Esercizio sulle Probabilità
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio:
1) Una linea produttiva realizza CD Rom che sappiamo purtroppo essere caratterizzati da difetti superficiali. Sappiamo che per singolo CD Rom, il numero medio di difetti superficiali è pari a 2.5. Specificando opportunamente la distribuzione del numero di difetti, e scegliendo a caso un singolo CD Rom prodotto dalla suddetta linea produttiva:
a) Quale è la probabilità che esso presenti almeno un difetto superficiale?
b) Si determini inoltre la probabilità che il CD Rom presenti esattamente 3 difetti.
La distribuzione del numero di difetti la specificherei come una geometrica di parametro p
$X\simG(p)$
1- Ho $E[X]=2.5$
2- Calcolo $p$ sfruttando la relazione del valore atteso e la legge geometrica : $E[X]=1/p$ quindi $p=0,4$
3-Calcolo la probabilità richiesta nel punto a:
$P(X>=1)=1-P(X=0)= 1- p*(1-p)^(0-1)=0.33$
Non mi convince quel $ p*(1-p)^(0-1) $ e inoltre penso che P(X>=1) debba risultare prossimo all'1 visto che $E[X]=2.5$...
Help me please!
1) Una linea produttiva realizza CD Rom che sappiamo purtroppo essere caratterizzati da difetti superficiali. Sappiamo che per singolo CD Rom, il numero medio di difetti superficiali è pari a 2.5. Specificando opportunamente la distribuzione del numero di difetti, e scegliendo a caso un singolo CD Rom prodotto dalla suddetta linea produttiva:
a) Quale è la probabilità che esso presenti almeno un difetto superficiale?
b) Si determini inoltre la probabilità che il CD Rom presenti esattamente 3 difetti.
La distribuzione del numero di difetti la specificherei come una geometrica di parametro p
$X\simG(p)$
1- Ho $E[X]=2.5$
2- Calcolo $p$ sfruttando la relazione del valore atteso e la legge geometrica : $E[X]=1/p$ quindi $p=0,4$
3-Calcolo la probabilità richiesta nel punto a:
$P(X>=1)=1-P(X=0)= 1- p*(1-p)^(0-1)=0.33$
Non mi convince quel $ p*(1-p)^(0-1) $ e inoltre penso che P(X>=1) debba risultare prossimo all'1 visto che $E[X]=2.5$...
Help me please!
Risposte
Per la geometrica fai attenzione che dipende da come viene definita.
In un caso si definisce come $X$ = "Il numero di insuccessi prima del primo successo" in una successione di prove bernoulliane.
Questa variabile assume valori $k=0,1,...$ con $P(X=k)=p(1-p)^k$
A volte però si definisce come $X^{\prime}$ = "Il numero di prove fatte fino al primo successo".
Questa assume valori $k=1,2,...$ con $P(X^{\prime}=k)=p(1-p)^{k-1}$.
Nota che tra le due vale $X+1=X^{\prime}$. Vatti a vedere queste cose che poi si riperquotono anche sulla binomiale negativa.
Per il tuo esercizio io comunque userei una variabile di Poisson.
In un caso si definisce come $X$ = "Il numero di insuccessi prima del primo successo" in una successione di prove bernoulliane.
Questa variabile assume valori $k=0,1,...$ con $P(X=k)=p(1-p)^k$
A volte però si definisce come $X^{\prime}$ = "Il numero di prove fatte fino al primo successo".
Questa assume valori $k=1,2,...$ con $P(X^{\prime}=k)=p(1-p)^{k-1}$.
Nota che tra le due vale $X+1=X^{\prime}$. Vatti a vedere queste cose che poi si riperquotono anche sulla binomiale negativa.
Per il tuo esercizio io comunque userei una variabile di Poisson.
Grazie per la delucidazione,
quindi in questo caso dovrei usare la "legge geometrica traslata" (ovvero $X\simG'(p)$)?
In quel caso avrei $E(X)=(1-p)/p=2.5 => p=0,875$
Quindi calcolando $P(X>=1) 1-P(X=0)=1-p*(1-p)^0=0,143$
La probabiltà si abbassa ulteriormente e ciò mi risulta ancora strano visto che ho un valore atteso di 2.5 difetti per ogni singolo CD, di conseguenza dovrei avere un alta probabilità di beccare un CD con uno o più difetti...
Provo con Poisson avente $\lambda=2.5$:
$P(X>=1)=1- P(X=0)=1-e^(-\lambda)=0.9179$
Questo è un risultato che mi aspetterei, c'è sicuramente qualcosa che ho sbagliato applicando la legge geometrica....
Sai darmi qualche consiglio ulteriore??
quindi in questo caso dovrei usare la "legge geometrica traslata" (ovvero $X\simG'(p)$)?
In quel caso avrei $E(X)=(1-p)/p=2.5 => p=0,875$
Quindi calcolando $P(X>=1) 1-P(X=0)=1-p*(1-p)^0=0,143$
La probabiltà si abbassa ulteriormente e ciò mi risulta ancora strano visto che ho un valore atteso di 2.5 difetti per ogni singolo CD, di conseguenza dovrei avere un alta probabilità di beccare un CD con uno o più difetti...
Provo con Poisson avente $\lambda=2.5$:
$P(X>=1)=1- P(X=0)=1-e^(-\lambda)=0.9179$
Questo è un risultato che mi aspetterei, c'è sicuramente qualcosa che ho sbagliato applicando la legge geometrica....
Sai darmi qualche consiglio ulteriore??
La scelta della poisson la condivido pure io.
Ma si può usare la legge geometrica per risolvere l'esercizio? Io proprio non saprei come giustificarla... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
@davy: ha sbagliato a calcolare p. A me viene $p=2/7=0.2857143$
Per curiosità come fa a venirti quella $p$?
$(1-p)/p=2.5$
$1-p=2.5p$
$1=3.5p$
$p=1/(3.5)=2/7$
$1-p=2.5p$
$1=3.5p$
$p=1/(3.5)=2/7$
OkOk, hai pienamente ragione...facendo così trovo:
$P(X>=1)=1-P(X=0)=1-p=1-2/7=0.714$
Poisson approssima questo valore a 0.875...
$P(X>=1)=1-P(X=0)=1-p=1-2/7=0.714$
Poisson approssima questo valore a 0.875...
Se invece volessi proseguire con il punto B devo calcolare:
$X\simG'(p)$
$P(X=3)=p*(1-p)^3=0.1041$
Quello che non capisco è:
Ho trovato il numero di insuccessi prima del primo successo
Che differenza c'è nel dire che calcolo il numero di prove necessarie ad ottenere il primo successo con:
$X\simG(p)$
$P(X=3)=p*(1-p)^2=0.1457$
Scusa la testardaggine ma ancora non riesco ad afferrare la differenza che c'è fra questi 2 valori relativi all'esercizio "pescare a caso un CD"
$X\simG'(p)$
$P(X=3)=p*(1-p)^3=0.1041$
Quello che non capisco è:
Ho trovato il numero di insuccessi prima del primo successo
Che differenza c'è nel dire che calcolo il numero di prove necessarie ad ottenere il primo successo con:
$X\simG(p)$
$P(X=3)=p*(1-p)^2=0.1457$
Scusa la testardaggine ma ancora non riesco ad afferrare la differenza che c'è fra questi 2 valori relativi all'esercizio "pescare a caso un CD"
si ma devi anche spiegare la testardaggine a voler insistere sulla geometrica.
Tu stai scambiando il numero degli eventi con gli errori probabili, e sono 2 cose un pò.. diverse dal mio punto di vista.
Però... almeno un tempo.. la geometrica, caso particolare della binomiale negativa , calcolava il primo successo su n colpi... vuoi spiegare come associ questa distribuzione bernoulliana?
Tu stai scambiando il numero degli eventi con gli errori probabili, e sono 2 cose un pò.. diverse dal mio punto di vista.
Però... almeno un tempo.. la geometrica, caso particolare della binomiale negativa , calcolava il primo successo su n colpi... vuoi spiegare come associ questa distribuzione bernoulliana?
Quindi per questo tipo di problema non ho bisogno della geometrica?
Personalmente risolverei con la poisson, facile ed immediata.
i risultati sono a) 0.918; b)0.21
i risultati sono a) 0.918; b)0.21
Cmq vediamo cosa dicono gli utenti di rilievo
Ok, penso che comunque Poisson sia un'approssimazione o meglio un modello per leggi binomiali (come un processo di Bernoulli). Almeno così leggo sul libro, quindi penso che utilizzare la legge geometrica per ricavare la probabilità di pescare con successo un CD scelto tra tanti aventi in "media" 2.5 difetti sia come dire estraggo k cd e alla k-esima prova ho successo.
Attendiamo altri pareri, perchè non sono del tutto sicuro di quello che ho detto
Attendiamo altri pareri, perchè non sono del tutto sicuro di quello che ho detto
Che tu non sia sicuro di quello che hai detto... è il minimo : secondo te... come ti ha pure scritto daje, la geometrica non ha nulla a che fare con la distribuzione bernoulliana?..forse dovresti leggere meglio e tutto.
Ho scritto che la geometrica è un caso particolare della binomiale negativa... hai letto oppure secondo te ho scritto a casaccio? se è come la binomiale neg ( la conosci? o devi cercare in biblioteca) con n=1... ha qualcosa in comune con la binomiale?
Però.. contento te... contenti tutti, per me è inutile ogni altro intervento
Ho scritto che la geometrica è un caso particolare della binomiale negativa... hai letto oppure secondo te ho scritto a casaccio? se è come la binomiale neg ( la conosci? o devi cercare in biblioteca) con n=1... ha qualcosa in comune con la binomiale?
Però.. contento te... contenti tutti, per me è inutile ogni altro intervento
Non ti scaldare, non volevo ignorare quello che hai detto,
Sto solo cercando di capire, e darmi i risultati non mi aiuta affatto...
Tu stesso hai detto:
Ma se ti offendi non intervenire più....
Sto solo cercando di capire, e darmi i risultati non mi aiuta affatto...
Tu stesso hai detto:
"tony630":
Cmq vediamo cosa dicono gli utenti di rilievo
Ma se ti offendi non intervenire più....
Io non ho motivo di offendermi, ma solitamente non perdo tempo se e quando la direzione presa è quella, nonostante gli venga suggerito altro : il problema è tuo e tua la scelta, ma solitamente, e questo sicuramente a scuola non lo insegnano più, quando abbiamo dei dubbi analizziamo i risultati ottenuti per capire le ovietà o meno dei calcoli.
ti faccio un esempio : in un campionato calcistico, vedi serie A , abbiamo una media di goal a partita intorno a 2.5 ( nella realtà è 2.61 il precedente), quante partite finiscono senza reti? Solitamente io in questi calcoli sbaglio sotto 1%
Prova con la geometrica... io qui so la risposta
ti faccio un esempio : in un campionato calcistico, vedi serie A , abbiamo una media di goal a partita intorno a 2.5 ( nella realtà è 2.61 il precedente), quante partite finiscono senza reti? Solitamente io in questi calcoli sbaglio sotto 1%
Prova con la geometrica... io qui so la risposta
Ho capito cosa intendi dirmi...
Nel caso del campionato di serie A con media gol 2.5 a partita:
$X\simG(p)$ dove p è 0.2857 ricavata come dicevamo qualche post fa'
quindi $P(X=0)=p*(1-p)^0=0.2857$
Ma questa è la probabilità di avere 0 gol prima che inizi il campionato...
Applicando Poisson ottengo subito: $P(X=0)=e^(-2.5)=0.08$
quindi l'8% delle partite finiranno senza gol
quindi è stimato che 30.4 partite su 380 siano senza reti...
Dimmi se sbaglio anche insultandomi...
Nel caso del campionato di serie A con media gol 2.5 a partita:
$X\simG(p)$ dove p è 0.2857 ricavata come dicevamo qualche post fa'
quindi $P(X=0)=p*(1-p)^0=0.2857$
Ma questa è la probabilità di avere 0 gol prima che inizi il campionato...
Applicando Poisson ottengo subito: $P(X=0)=e^(-2.5)=0.08$
quindi l'8% delle partite finiranno senza gol
quindi è stimato che 30.4 partite su 380 siano senza reti...
Dimmi se sbaglio anche insultandomi...
Perchè insultare : esatto.. adesso vai a vedere quanti pareggi ci sono stati con lo 0-0 e capirai quale è la formula da usare.
Per la cronaca ci sono stati 31 partite con risultato 0-0 ;campionato serie a 09/10
Per la cronaca ci sono stati 31 partite con risultato 0-0 ;campionato serie a 09/10
"davymartu":
Ok, penso che comunque Poisson sia un'approssimazione o meglio un modello per leggi binomiali (come un processo di Bernoulli). Almeno così leggo sul libro, quindi penso che utilizzare la legge geometrica per ricavare la probabilità di pescare con successo un CD scelto tra tanti aventi in "media" 2.5 difetti sia come dire estraggo k cd e alla k-esima prova ho successo.
Per quel poco che so, la legge di Poisson di parametro $\lambda$ approssima alcune leggi binomiali, non tutte: in particolare le leggi binomiali di parametri $n$ e $\lambda/n$. Dunque la probabilità di successo $p$ deve intanto dipendere da $n$, ma non basta, deve anche essere tale che $n*p\to \lambda$.
Se quanto ho scritto è vero, mi pare che non si possa, per esempio, approssimare con una legge di Poisson una binomiale che abbia il parametro $p$ costante al variare di $n$.
Dico bene?
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