i = 3 $ però mi sorgeva un altro tipo di dubbio..
Per la prima pallina ho diciamo 89 scelte favorevoli al nostro evento su 90, per la seconda ne ho 88 su 89, e per la terza necessariamente una su 88. Anche qui apparentemente la probabilità sembra di $ 1/90 $ , ma non dovrebbe essere moltiplicata anche per il coefficiente $ ((89),(2)) $ ?? Alla fine estrarre tre palline in quest'ordine:
$ (2 1 3) $ oppure $ (5 6 3) $ oppure $ (6 4 3) $ non valgono tutte come favorevoli al nostro evento?
Ps: secondo me il mio ragionamento è sbagliato, è soltanto una domanda a voi
Se indico con $ E_{i} $ l'evento pallina i-esima estratta all'estrazione i-esima, allora:
- $ i = 1 $ sicuramente ho che $ P(E_{1}) = 1/90
- $ i = 2 $ ho che $ P(E_{2}) = 89/90 * 1/89 $ che è ancora $ 1/90 $
Per $ i = 3 $ però mi sorgeva un altro tipo di dubbio..
Per la prima pallina ho diciamo 89 scelte favorevoli al nostro evento su 90, per la seconda ne ho 88 su 89, e per la terza necessariamente una su 88. Anche qui apparentemente la probabilità sembra di $ 1/90 $ , ma non dovrebbe essere moltiplicata anche per il coefficiente $ ((89),(2)) $ ?? Alla fine estrarre tre palline in quest'ordine:
$ (2 1 3) $ oppure $ (5 6 3) $ oppure $ (6 4 3) $ non valgono tutte come favorevoli al nostro evento?
Ps: secondo me il mio ragionamento è sbagliato, è soltanto una domanda a voi
Nessuno che trova un chiarimento a questo esercizio? Il dubbio persiste ancora :\
si, valgono tutte come favorevoli al nostro evento, e il numero di questi casi favorevoli è $(89*88)/(2!)$..ti torna? in questo calcolo $n=89$ (tutte le palline all'infuori di quella $i$), e $k$ ovviamente $2$ (ossia le prime due palline estratte)...questa combinazione fa $3916$, e rappresentano, come hai detto te, i casi favorevoli (quelli ,per capirci, che faranno da numeratore alla frazione da moltiplicare per $1/88$)...i casi possibli, ovviamente, sarrano invece $((90),(2))$, cioè $4005$...la probabilità quindi che nei primi due numei estratti non ci sia $i$ è proprio $3916/4005$, che, guarda un pò, è uguale a $88/90$....lo stesso lo puoi verificare per gli altri numeri....quindi la probabilità totale, cioè $P(E_{i})=1/88*88/99=1/90$...spero ti sia chiaro e che , sopratutto, non abbia sbagliato io!!!quindi invito chi magari va all'università e se ne intende un pò di più a dirci se va bene o no, e a spiegarci, in quel caso, la soluzione corretta...
alvinlee88 mi sembra corretto,
Grazie!
Grazie!
lo spero ma aspetto conferme, non si sa mai...però mi sembra così...
Sono d'accordo con questo tipo di interpretazione, o almeno mi sembra la piu plausibile
Pienamente d'accordo con voi!
Volendo si poteva anche pensare ai #casi favorevoli/#casi totali
I casi totali per le 90 estrazioni sono $90!$
I casi favorevoli per la pallina $i$ nella posizione $i$ sono $89!$ (cioè il numero di estrazioni possibili per le altre palline).
Dunque $(89!)/(90!)=1/90$
Volendo si poteva anche pensare ai #casi favorevoli/#casi totali
I casi totali per le 90 estrazioni sono $90!$
I casi favorevoli per la pallina $i$ nella posizione $i$ sono $89!$ (cioè il numero di estrazioni possibili per le altre palline).
Dunque $(89!)/(90!)=1/90$
il notaio conferma (occhio, che sono abusivo!)
io la vedo così: è come se estraessi una pallina da un sacchetto (di 90 palline). Quale è la prob che venga fuori un ben specificato numero?
ovviamente 1/90
senza calcoli. Basandomi sul fatto che le palline mica mi vogliono fare un dispetto, né favorire!
ovvero, le estrazioni precedenti (con o senza ri-insaccamento) non possono influenzare la prob di estrarre un ben specificato numero (ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti!)
io la vedo così: è come se estraessi una pallina da un sacchetto (di 90 palline). Quale è la prob che venga fuori un ben specificato numero?
ovviamente 1/90
senza calcoli. Basandomi sul fatto che le palline mica mi vogliono fare un dispetto, né favorire!
ovvero, le estrazioni precedenti (con o senza ri-insaccamento) non possono influenzare la prob di estrarre un ben specificato numero (ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti!)
"Fioravante Patrone":
il notaio conferma (occhio, che sono abusivo!)
io la vedo così: è come se estraessi una pallina da un sacchetto (di 90 palline). Quale è la prob che venga fuori un ben specificato numero?
ovviamente 1/90
senza calcoli. Basandomi sul fatto che le palline mica mi vogliono fare un dispetto, né favorire!
ovvero, le estrazioni precedenti (con o senza ri-insaccamento) non possono influenzare la prob di estrarre un ben specificato numero (ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti!)
scusa fioravante, ma se non reinsacchi, ad ogni estrazione le palline nel sacchetto diminuiscono, quindi la probabilità come fa a essere semplicemente (senza altri calcoli, intendo...) $1/90$ ? alla quinta estrazione, ad esempio, nel sacchetto sono rimaste $86$ palline, non $90$...se te non guardi le estrazioni precedenti, la probabilità di estrarre alla quinta estrazione il numero $5$ potebbe benissimo essere $0/90$, perchè magari il $5$era stato estratto nelle prime 4 estrazioni, e te non potresti saperlo....oppure no? se sbaglio spiegami grazie
Beh ragazzi se conferma un prof universitario potete stare tranquilli!
(Mi stavo rivolgendo a alvinlee88 e antrope)
Grazie a tutti. E' chiarissimo ed ora anche intuitivo...
(Mi stavo rivolgendo a alvinlee88 e antrope)
Grazie a tutti. E' chiarissimo ed ora anche intuitivo...
alvinlee88 il numero è fissato prima della prima estrazione. Poi alla $5$ vorrà dire che ne fai $4$ prima di avere il $5$ quindi anche il fatto di non beccare la numero $5$ nelle prime $4$ ha una prob che bisogna considerare. Ci sei?
"alvinlee88":
[quote="Fioravante Patrone"]il notaio conferma (occhio, che sono abusivo!)
io la vedo così: è come se estraessi una pallina da un sacchetto (di 90 palline). Quale è la prob che venga fuori un ben specificato numero?
ovviamente 1/90
senza calcoli. Basandomi sul fatto che le palline mica mi vogliono fare un dispetto, né favorire!
ovvero, le estrazioni precedenti (con o senza ri-insaccamento) non possono influenzare la prob di estrarre un ben specificato numero (ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti!)
scusa fioravante, ma se non reinsacchi, ad ogni estrazione le palline nel sacchetto diminuiscono, quindi la probabilità come fa a essere semplicemente (senza altri calcoli, intendo...) $1/90$ ? alla quinta estrazione, ad esempio, nel sacchetto sono rimaste $86$ palline, non $90$...se te non guardi le estrazioni precedenti, la probabilità di estrarre alla quinta estrazione il numero $5$ potebbe benissimo essere $0/90$, perchè magari il $5$era stato estratto nelle prime 4 estrazioni, e te non potresti saperlo....oppure no? se sbaglio spiegami grazie[/quote]
ehm, ricordo che: "occhio, che sono abusivo!"
penso di capire la tua perplessità, che non tiene nel dovuto conto questo punto: "ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti"
facciamo un esempio facile (questi numeri grossi confondono e basta)
hai 2 palline nel sacchetto: una ha il numero 1 scritto sopra e l'altra ha il numero 2
estrai una pallina e ne fai tutto quello che vuoi (la rimetti nel sacchetto, la butti via, la spacchi a martellate) tranne una cosa: NON LA GUARDI! (cosa che sarebbe irrilevante se la mettessi nel sacchetto, naturalmente)
che probabilità attribuisci al fatto che la pallina rimasta nel sacchetto abbia stampigliato sopra il numero 1?
"alvinlee88":
[quote="Fioravante Patrone"]il notaio conferma (occhio, che sono abusivo!)
io la vedo così: è come se estraessi una pallina da un sacchetto (di 90 palline). Quale è la prob che venga fuori un ben specificato numero?
ovviamente 1/90
senza calcoli. Basandomi sul fatto che le palline mica mi vogliono fare un dispetto, né favorire!
ovvero, le estrazioni precedenti (con o senza ri-insaccamento) non possono influenzare la prob di estrarre un ben specificato numero (ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti!)
scusa fioravante, ma se non reinsacchi, ad ogni estrazione le palline nel sacchetto diminuiscono, quindi la probabilità come fa a essere semplicemente (senza altri calcoli, intendo...) $1/90$ ? alla quinta estrazione, ad esempio, nel sacchetto sono rimaste $86$ palline, non $90$...se te non guardi le estrazioni precedenti, la probabilità di estrarre alla quinta estrazione il numero $5$ potebbe benissimo essere $0/90$, perchè magari il $5$era stato estratto nelle prime 4 estrazioni, e te non potresti saperlo....oppure no? se sbaglio spiegami grazie[/quote]
rettifico il mio post, ovviamente quando ho scritto $0/90$ intnedevo scrivere $0/86$...anche se ai fini del mio dubbio non cambia niente....
"Fioravante Patrone":
[quote="alvinlee88"][quote="Fioravante Patrone"]il notaio conferma (occhio, che sono abusivo!)
io la vedo così: è come se estraessi una pallina da un sacchetto (di 90 palline). Quale è la prob che venga fuori un ben specificato numero?
ovviamente 1/90
senza calcoli. Basandomi sul fatto che le palline mica mi vogliono fare un dispetto, né favorire!
ovvero, le estrazioni precedenti (con o senza ri-insaccamento) non possono influenzare la prob di estrarre un ben specificato numero (ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti!)
scusa fioravante, ma se non reinsacchi, ad ogni estrazione le palline nel sacchetto diminuiscono, quindi la probabilità come fa a essere semplicemente (senza altri calcoli, intendo...) $1/90$ ? alla quinta estrazione, ad esempio, nel sacchetto sono rimaste $86$ palline, non $90$...se te non guardi le estrazioni precedenti, la probabilità di estrarre alla quinta estrazione il numero $5$ potebbe benissimo essere $0/90$, perchè magari il $5$era stato estratto nelle prime 4 estrazioni, e te non potresti saperlo....oppure no? se sbaglio spiegami grazie[/quote]
ehm, ricordo che: "occhio, che sono abusivo!"
penso di capire la tua perplessità, che non tiene nel dovuto conto questo punto: "ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti"
facciamo un esempio facile (questi numeri grossi confondono e basta)
hai 2 palline nel sacchetto: una ha il numero 1 scritto sopra e l'altra ha il numero 2
estrai una pallina e ne fai tutto quello che vuoi (la rimetti nel sacchetto, la butti via, la spacchi a martellate) tranne una cosa: NON LA GUARDI! (cosa che sarebbe irrilevante se la mettessi nel sacchetto, naturalmente)
che probabilità attribuisci al fatto che la pallina rimasta nel sacchetto abbia stampigliato sopra il numero 1?[/quote]
Non so perchè ma per come hai posto la cosa mi è venuto un po' in mente il gatto di Schroedinger
"Fioravante Patrone":
penso di capire la tua perplessità, che non tiene nel dovuto conto questo punto: "ehi, s'intende: non ho potuto guardare le estrazioni precedenti"
facciamo un esempio facile (questi numeri grossi confondono e basta)
hai 2 palline nel sacchetto: una ha il numero 1 scritto sopra e l'altra ha il numero 2
estrai una pallina e ne fai tutto quello che vuoi (la rimetti nel sacchetto, la butti via, la spacchi a martellate) tranne una cosa: NON LA GUARDI! (cosa che sarebbe irrilevante se la mettessi nel sacchetto, naturalmente)
che probabilità attribuisci al fatto che la pallina rimasta nel sacchetto abbia stampigliato sopra il numero 1?
$1/2$ ..con quest'esempio è chiarissimo fioravante grazie...mi ero fatto confondere dai numeroni, ma avevo dimenticato che stiamo parlando di PROBABILITA'...però c'è qualcosa che mi sembra sfuggire, non lo so..sarà che non sono avvezzo a questi calcoli...
"Giova411":
alvinlee88 il numero è fissato prima della prima estrazione. Poi alla $5$ vorrà dire che ne fai $4$ prima di avere il $5$ quindi anche il fatto di non beccare la numero $5$ nelle prime $4$ ha una prob che bisogna considerare. Ci sei?
è quello che ho detto e sostenuto fino a ora ...ma dopo l'esempio di fioravantecredo id aver capito l'errore di fondo di questi nostri ragionamenti...
"antrope":
[quote="Fioravante Patrone"]ne fai tutto quello che vuoi (la rimetti nel sacchetto, la butti via, la spacchi a martellate)
Non so perchè ma per come hai posto la cosa mi è venuto un po' in mente il gatto di Schroedinger
[/quote]basta che non lo prendi a martellate!
più seriamente, credo che tu abbia ragione a vederci una connessione
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