Esercizio sulla stima di probabilità

[gheto-]

Si stimi la probabilità $p$ di un evento $E$ con frequenza relativa in $N$ prove indipendenti.
Valutare il numero di prove necessarie per avere un errore rms relativo del $10%$ per $p=0.1$, $p=0.5$ e $p=0.9$

Ho ragionato nel seguente modo: la probabilità di un certo evento $E$ non è altro che il numero di prove nelle quali si è verificato l'evento stesso fratto il numero di prove totali, cioè:
$hat p(E)=(#E)/N$
dove con $(#E)$ denoto il numero di prove nelle quali si è verificato $E$ e con $N$ indico il numero di prove totali.
A questo punto risulta:
$hat p=\sum_{i=0}^\(N) (X_(i)(E))/(N)$
dove $X_(i)(E)$ è l'indicatore di evento $E$ (cioè rappresenta che l'evento si è verificato).

L'errore rms relativo dovrebbe essere dato da:
$sqrt(E[(hat p-p)^2])/(p)=0.1$

In tale espressione, poi, devo sostituire i valori di $p$ dati dalla traccia; è corretto?

[Lo_zio_Tom]

io farei semplicemente così:

l'errore standard della stima è definito nel seguente modo:

$sqrt(sigma^2/n)$

Quindi ricordando che la varianza di una bernulliana è $sigma^2=p(1-p)$ per risolvere il quesito basta fare così:


$sqrt(p(1-p))/(p\cdot sqrt(n))=0.1$

da cui

$n=(1-p)/(p(0.1)^2)$

e quindi

$n_(0.1)=900$

$n_(0.5)=100$

$n_(0.9)=11,bar(11)~=12$

che il risultato sia giusto lo puoi verificare anche dal seguente esempio, dove si vede che (ovviamente) l'errore per $p=0,1$ e $p=0,9$ è lo stesso...ma varia in %